El problema del emoji (2022)
(artofproblemsolving.com)- El problema matemático con emojis que se hizo famoso en internet tiene la característica de producir varias respuestas debido a elementos trampa
- En la comunidad matemática quisieron crear, como alternativa a ese tipo de problemas, uno que fuera realmente difícil
- Esta publicación explica cómo encontrar ternas pitagóricas y la técnica relacionada (trazar líneas)
- En el problema de emojis de alta dificultad, la clave está en las curvas elípticas y el análisis de soluciones racionales
- Se enfatiza una estrategia para encontrar soluciones mediante herramientas matemáticas y Mathematica
Contexto y aparición del problema matemático con emojis
En internet se difundieron problemas matemáticos expresados con emojis (o dibujos de frutas, etc.). Estos problemas generaban controversia y efecto viral porque, debido a elementos que podían confundir (por ejemplo, diferencias sutiles en la cantidad de bananas), una misma pregunta podía tener varias respuestas. Matemáticos reales y la comunidad matemática terminaron hartándose de esto, y en 2017 apareció en r/math de reddit un hilo con la idea de “hagamos un problema matemático con dibujos que sea realmente difícil”. El problema presentado allí, a diferencia de los anteriores, seguía siendo relativamente fácil si se trataba de encontrar soluciones enteras, pero alguien llamado Sridhar Ramesh lo modificó un poco y lo convirtió en un problema extremadamente difícil. Incluso la solución más pequeña de la versión modificada tiene más de 80 dígitos, y llegó a considerarse un problema que requiere conocimientos avanzados relacionados con curvas elípticas.
Un ejemplo introductorio: encontrar ternas pitagóricas
Primero se aborda, como problema sencillo, el método exhaustivo para las ternas pitagóricas. En lugar de buscar soluciones enteras (ecuación diofántica) que satisfagan x² + y² = z², se plantea el enfoque de encontrar soluciones racionales (fraccionarias) en x₁² + y₁² = 1.
- Al sustituir x₁ = x/z, y₁ = y/z, el problema se transforma en encontrar todos los puntos racionales sobre la circunferencia unitaria
- Se puede pensar en tomar como punto de partida el origen (0,1), etc., y trazar una recta con pendiente racional
- La segunda intersección entre esa recta y la circunferencia siempre será un punto racional
- Esto puede verificarse con las fórmulas de Vieta, entre otras herramientas, y al fijar la pendiente se puede alcanzar cualquier punto racional
- Al resumirlo, las ternas pitagóricas pueden caracterizarse con la estructura (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) (válida para enteros positivos m, n)
- La idea central es: “si trazas una línea, aparece un punto nuevo”
El problema original del emoji: transformar una ecuación difícil en una curva elíptica
La fórmula central del problema empieza con x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 que se reorganiza en la forma x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz .
- Al sustituir x₁ = x/z, y₁ = y/z y dividir todo entre z³, el análisis pasa a hacerse sobre soluciones racionales
- La ecuación resultante tras la sustitución es x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
- Si se visualiza, la gráfica de esta ecuación es simétrica, y al rotar adecuadamente los ejes y volver a sustituir (x₂, y₂), puede reorganizarse en una forma más simple
- Finalmente se obtiene la siguiente ecuación en forma de curva elíptica: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0
Principio de generación de puntos racionales en una curva elíptica
Se explica el procedimiento de elegir dos puntos racionales (P, Q) sobre una curva elíptica, trazar la recta que une ambos y encontrar el tercer punto de intersección R entre esa recta y la curva.
- Los tres puntos (P, Q, R) tendrán todos coordenadas racionales
- Usando las fórmulas de Vieta, la pendiente de la recta y transformaciones algebraicas, se puede calcular de manera consistente el tercer punto de intersección
- Si la recta se traza sobre el mismo punto (P=Q), entonces se convierte en una tangente, y en ese caso se aplica el mismo principio
- Lo importante es que “al conectar dos puntos racionales, aparece otro punto racional”
El límite de la ‘multiplicación’ de puntos racionales y el hallazgo de un punto de orden infinito
Los puntos racionales triviales que pueden encontrarse fácilmente sobre la curva elíptica ((0,1), (-1,0), (0,-1), etc.) conducen cada uno a resultados sin significado para la solución.
- Solo con esos puntos, lo único que se repite son puntos de torsión (puntos de orden finito), que ya no generan puntos racionales nuevos
- Se necesitaba un punto desconocido de orden infinito (capaz de producir infinitas soluciones)
- Con ayuda de cálculos computacionales como los de Mathematica, se encontró un nuevo punto racional, por ejemplo de la forma (-2, 1/5) (a este punto se le llama A)
- Usando ese punto, se pueden aplicar tangentes o rectas con otros puntos para producir cada vez más soluciones racionales nuevas y complejas
Condiciones para obtener soluciones positivas reales y cálculo iterativo
Para que una solución del problema tenga sentido, todos x, y, z deben ser positivos. En el desarrollo algebraico, al asumir z > 0, se requiere que x₁ > 0 y y₁ > 0, y para las coordenadas sustituidas (x₂, y₂) debe cumplirse x₂ > |y₂|.
