Ese fractal que estuvo colgado en mi pared durante 12 años

• La figura fractal (“wallflower”) que surgió de un garabato del autor en secundaria tiene una estructura única generada de una manera distinta a la habitual
• Se explora cómo, en el proceso de generación de este fractal, sus características pueden describirse matemáticamente mediante un L-system y una codificación posicional basada en matrices
• Si se usan matrices específicas con determinante ±5, es posible explicar eficazmente el cambio de escala y la rotación de la figura, así como su disposición repetitiva en el espacio
• También se intenta su generalización no solo en 2D, sino también en 3D y 4D; en dimensiones más altas, el diseño de matrices considerando la simetría y la eficiencia de empaquetamiento resulta clave
• Se descubre que los fractales, el álgebra lineal y los sistemas numéricos están interconectados, y que este proceso de exploración en sí mismo muestra el valor de la resolución creativa de problemas

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Introducción: el secreto del fractal colgado en la pared

• En la secundaria, el autor descubrió un garabato hecho sobre papel cuadriculado, llenando el espacio al copiar y rotar cuadrados (más tarde lo llamó “wallflower”), y mantuvo interés por él durante muchos años
• La estructura le parecía tan peculiar que pensó que debía tener un significado matemático profundo, aunque en ese momento no pudo analizarla
• Después, ya con más conocimientos matemáticos, comenzó en serio a investigar el problema que su yo del pasado había dejado planteado

Cómo dibujar el fractal

1. Empezar con un solo cuadrado
2. Copiar la figura actual una vez a la izquierda, a la derecha, arriba y abajo, y colocar esas copias
3. Luego, rotar ligeramente en sentido horario el estado existente unos 27 grados, y volver a copiarlo y colocarlo en las cuatro direcciones
4. Repetir los pasos 2 y 3 hasta llenar la hoja

• Haciéndolo así se crea un fractal que se expande como una flor
• Si este proceso se repite hasta el infinito, al igual que la Gosper Curve, puede cubrir todo el plano

Generación del contorno del fractal mediante L-system

• También puede aplicarse el método de L-system (reglas de sustitución de cadenas): usando solo giros de 90 grados R (derecha) o L (izquierda)
• Regla inicial: comenzar con RRRR; la sustitución avanza como R→RLR, L→RLL
• El contorno implementado con L-system y el contorno generado con el método de la secundaria empiezan a mostrar diferencias importantes a partir del cuarto término
  • En el método de drag and drop, la disposición de cada copia es distinta
  • En el método de L-system, la característica es la copia en dirección diagonal

Características de wallflower sin imágenes

• El wallflower generado mediante el método de drag and drop no aparece comúnmente en ningún lugar de internet
• Tiene la característica de que la dirección se invierte repetidamente según las reglas de sustitución L→RLR y R→LLR
• Existe una relación entre el ángulo de colocación de las copias (“27 grados”), la estructura matricial y las reglas de sustitución del L-system

Cómo numerarlo (codificación posicional del fractal)

• Como en la función de emparejamiento de Cantor, se puede asignar un número a cada cuadrito dentro del fractal para entender eficientemente el espacio
• En cada iteración hay una relación estrecha con múltiplos de 5 y potencias de 5, por lo que se aplica la base 5 para una codificación eficiente
• Al observar los patrones de copia de izquierda y derecha, se descubre una conexión entre desplazamiento geométrico y suma, como “sumar 200”

Las matrices y el significado espacial del fractal

• El vector de posición se expresa como producto de matrices, de modo que en cada dígito (valor posicional) se aplica una potencia de la matriz
• Matriz de ejemplo M=[−2 1; 1 2]: cuando el determinante det(M)=-5, la dirección se invierte repetidamente
• Si se genera con M′=[2 1; -1 2], una matriz con det(M′)=5, se obtiene una estructura similar a un fractal típico de tipo Gosper
• El valor absoluto del determinante coincide exactamente con la tasa de crecimiento del tamaño del fractal y con la eficiencia de llenado del espacio
  • Si el determinante es grande, quedan huecos en el espacio; si es pequeño, hay colisiones
  • Los vectores columna de cada matriz deben ser enteros para que todo encaje exactamente en la cuadrícula de coordenadas
• Cálculo del ángulo del vector |1,2|: arctan(2/1) ≈ 63.43 grados → esa es precisamente la razón de que esté a “27 grados” del eje

Exploración de la estructura aditiva a través del fractal

• No es posible predecir todas las posiciones solo con composición simple de vectores (por ejemplo, →2+→2≠→4)
• Los valores del 1 al 4 se interpretan como cada dirección (arriba, derecha, abajo, izquierda), y aparece un “acarreo” bidimensional
• Esto se conecta con generalized balanced ternary y permite derivar sistemas numéricos 2D/de dimensión superior y estructuras sin punto fijo

Posibilidad de generalización a dimensiones superiores (3D, 4D)

