Un avance notable sobre la hipótesis de Riemann

 (mathstodon.xyz)
1 puntos por GN⁺ 2024-06-05 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • Guth y Maynard lograron la primera mejora sustancial del límite de Ingham de 1940 sobre los ceros de la función zeta de Riemann, aunque todavía está lejos de resolver la hipótesis de Riemann en sí
  • El objeto central es N(σ,T), el número de ceros cuya parte real es al menos σ y cuya parte imaginaria tiene magnitud como máximo T; para σ=3/4, el límite existente llevaba más de 80 años sin grandes avances
  • El nuevo resultado reduce el límite en σ=3/4 de 3/5=0.6 a 13/25=0.52, y ofrece una estimación de densidad de ceros de la forma N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Con esta mejora, el rango en el que se puede demostrar el teorema de los números primos para casi todos los intervalos cortos (x, x+x^θ) se amplía de θ > 1/6 a θ > 2/15
  • Este resultado restringe con más fuerza la posibilidad de “muchas violaciones de nivel intermedio de la hipótesis de Riemann”, pero no es un avance en la región libre de ceros (zero-free region) que descarte una única gran violación

La cota de densidad de ceros mejorada por Guth–Maynard

  • El artículo de Guth y Maynard New large value estimates for Dirichlet polynomials demuestra nuevas cotas para la frecuencia con la que los polinomios de Dirichlet toman valores grandes
  • En particular, aborda la situación crítica en la que un polinomio de Dirichlet de longitud N tiene tamaño cercano a N^{3/4}, lo que era un cuello de botella para varias estimaciones de teoría analítica de números vinculadas con los primos y la función zeta de Riemann
  • N(σ,T) representa el número de ceros de la función zeta de Riemann cuya parte real es al menos σ y cuyo valor absoluto de la parte imaginaria es como máximo T
    • La hipótesis de Riemann puede verse como la afirmación de que N(σ,T) es 0 para todo σ > 1/2
    • Como actualmente no se puede demostrar esto de forma incondicional, en su lugar se prueban estimaciones de densidad de ceros, que son cotas superiores no triviales para N(σ,T)

El límite de Ingham, estancado por más de 80 años

  • σ=3/4 funciona como un valor clave en este problema
  • En 1940, Ingham obtuvo la cota N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}
  • Durante los 80 años posteriores, esta cota prácticamente no se mejoró; los avances se limitaron sobre todo a pequeños refinamientos del término de error o(1)
  • Esta limitación ha restringido varios problemas de la teoría analítica de números
    • Para obtener un buen teorema de los números primos en casi todos los intervalos cortos (x, x+x^θ), durante mucho tiempo hubo que mantenerse en el rango θ > 1/6
    • El principal obstáculo era la falta de mejora del límite de Ingham

Las nuevas cifras llevan a resultados sobre primos en intervalos cortos

  • Guth–Maynard mejora el límite de Ingham de 3/5=0.6 a 13/25=0.52
  • El artículo incluye una estimación de densidad de ceros de la forma N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Para intervalos cortos de primos, deriva una fórmula asintótica en intervalos de longitud x^{17/30+o(1)}
  • También mejora el rango del teorema de los números primos para casi todos los intervalos cortos (x, x+x^θ)
    • Antes: θ > 1/6 = 0.166...
    • Mejorado: θ > 2/15 = 0.133...
  • Si la hipótesis de Riemann es verdadera, este rango podría abarcar todo θ > 0

Manipulaciones inesperadas usadas en la demostración

  • El argumento tiene, en líneas generales, un carácter de análisis de Fourier
  • Algunas de las etapas iniciales son estándar, con una forma familiar para los teóricos analíticos de números que habían intentado romper el límite de Ingham
  • Luego, varias elecciones contraintuitivas desempeñan un papel central
    • Se controla la matriz de fase n^{it}=e^{it log n} elevándola a la sexta potencia
    • En lugar de simplificar cierta integral de Fourier compleja mediante stationary phase, se mantiene una forma factorizada que resulta útil más adelante, aun pagando una pérdida en el exponente
    • Se separan los casos según si la additive energy de las posiciones donde la serie de Dirichlet toma valores grandes es pequeña, intermedia o grande, y se aplican argumentos distintos
  • La forma exacta de la función de fase t log n inherente a las series de Dirichlet se vuelve muy importante
  • Esto no usa sumas exponenciales generales del análisis armónico, sino que aprovecha la especificidad de las sumas exponenciales que aparecen en la teoría analítica de números

