La estrategia Kelly que no puede fallar

Introducción

• La estrategia de asignación de apuestas Kelly es un sistema para aprovechar al máximo la información en situaciones de apuesta, y es conocida como una estrategia muy agresiva y con alta volatilidad.
• En el libro Mathematical Puzzles de Peter Winkler se presenta un juego de cartas llamado "Next Card Bet", y en este juego se describe una situación en la que la estrategia Kelly no tiene riesgo ni volatilidad.

El juego

• El juego se desarrolla con una baraja de 52 cartas (26 rojas y 26 negras), y el jugador comienza con un capital de $1.
• Cada carta se revela una sola vez, y el jugador puede apostar una parte de su capital actual a si la siguiente carta será roja o negra.
• Se puede contar las cartas para inferir el color de las cartas restantes y así construir una estrategia de apuesta.

Estrategia Kelly

• La estrategia Kelly consiste en elegir apuestas que maximicen el logaritmo esperado del capital.
• Se asume que r es la cantidad de cartas rojas restantes y b la cantidad de cartas negras restantes; cuando r > b, la fracción apostada se calcula como bet_fraction = (r - b) / (r + b).
• Cuando r = b, no se apuesta; cuando r > b, se apuesta al rojo, y cuando b > r, se apuesta al negro.

Prueba de la estrategia

• Se simula la estrategia Kelly usando Python.
• A lo largo de 10,000 partidas, en cada ejecución se obtuvo una ganancia de 9.08 veces el capital inicial, y no hubo variación en el resultado.
• A diferencia de la estrategia Kelly habitual, aquí el resultado no tiene volatilidad.

Explicación

• Cuando una de las posibles disposiciones de cartas entre (52 choose 26) coincide exactamente, la estrategia de portafolio multiplica el capital por 2^(52).
• Se explica que la estrategia Kelly y la estrategia de portafolio producen el mismo resultado, y por qué la estrategia Kelly no tiene volatilidad.

Comentario

• La estrategia Kelly apuesta sobre el color mayoritario, de modo que cada vez que ocurre una apuesta incorrecta, la baraja se vuelve más desequilibrada y eso juega a favor del apostador.
• Se destaca la característica de la estrategia Kelly de poner precio adecuadamente a la información o la incertidumbre.
• Se recomienda el libro Mathematical Puzzles de Winkler, que trata problemas similares.

[GN⁺]

Opinión de Hacker News

• Se puede obtener ganancia siempre que sea posible dividir la participación infinitamente

  • Por ejemplo, cuando las 26 cartas rojas están arriba, la participación inicial de $1.00 se reduce a 0.000000134 y luego vuelve a subir a 9.08

• La discusión sobre portafolios parece ser un desvío innecesario

  • Hay una demostración de dos líneas por inducción
  • El caso base tiene una ganancia de 2 en (0,1) o (1,0)

• Un ejemplo similar del juego de cartas se explica en un libro de entrevistas financieras de Timothy Falcon

  • Gwern lo explica y escribió código que demuestra la estrategia óptima de detención

• Explicación adicional interesante sobre el criterio de Kelly

  • La paradoja de Proebsting es un argumento que muestra que el criterio de Kelly puede llevar a la ruina
  • Se puede resolver matemáticamente, pero plantea cuestiones interesantes en su aplicación práctica

• El criterio de Kelly es uno de los conceptos de la teoría de juegos y los apostadores profesionales lo usan mucho para gestionar su capital

  • Es un criterio para resultados binarios, pero al aplicarlo a situaciones no binarias pueden aparecer resultados distorsionados

• Sería una mejor demostración si se redujera a números más manejables

  • Ej.: una baraja compuesta por 2 cartas negras y 2 cartas rojas

• Es muy interesante ver que no hay variación en el resultado

  • Me pregunto si la estrategia de Kelly es óptima para este problema

• Como alguien que se llama Kelly, agradezco la confianza

• Parece que el problema y la solución provienen de Thomas Cover

  • Lo aprendí en una clase donde enseñaban el criterio de Kelly, y sus clases siempre eran interesantes y valían la pena

• Verificado con varias semillas de RNG

  • No es un problema porque el RNG avanza en cada ejecución