Intento de expansión a 3 dimensiones

• En una matriz de 3x3, cada vector columna debe ser entero, tener distancia de Hamming 3 y determinante ±7
• Al visualizarlo realmente, ciertas regiones quedan vacías y un arreglo perfecto resulta imposible
• Puede compensarse parcialmente con copias adicionales (una “forma de cruz” en nuevas posiciones), pero es difícil lograr simetría completa

Extensión a 4 dimensiones

• En una matriz de 4x4, cada vector columna debe ser entero y cumplir la condición de tres entradas ±1 y una entrada 0
• En 4 dimensiones es posible una nueva estructura fractal llamada “orthotopeflower”
• Es posible visualizar eficazmente toda la estructura en el plano como una cuadrícula de 7x7 dentro de otra cuadrícula de 7x7

Límites de la generalización a dimensiones superiores

• Si se consideran en conjunto las restricciones de matrices, condiciones de crecimiento de escala y vectores entre enteros, esta estructura solo es válida en 1, 2 y 4 dimensiones
• En dimensiones mayores, es imposible construir matrices enteras que satisfagan todas las condiciones

Conexión con otros sistemas numéricos

• Como en la quater-imaginary base (sistema numérico con base imaginaria 2i), también es posible extender conceptualmente el sistema numérico basado en matrices hasta números complejos y cuaterniones
• El autor exploró la idea de una codificación de quaternions mediante matrices 4D (base: i+j+k), aunque dejó la verificación completamente rigurosa para su yo futuro

Cierre

• La exploración prolongada de una sola persona sobre fractales, sistemas numéricos y álgebra lineal conduce a un bello descubrimiento matemático
• Un garabato aparentemente trivial y la curiosidad pueden convertirse realmente en el punto de partida para revelar principios profundos
• Es un caso que propone nuevas ideas matemáticas y computacionales a través de la casualidad, el ensayo y error y la perseverancia del proceso de investigación
• También se enfatiza la actitud de aceptar como parte de la exploración incluso las visualizaciones imperfectas o los errores en las reglas

[GN⁺]

Opiniones en Hacker News

• Una obra impresionante y una lectura muy disfrutable

  • Cliff, muchas gracias por expresarlo; los videos de Numberphile fueron una gran inspiración para descubrir la belleza de las matemáticas cuando era niño

• Se siente como un texto muy perspicaz y cuidadoso; me gustó especialmente la visualización en 3D. Me hizo recordar un proyecto que hice hace algunos años usando decimación recursiva (recursive decimation) para crear efectos parecidos a fractales a partir de cualquier imagen. Se puede probar directamente en https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ . Puedes presionar Blursort 2x2 varias veces y luego hacer clic en Animate para generar una animación. También admite copiar/pegar imágenes, funciona solo en el navegador sin backend aparte, y no lo recomiendo en móvil

  • Me pregunto si también podría funcionar en 3D

• Esperaba una lectura ligera, pero resultó ser un texto bastante largo, así que apenas lo hojeé un momento mientras trabajaba. Luego volveré para probar varias cosas; está realmente muy bien hecho

• Opinión de que el texto está muy bien escrito; pide que comparta cómo ideó el sistema de numeración "middle out", y comenta que cuando resuelve problemas matemáticos por su cuenta no se le ocurren con facilidad ideas tan inspiradas

  • En el texto el orden está un poco invertido, pero la idea se formó cuando en algún momento se dio cuenta de que la manera en que el fractal crece por factores de 5, el sistema numérico en base 5 y la "espiral" mencionada en el texto podían encajar todos de forma natural. También pensó mucho en cómo dibujar el fractal programáticamente y de manera natural se le ocurrió empezar desde el centro y expandirse hacia afuera. Hay una anécdota de Richard Feynman sobre cómo guardaba varios problemas en la cabeza e iba acumulando descubrimientos poco a poco hasta resolverlos de forma dramática; explica con humildad que él tuvo una experiencia parecida con un problema, aunque todavía está lejos de ese nivel

• Mientras estaba absorto con interés, se le ocurrió un L-system para dibujar el fractal "wallflower"; se puede ver en https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... . Pensándolo de nuevo, confiesa que quizá en realidad genere otro fractal distinto

• Elogio de que es un gran texto; dice que le habría gustado ver una foto del fractal instalado directamente en la pared. El enlace al video de Knuth estuvo bastante bueno, aunque le sorprende no haberlo conocido hasta ahora

  • ¿No es eso lo que aparece a la izquierda de la última imagen?

• Plantea la duda de si un método parecido también podría aplicarse para crear patrones de dithering con ajuste de detalle

• Comenta que es un buen texto y recomienda también el Heighway dragon, famoso por Jurassic Park, que también es bastante genial: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

• Menciona la impresión de que se parece un poco a una hélice

  • Señala que una forma en la que los cuatro brazos se curvan en la misma dirección, por desgracia, puede recordar fácilmente a todo tipo de formas de esvástica

• Dice que fue una experiencia divertida