Densidad de ceros y regiones libres de ceros no son lo mismo

  • Este resultado ayuda a reducir la posibilidad de “muchas violaciones moderadamente malas” de la hipótesis de Riemann
    • Estas mejoras son especialmente útiles para entender los primos en intervalos cortos
  • Sin embargo, no descarta una nueva “violación única muy mala” de la hipótesis de Riemann
    • Esa clase de exclusión corresponde a las regiones libres de ceros
    • Al entender los primos en intervalos largos, las regiones libres de ceros cumplen un papel central
  • La mejor región libre de ceros asintótica conocida sigue siendo la Vinogradov–Korobov zero-free region
    • En esta notación, si σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T, entonces N(σ,T) desaparece por completo
    • Este resultado también casi no ha cambiado desde 1958
  • En el q-aspect, eliminar los Siegel zero de las funciones L también sería un gran avance desde el punto de vista de las regiones libres de ceros
  • Desde una perspectiva de diagramación, cuanto menor es el exponente conocido θ(σ), mejor es la cota
    • La nueva curva de Guth–Maynard mejora, cerca de σ=3/4, lo mejor entre las cotas de Ingham y Huxley
    • Pero en este rango todavía no alcanza la density conjecture
    • La hipótesis de Riemann equivaldría a bajar todo el diagrama hasta el eje x

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2024-06-05
Opiniones en Hacker News

  • Hay una visualización de la función zeta hecha en JavaScript, con zoom infinito y parámetros ajustables: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    Puede ayudar a entender intuitivamente por qué es probable que esta hipótesis sea cierta. Renderiza sumas parciales y traza la trayectoria de zeta.
    En el renderizado se incluyen todas las sumas parciales hasta un N-critical calculado automáticamente, que es el punto donde la diferencia de fase entre dos términos se vuelve menor que π; es decir, el límite de Nyquist. A partir de ahí, el comportamiento de las sumas parciales se vuelve monótono.
    Los clústeres parecen modos de aliasing que se mueven hacia adelante y hacia atrás cuando la frecuencia instantánea de los términos está entre kπ y (k+1)π, y el tramo de caminata aleatoria es la región donde solo hay un punto por modo de aliasing. La línea verde resalta la simetría de las sumas parciales, y los clústeres mantienen simetría con el tramo de caminata aleatoria. Esta simetría está bien resumida en este artículo: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • Hace unos años se me ocurrió una interpretación de procesamiento de señales intuitiva de la hipótesis de Riemann; resumida brevemente, la función zeta puede verse como un muestreador en tiempo logarítmico.
      zeta(s) es la transformada de Laplace de sum(delta(t-ln n)), que muestrea en el instante t=(ln n) para enteros n>0, y la tasa de muestreo aumenta rápidamente.
      Esto puede imaginarse como una respuesta al impulso proveniente de una caja negra y, según el parámetro de la parte real, la respuesta al impulso puede ser de energía finita o una señal de potencia. Si suponemos que la energía sum(|1/s|^2) es finita, es decir, que real(s) > 1/2, entonces la hipótesis de Riemann viene a decir que esa suma no es cero. Es algo parecido a decir que un muestreador logarítmico no puede destruir información sin siquiera estar conectado a la corriente.
    • Yo también hice una. La mía está hecha en Unity y muestra una hélice 3D que asciende en la dirección del eje Y.
      Creo que verla en tres dimensiones ayuda: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • Guau, la tuya es mucho más genial que la mía: https://matt-diamond.com/zeta.html
      Aun así, es divertido que tanta gente haya intentado hacer esto. El resultado se ve bien y es un ejercicio de programación entretenido.
    • Me da curiosidad cuál es la fórmula que se usa realmente para dibujar la gráfica.
    • ¿Hay algún buen recurso para digerir este tema de forma sencilla?

  • James Maynard aparece con frecuencia en Numberphile, así que si quieren una explicación matemática accesible de parte de uno de los autores de este artículo, vale la pena echarle un vistazo: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Si buscan una introducción a la hipótesis de Riemann que profundice más que la mayoría de los videos, pero que siga siendo accesible para alguien con formación en STEM, esta serie de videos de zetamath me pareció realmente buena.
    También entendí todo el texto original del profesor Tao hasta la parte de “controlar la matriz central de fases”, así que los videos claramente me enseñaron algo.
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Me imagino cómo se sentirá que Terence Tao diga que él también intentó algo parecido pero fracasó, y luego resuma tu argumento.
    “El argumento es en gran medida de naturaleza analítica de Fourier. Los primeros pasos son estándar y serán reconocibles para muchos teóricos analíticos de números que han intentado romper la barrera de Ingham, incluido yo. Pero ellos hacen varios movimientos ingeniosos e inesperados”.

    • Es totalmente común que un matemático de primer nivel haya intentado una técnica y haya fracasado, y que otro matemático la use con éxito.
    • No lo he conocido personalmente, pero la escritura de Tao es muy humilde y amable. Habla públicamente incluso de cosas que intentó y no salieron bien.
      También escribe mucho, en general, sobre herramientas y sus limitaciones. Definitivamente recomiendo leer su blog.
    • Dos de los autores del artículo ya tienen una posición bastante consolidada en el campo.
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • Debe sentirse como una verdadera meritocracia. Especialmente en lugares donde las clasificaciones estrictas no son la norma, Terence Tao tampoco se verá a sí mismo como la “cima” de algo.
      Además, puede significar una base y una comprensión sólidas de que no necesariamente se espera que las acciones de alguien se correlacionen con su reputación. Esto es especialmente cierto cuando obtener resultados no es un concurso de popularidad, sino el esfuerzo de una persona o de un equipo riguroso.
      Puede resultar extraño para quienes se mueven en entornos de negocios comunes, grandes empresas, VC y academia, donde domina la política, la meritocracia no pasa de ser una frase motivacional agradable y la popularidad se convierte en moneda real.