- La región que satisface esta condición (una parte específica de la gráfica) se toma como la ‘zona objetivo’, y se repite el truco de las líneas hasta alcanzar soluciones racionales dentro de esa región
- Durante el cálculo, las coordenadas x e y de los puntos racionales reales se obtienen usando expresiones algebraicas complejas (funciones L, T e Y)
- De este modo, al calcular pendientes de tangentes y rectas y aplicarlas repetidamente, se llega a soluciones enormes de decenas de dígitos
Conclusión
El problema matemático con emojis dado parece simple, pero en realidad exige aprovechar activamente las propiedades de las curvas elípticas y el principio de generación de puntos racionales, y en algunos casos los valores de las soluciones crecen de manera exponencial.
- El principio sencillo y estructural de “trazar una línea para obtener un punto nuevo” también se aplica, de forma modificada, en las curvas elípticas
- El proceso real de encontrar soluciones enteras o positivas es bastante complejo, y el cálculo algebraico por computadora es indispensable
- En la continuación de la publicación se cerrará este proceso y se profundizará en el trasfondo matemático y en la especificación de las soluciones
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Comparten un enlace a una respuesta de Quora realmente excelente.
Esa respuesta de Quora fue escrita por Alon Amit, y señalan que el artículo original también incluye citas de lo que mencionó Alon Amit.
Dicen que esto representa justo el verdadero punto más alto de Quora.
Comparten que, cuando antes enseñaban matemáticas a niños, cambiaban las fórmulas o expresiones por términos lindos y familiares como animales, nubes o estrellas; al principio a los niños les molestaba, pero eso terminó despertando su interés por conceptos abstractos, y después les comentaron que incluso usaron el mismo método al enseñar a otros amigos. Enfatizan que
xno tiene por qué ser algo especial, y que “en lugar dex, se puede usar cualquier nombre, como sol o ‘suma de números de gatos’”.φaquí...?”. Rematan con la broma de que, más que el chiste de que a los programadores les cuesta poner nombres a variables, los matemáticos son peores. Dicen que, teniendo miles de años de lenguaje humano y etiquetas disponibles, usar símbolos cifrados innecesarios comorhoes absurdo, y subrayan que incluso en programas derivados de artículos matemáticos los nombres de variables deberían transmitir su significado de forma intuitiva.Comparten su experiencia de subir una imagen del problema a ChatGPT usando la interfaz de OpenAI. Al principio esperaban que el modelo ya conociera el problema y diera la respuesta, o que se inventara cualquier cosa, o que se negara a resolverlo. Pero en la práctica observaron que hacía una conjetura con confianza fingiendo que era correcta, luego al calcular directamente se daba cuenta de que estaba mal, y aun así repetía la misma conjetura. Ni siquiera lograba identificar la simetría y se comportaba como un agente no estructurado. Al final insistió con seguridad en que no había respuesta. Dicen que este resultado les tomó por sorpresa, y que si en el futuro falla así de feo con otros acertijos actualizarán sus creencias.
Comparten que probaron la misma pregunta con Gemini, y que también usaron ChatGPT o3, que tardó 11.5 minutos en pensar. Comparten un enlace al trabajo relacionado.
Justamente impresiona que no exista en absoluto una respuesta “razonable” que pueda entender una mente humana. Mencionan que creen que existe una versión de ChatGPT conectada a Wolfram Alpha y se preguntan si no la habrán probado.
Sobre la mención de Sridhar Ramesh, destacan que les parece una persona excepcionalmente rara por ser a la vez doctor en matemáticas y muy hábil para bromas basadas en memes de internet (
shitposting).Dicen que les encantan este tipo de acertijos, tanto que los bautizaron “Dantzig Sniping” al presentárselos a sus amigos. Comparten un enlace a un problema que hicieron ellos mismos y al contexto relacionado.
Al principio reaccionaron diciendo que les recordó el nombre del lugar Gdańsk (Danzig) y que se preguntaron qué era lo que había sido "snipeado".
Preguntan cómo se descubren problemas que tienen este tipo de propiedades.
Con tono de broma, preguntan por qué el autor no usa realmente emojis de frutas como nombres de variables, si ya estamos en 2025.
Señalan que, al analizar código C complejo, cambiar los nombres de variables por emojis ayuda a ver de un vistazo qué variable se usa dónde y facilita entender la estructura del código. Comparten una imagen de ejemplo. Lamentan que lenguajes modernos como Rust o JS, al seguir el estándar XID_Start/XID_Continue, impidan usar emojis como identificadores.
Comparten un enlace a un ejemplo de código C# en el que Gemini resolvió el problema por fuerza bruta usando nombres de variables con emojis de frutas.
Añaden el comentario realista de que, aunque este año sea 2025, eso no significa que el lenguaje en cuestión haya sido creado en 2025.
Si en lugar de
4se pone otra constante, puede aparecer una solución mínima muchísimo más grande. Comparten un enlace a un ejemplo interesante de ecuación diofántica (ecuación con soluciones enteras).Comparten el recuerdo de que, cuando este problema apareció por primera vez, todos se rieron a carcajadas en un seminario de teoría de números.
Dicen que la exploración profunda de la teoría de números y de grafos extraños les parece interesante, pero tienen curiosidad por saber qué era exactamente lo confuso o tramposo en el rompecabezas original de manzanas/bananas. Se preguntan si había algún elemento fácil de confundir o que provocara discusión, o si era tan fácil que todos corrían a presumir. Ellos obtuvieron la respuesta 10, 4 y 2, así que se preguntan si en realidad ellos mismos estaban confundidos.
Comparten el tip de que el parámetro de consulta
srsltiden la URL de cierto enlace a un problema es un valor innecesario.