¿La vía de tren Duplo está sometida a demasiada tensión?

 (puzzling.stackexchange.com)
2 puntos por GN⁺ 2023-09-07 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • La vía de tren Duplo que armó un niño parece, a simple vista, un bucle cerrado, pero se trata de un rompecabezas que analiza por condiciones de ángulo y posición si las piezas fueron forzadas para encajar
  • La verificación matemática consiste en comprobar si la diferencia entre el número de giros a izquierda y derecha de las piezas curvas es un múltiplo de 12, y luego calcular si la suma de los vectores de desplazamiento de cada pieza es 0
  • La solución mejor valorada concluye que la condición angular sí se cumple, pero la suma de desplazamientos es 4.5 -3 -2 0.5, no 0, así que no es un bucle sin esfuerzo mecánico
  • Para que encaje con precisión hay que quitar y añadir algunas piezas; si solo se agrega una pieza, una opción es insertar una recta 2-2 después de la primera curva gris
  • En la práctica, también se puede juzgar si hay tensión excesiva observando la planitud de la vía, la flexión o separación en las uniones, y si el tren se descarrila o se separan los vagones al circular

Determinar si la vía Duplo fue cerrada a la fuerza

  • A quien preguntó le gustó la vía de tren Duplo que hicieron sus hijos, pero quería comprobar si las piezas estaban bajo tensión excesiva y podían dañarse
  • La vía está formada por rieles curvos y rectos
    • El cruce de carretera se considera, en la práctica, equivalente a 1 riel recto
    • 12 rieles curvos forman naturalmente un círculo, pero si se intenta cerrar un círculo a la fuerza con 13 rieles curvos, la vía puede quedar bajo tensión
  • La pregunta se centra en dos puntos
    • si existe una forma rápida y lógica de determinar si hay tensión
    • y, si se quiere reducirla quitando o agregando 1 pieza, qué pieza o ubicación conviene más

Condición angular: diferencia entre piezas curvas a izquierda y derecha

  • La primera comprobación es si existe un desajuste angular
  • Como 12 piezas curvas Duplo forman un círculo completo, la diferencia entre la cantidad de curvas hacia la izquierda y hacia la derecha debe ser un múltiplo de 12
  • La solución mejor valorada siguió los ángulos desde el cruce en sentido antihorario y consideró que la disposición mostrada sí cumple esta condición
  • Otra respuesta resume que, cuando solo hay curvas, “el número de piezas que se curvan hacia adentro menos el número de piezas que se curvan hacia afuera” debe ser 12 para que encaje limpiamente
  • Aun así, esta condición se parece más a una condición necesaria: aunque se cumpla, no garantiza una disposición sin esfuerzo mecánico

Condición de posición: la suma de los vectores de desplazamiento debe ser 0

  • La segunda comprobación es si existe un desajuste de posición, y consiste en sumar todos los vectores de desplazamiento desde el punto inicial hasta el punto final de cada pieza para ver si el resultado es 0
  • Si la longitud de una pieza recta se toma como 1, se pueden calcular los vectores de las piezas rectas según su dirección
    • La recta 0-0 con ángulo 0 es (1, 0)
    • La recta 1-1, es decir, a 30 grados, es (cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2)
  • Las piezas curvas se tratan como si tuvieran un radio igual al doble de la longitud de una pieza recta
    • La curva 0-1 es (2 sin 30°, 2(1 - cos 30°)) = (1, 2 - √3)
  • Como las coordenadas de todas las orientaciones de piezas pueden separarse en una parte racional y otra parte racional multiplicada por √3, la solución las expresa como una lista de 4 números y luego las suma
  • Para que el bucle se cierre sin tensión, el resultado de sumar esos 4 números de todas las piezas debe ser cuatro ceros

Resultado del cálculo: la disposición actual no cierra con exactitud

  • La suma total de las piezas de la disposición mostrada es 4.5 -3 -2 0.5
  • Expresado como desplazamiento real, corresponde a (4.5 - 3√3, -2 + 0.5√3)
  • Como este valor no es 0, esa disposición no está libre de esfuerzo mecánico
  • Si se dibuja la trayectoria ideal según el cálculo, no forma un bucle cerrado sino una figura cuyos extremos quedan desalineados
  • La respuesta concluye que no es posible completar este bucle con una combinación de menos de 5 piezas