  • Este artículo que explicaba la importancia potencial de la demostración propuesta en 2018 fue una introducción útil
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • Me da curiosidad cuál sería la importancia potencial de la demostración. El artículo es un tanto vago:

      (Los números primos) son importantes para proteger las comunicaciones cifradas que se transmiten por internet. Y, algo clave, muchísimos artículos de matemáticas dan por verdadera la hipótesis de Riemann. Si se demuestra que esta suposición fundamental es correcta, “muchos resultados que se cree que son verdaderos pasarán a saberse verdaderos”, dice Ken Ono, matemático de Emory University en Atlanta. “Es una especie de oráculo matemático”.
      ¿Hay alguna aplicación clara y conocida en la que una demostración de la hipótesis de Riemann tenga un efecto práctico inmediato? Más allá de la satisfacción o de “un cifrado un poco mejor”, digo

  • Dato curioso: uno de los autores, Larry Guth, es hijo de Alan Guth, el físico teórico famoso por la cosmología inflacionaria (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Me pregunto qué opinan sobre todos los teoremas que dependen de tomar la hipótesis de Riemann como ley del tercero excluido
    Los constructivistas rechazan la ley del tercero excluido, porque consideran que una demostración de “A o B” debe tener efectivamente una demostración de A o una demostración de B. Pero todavía nadie tiene ni una demostración de RH ni una demostración de ~RH
    Esto importa en los llamados sistemas lógicos incompletos, donde algunos teoremas no pueden demostrarse ni refutarse, y en esos sistemas la ley del tercero excluido no es un axioma admisible

    • ¿No es eso un problema un poco distinto? Creía que el punto era que demostrabilidad y verdad son cosas distintas
    • He oído este razonamiento:
      Si RH no se puede demostrar en ningún sentido, entonces seguramente no puede existir un contraejemplo para RH. Porque si hubiera un contraejemplo, podríamos encontrarlo y demostrar que RH es falsa
      Por lo tanto, si RH es indemostrable, tiene que ser verdadera. Aunque esto parece usar lógica externa al sistema lógico en el que opera RH

  • Esta sección de comentarios está extrañamente llena de gente que no entiende realmente el tema y quiere parecer inteligente, logrando más bien lo contrario
    Ojalá soltaran esa ansiedad. Está bien decir honestamente que uno no entiende algo. Todos no entendemos muchas más cosas de las que entendemos

    • Salvo por un comentario marcado, me parece que los comentarios son bastante profundos e interesantes. Incluso hay una demo de visualización genial de la función zeta de Riemann:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      En cambio, tu comentario suena bastante condescendiente y se siente más como una proyección que como una contribución significativa
    • ¿Solo en esta sección de comentarios?

  • ¿Alguien puede explicárselo a alguien que no es matemático?

    • Uno de los problemas abiertos más importantes de las matemáticas es la hipótesis de Riemann. Afirma que todas las soluciones de cierta ecuación, zeta(z)=0, tienen una forma específica
      Casi todos los matemáticos vivos han intentado resolverla en algún momento de su vida. La hipótesis tiene implicaciones profundas para la teoría de números, por ejemplo para la distribución de los números primos
      En un artículo reciente, algunos matemáticos afirman haber dado cotas más fuertes sobre dónde pueden estar esas soluciones. En el texto enlazado, Terrence Tao, uno de los mejores matemáticos vivos, elogia mucho el artículo
      Personalmente, creo que todavía no está en una etapa que deba interesarle muchísimo a alguien que no es matemático. Es un resultado extremadamente técnico, y en la revisión posterior podría resultar incorrecto o incompleto
      Hay mucho material para leer sobre la hipótesis de Riemann, sus implicaciones y los intentos de resolverla
    • Piensa en Indiana Jones and the Last Crusade. Todavía no entraron a la habitación, pero ya desactivaron una de las trampas dentro del templo
    • Como contexto, este video explica bien una visión general de la hipótesis de Riemann: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • Existe una fórmula aproximada para cuántos números primos menores que N hay, a medida que N crece
      Si la hipótesis de Riemann es verdadera, sabríamos que el error de esa aproximación está bien controlado y es pequeño, y entonces podrían demostrarse muchos otros resultados aproximados. Hay muchos resultados de la forma “si la hipótesis de Riemann es verdadera…”
    • Prime Obsession es una buena introducción en forma de libro, sobre la hipótesis de Riemann y el propio Riemann, que no presupone formación matemática

  • Qué buen timing. Justo estoy escuchando The Humans de Matt Haig, y la historia empieza después de que alguien demuestra la hipótesis de Riemann