Es más probable que la raíz máxima de un polinomio aleatorio con coeficientes reales sea real que compleja

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1 puntos por GN⁺ 2024-05-12 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp

¿Es más probable que la raíz más grande de un polinomio aleatorio sea real que compleja?

La cantidad de raíces reales de un polinomio aleatorio con coeficientes reales es mucho menor que la de raíces complejas
- Suponiendo que los coeficientes son aleatorios, independientes y uniformes dentro del rango (-1, 1)
- El número de raíces reales de un polinomio de grado n es asintóticamente (2 log n) / π + o(1), y el número de raíces complejas es aproximadamente n - (2 log n) / π
La raíz más grande (o más pequeña) de un polinomio se define como la raíz con el mayor (o menor) valor absoluto
A pesar de que las raíces reales son exponencialmente menos numerosas que las complejas, según los datos experimentales:
- La probabilidad de que la raíz más grande (o más pequeña) sea real es mayor que la probabilidad de que sea compleja
- Esta probabilidad disminuye hacia un valor cercano a 1/2 a medida que n tiende a infinito
Esto va en contra de la intuición, ya que aunque las raíces reales son mucho menos numerosas que las complejas, parecen tener mayor probabilidad de incluir tanto la raíz más grande como la más pequeña

¿Converge la probabilidad de que la raíz más grande (o más pequeña) de un polinomio de grado n sea real a un valor cercano a 1/2 cuando n tiende a infinito?

Hasta ahora, parece que la afirmación de que la probabilidad de que la raíz más grande o más pequeña sea real converge a 1/2 sigue siendo una conjetura no demostrada. Parece hacer falta una demostración rigurosa al respecto
Se sabe que las raíces de los polinomios aleatorios se distribuyen con ángulos uniformes alrededor de la circunferencia unitaria y que existe una repulsión muy local entre raíces. Sin embargo, mientras que las raíces complejas pueden dispersarse alrededor de la circunferencia unitaria, la repulsión entre raíces reales hace que estas no tengan más opción que desplazarse hacia valores más pequeños o más grandes.
Aunque el número de raíces reales sea solo logarítmico en comparación con la cantidad de raíces complejas, aun así puede considerarse que hay bastantes raíces reales.
Desde esta perspectiva, no resulta sorprendente que la raíz más pequeña pueda ser real.
Parece necesario un estudio más profundo sobre la distribución de raíces de polinomios aleatorios con coeficientes reales. En particular, hace falta una demostración rigurosa del valor límite de la probabilidad de que la raíz más grande o más pequeña sea real.

GN⁺ 2024-05-12

Sorprende que la probabilidad de la mayor raíz real esté entre el azar y 1/phi
Se espera que los números primos reflejen e y phi en su patrón de crecimiento natural, ya que no son aleatorios sino que surgen recursivamente a partir de los primos anteriores
R tiene soporte integrado para este tipo de experimentos numéricos
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Se plantean preguntas adicionales, como la definición de aleatoriedad y si se considera la diferencia entre grados impares y pares
Se supone que al escalar los coeficientes se generará una distribución no uniforme para todos los coeficientes excepto el mayor

Disfrutaba las matemáticas en la universidad, pero tras graduarse casi no ha hecho nada en dos años y necesita retomarlas
Le sugieren buscar ideas entretenidas como Project Euler o volver a resolver ejercicios de libros de texto

Si se eligieran raíces al azar en el plano complejo, casi nunca se obtendría un polinomio con coeficientes reales, así que intuitivamente parece más razonable que aparezcan más raíces reales
Se intenta un enfoque intuitivo usando simetría por reflexión y se reflexiona sobre sus límites
Como no existe una fórmula general para polinomios de grado 5 o superior, es difícil distinguir entre raíces reales y complejas
Se plantea la duda de si los coeficientes del polinomio aleatorio son reales o complejos
Como el plano complejo es mucho más grande que la recta real, el resultado sorprende porque se esperaría que la probabilidad de una raíz real se acercara a 0