Propuesta de corrección: solución exacta y opción de agregar una sola pieza

  • Para obtener una solución exacta y sin esfuerzo mecánico hay que quitar ciertas piezas y agregar otras
  • Una solución usa la siguiente combinación
    • quitar 10-9, 9-10, 5-5
    • agregar 1-1, 8-8
  • La solución calcula que la combinación 3-4 3-4 1-1 8-8 11-11 aporta el desplazamiento necesario
    • Existen otras 3 combinaciones de 5 piezas que producen el mismo desplazamiento, pero dejarían un número impar de piezas curvas y, por lo tanto, causarían un desajuste angular
  • Como ajuste más realista si solo se quiere cambiar una pieza, existe la opción de agregar una pieza 2-2
    • Un ejemplo de ubicación es después de la primera curva gris
  • Otra forma de ordenarlo, más simple, consiste en colocar las piezas rectas en pares paralelos y reubicarlas en el lado opuesto, separadas por el equivalente a 6 unidades netas de curva

Comprobación práctica rápida: planitud, uniones y circulación real

  • Antes de hacer cálculos matemáticos, una primera señal útil es ver si la vía queda plana al apoyarla
    • Un bucle cerrado a la fuerza puede deformarse ligeramente en 3D en lugar de permanecer en un plano bidimensional
  • “Demasiada tensión” es algo subjetivo, y las uniones toleran cierto desajuste lateral que puede repartirse por todo el bucle
  • La tensión excesiva puede hacerse visible en las uniones
    • algunas uniones no se ven rectas, sino dobladas
    • el espacio entre rieles es amplio o queda desfasado como un escalón
    • esto también puede comprobarse al tacto
  • La prueba práctica final es hacer circular el tren de verdad
    • Si el recorrido es bastante suave y estable, la vía probablemente soporta esa carga por ahora
  • Otra respuesta propone un criterio más lúdico: si al hacer rodar el tren con 2 a 4 vagones estos se separan o descarrilan, entonces la vía está demasiado tensa

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2023-09-07
Comentarios de Hacker News

  • Tengo una pregunta sobre Duplo/Lego: me pregunto si existe un nombre para el problema combinatorio de contar la cantidad de estructuras que se pueden hacer con N Legos de 1×M
    Las piezas que pueden girar libremente se consideran la misma estructura. Por ejemplo, con dos Legos de 1×2 se considera que hay 2 arreglos: uno en el que están conectados arriba y abajo por dos studs, y otro en el que están conectados por un solo stud. Como una conexión de un solo stud puede girar libremente 270 grados o más, la diferencia entre el stud izquierdo y el derecho, al considerar la simetría rotacional, pasa a ser la misma estructura
    Asumiendo Legos “ideales” con tolerancia de fabricación cero, y sin permitir técnicas de armado ilegales. Me pregunto también si este problema está bien definido, si tiene una solución en forma cerrada, o si existe algún programa generador
    Cuando N crece lo suficiente, los grados de libertad rotacionales podrían crear estructuras adicionales que estaban ocultas en otras orientaciones de giro, así que el generador parece que se volvería muy complejo

  • Con un amigo hablábamos seguido de una pregunta parecida: dado un conjunto fijo de vías curvas de tren Duplo, cuántas configuraciones distintas de circuitos cerrados se pueden hacer
    Los tramos rectos en general se pueden ignorar, porque se puede agregar un par a ambos lados de bucles paralelos. Aunque también hay una forma triangular interesante que rompe ese patrón
    Mi amigo incluso hizo un programa para encontrar soluciones, y en general funcionaba bien y generaba configuraciones interesantes. Nunca llegó a agregar los desvíos
    Como muchas veces era difícil determinar si dos configuraciones de vías eran iguales, al final eso nos llevó a las matemáticas del problema del collar: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_problem

  • Como ingeniero mecánico con licencia, diría que, estrictamente, la vía no está en “tracción”. Está en flexión, que es una combinación de tracción y compresión
    Si hace falta más explicación, puedo seguir

    • Yo lo leí como “binding”, es decir, que la unión entre las piezas está sometida a esfuerzo y transmite fuerza
    • Entonces, ¿se puede dibujar el diagrama de momento flector para ese recorrido? :D

  • Me resultó más interesante la introducción detallada a los rieles Duplo del sitio enlazado
    https://www.cailliau.org/Alphabetical/L/Lego/Duplo/Train/Rai...
    De chico tenía tanto los rieles Duplo negros “nuevos” como los “viejos”. Recuerdo que incluso a los cuatro años los rieles negros viejos me resultaban incómodos y me gustaban mucho más los nuevos

    • ¿Ese es el enlace que publicó el usuario Weathervane? Me pregunto por qué el resto del comentario son cadenas ilegibles
      Algo como “gjryir frpgvbaf qb abg znxr na rknpg pvepyr, gurer vf n fznyy bireync, naq fb znxr n pv”

  • Tengo un hijo de cinco años, así que armamos seguido vías de tren de madera BRIO en varias configuraciones.
    Cuando el niño va extendiendo las vías, por lo general yo voy unos pasos atrás ajustando discretamente el diseño para que no quede demasiado restringido. Es un problema sencillo, pero bastante entretenido de resolver, y me gusta porque me permite pasar tiempo con él.

    • Lo bueno de las vías BRIO es que no hacen que la casa se vea desordenada como otros sets de vías de plástico.
      Se ven bien y se sienten bien al tacto. El tren es lento pero tiene mucho torque, lo que le da a la experiencia una especie de “sensación de masa”. Es distinto de muchos juguetes a control remoto que corren demasiado rápido para su tamaño y se traban en la alfombra o en los desniveles.
    • Yo también hago eso. A mi hijo y sus amigos les gusta hacer grandes circuitos de tren.
      A mí también me gusta, pero veo un poco mejor que los niños dónde se está generando tensión, así que trato de corregir esas partes.
    • Las vías BRIO están bien diseñadas y se pueden combinar de muchísimas formas, incluidos los desvíos y demás, pero los huecos que suelen aparecer normalmente se pueden rellenar bien con una de las vías rectas más cortas.
      Eso significa que en todo el sistema solo se necesitan unas pocas cantidades enteras de longitudes de vías rectas. En cambio, TrackMaster necesita muchas más.
    • Yo apenas estoy empezando mi recorrido con BRIO. Todavía no compré ningún set y estoy metido con Magnatiles.
      Me pregunto si alguien habrá fresado sus propias vías BRIO. Podría ser para hacer formas raras que no se pueden lograr con las piezas estándar.
      Ya hice un vehículo-banana compatible con vías BRIO, pero todavía no intenté fabricar vías.

  • El análisis matemático podría ser más simple. Se puede ver cada pieza de vía como un vector bidimensional y sumarlos todos. En una disposición sin tensión, la suma da (0, 0).
    Como medida de la tensión, se puede suponer que la discrepancia de posición se distribuye de manera uniforme y modelarla como el promedio de todos los vectores. Por lo tanto, el mismo desplazamiento tiene más importancia cuando hay menos piezas.
    Podría parecer que se está ignorando la rotación, pero en realidad está incluida, porque el vector efectivo de una pieza de vía representa tanto la dirección actual como el desplazamiento que esa pieza agrega. Si se modela en código, el cursor tiene un ángulo de dirección y una posición (x, y).
    Una matemática relacionada es el hecho de que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es 360 grados, así que cuánto se aleja de 360 grados puede servir como otra medida. En este caso no es útil, pero también me recuerda al número de vueltas en análisis complejo: una forma de recorrer localmente una curva y entender de qué lado queda “adentro” y cuántas veces la curva rodea un punto determinado.

    • No tengo una base cuantitativa, pero me parece que, aunque la tensión neta total sea 0, podría quedar tensión local en alguna parte.
      Podrías hacer una forma con una ligera autointersección que empuje ese tramo a un estado de tensión, mientras que el tramo complementario suma como el negativo del primero pero no tiene autointersección.
    • Extendiendo la idea de los ángulos de polígonos, estas vías parecen tener cada una una curva de unos 30 grados.
      Así que debería haber 360/30 = 12 vías que doblen a la derecha más que a la izquierda, o viceversa. Habría que contarlas, pero uno se puede acostumbrar rápido a ir siguiendo la vía y sumar +1 o -1. Si al final da 12, es perfecto; la distancia respecto de 12 sería una estimación de la tensión.
    • ¿En qué se diferencia eso de la solución que está en la página?

  • Me gustan otros foros de StackExchange. Preguntas como esta y las respuestas que generan son excelentes.
    Durante años vi discusiones muy buenas en aviación, experiencia de usuario y matemáticas, con respuestas largas y detalladas llenas de observaciones interesantes. Hace unas horas incluso apareció en HN una publicación del sitio de latín.
    Pero, al menos para mí, Stack Overflow ya no es así. Antes hacía preguntas y respondía, pero algo cambió. Sentí que lo habían tomado moderadores excesivamente puntillosos, y ahora casi no participo.

  • Entiendo que el punto débil peligroso es el cuello del perno de unión de una de las vías conectadas.
    En Duplo, ambos enlaces tienen un perno con llave y un agujero. Si están muy desalineados, un lado de la llave puede recibir presión lateral adicional y deformarse o romperse.
    Sin embargo, una tensión tan fuerte probablemente se produce sobre todo cuando uno intenta forzar o cerrar la última unión. Un niño podría intentarlo si no hay un padre supervisando si el armado es posible. Para cuando el padre se dé cuenta, quizá ya sea tarde, o quizá ya lo haya logrado y no haga falta arreglar nada.
    Si se rompe el cuello de la llave, entonces simplemente estaba destinado a pasar. No es gran cosa. La segunda llave sigue manteniendo la unión. Eso sí, si no se aprende la lección, ese tramo queda como el eslabón más débil.
    Si de algún modo lo metiste a la fuerza en un loop, perfecto: poné a andar la locomotora. Si los vagones no se caen en la abertura forzada o en el tramo torcido, que sigan andando; si no, ajustalo o volvé a armarlo.

  • De chico contaba mientras seguía la vía. Empezaba en 0 y, si la vía doblaba a la izquierda, sumaba 1; si doblaba a la derecha, restaba 1.
    La respuesta tenía que ser algo como ±12, ±24, etc., porque 12 piezas forman un círculo.

    • ¿Podrías explicarme por qué eso es cierto como si tuviera cinco años?

  • Creo que se podría verificar la tensión cortando el loop y mirando el desplazamiento entre la pieza inicial y la final. Esto supone que la fricción de la superficie es lo bastante baja como para que las piezas puedan moverse.
    Como solución de rompecabezas, se le asigna a cada tipo de pieza un desplazamiento final y el ángulo de conexión de la siguiente pieza; se empieza en las coordenadas (0, 0), se recorre cada pieza actualizando la posición de la última, y luego se revisa el desplazamiento entre la pieza inicial y la final.
    El resultado se vería como la imagen de la respuesta. Aunque actualizar la vía para minimizar el desplazamiento es más difícil.

    • Sobre la condición de “si la fricción de la superficie es lo bastante baja”, por mi experiencia haciendo trazados de vías que ocupan buena parte de la planta baja de nuestra casa, si abrís un tramo que está bajo tensión y sacudís un poco toda la vía hacia adelante y hacia atrás, incluso sobre un piso de madera dura tiende a asentarse en un estado más relajado.
      En ese punto podés ajustar las piezas involucradas y, a menudo, cerrar un hueco que se hizo más grande. Era una disposición como la escena de persecución en tren de The Wrong Trousers de Wallace and Gromit.
    • Con vías de ese tamaño, no creo que la fricción de la superficie sea lo suficientemente baja como para que todo se realinee solo.
      Si hay tensión, los extremos de la vía cerca del corte se separarían, pero me cuesta imaginar que se mueva todo el conjunto.
    • Correcto. La pregunta también dice que se puede hacer eso.
      “Sé que puedo quitar una pieza, volver a insertarla y sentirlo directamente”.
    • ¿Entonces hay que armarlo sobre una mesa de air hockey?
      También podría servir armarlo sobre un piso liso y plano y espolvorear polvo de shuffleboard.