Teoría del cuadrado

• La idea es que, en los juegos de palabras y los crucigramas, cuando cuatro vértices y cuatro relaciones forman una estructura cuadrilateral cerrada, se siente sólida y satisfactoria, como un hallazgo afortunado
• El punto de partida fueron los double doubles surgidos en #etuiposting de Crosscord, una estructura donde dos pares de sinónimos, como PUB/BAR y QUIZ/EXAM, se conectan en dos frases distintas: PUB QUIZ y BAR EXAM
• Este patrón se extiende más allá de las combinaciones de sinónimos hacia pistas de crucigrama con signo de interrogación, títulos académicos, nombres de marca y chistes basados en juegos de palabras; cuanto más fuertes sean las relaciones de los cuatro lados, más convincente resulta
• A diferencia del triángulo, el cuadrado tiene lados opuestos que no se tocan entre sí, por lo que la conexión entre ellos se siente más inesperada y elegante
• Los crucigramas comparten esta estructura cuadrada en sus pistas, temas y cuadrícula, y el hecho de que cada letra pertenezca al mismo tiempo a una palabra Across y una Down crea una estructura recursiva que produce satisfacción

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Double doubles nacidos en Crosscord

• La historia comienza en Crosscord, un servidor de Discord sobre crucigramas con más de 5,000 integrantes
• #etuiposting era un canal de charla y juegos de palabras cuyo nombre venía de una palabra de estilo crucigramista, ETUI, y en enero de 2022 Alex Boisvert publicó una pequeña observación
• Will Nediger dio como ejemplo MULTITOOL y MULTIPLIERS, y Alex luego sacó PUB QUIZ y BAR EXAM
  • PUB y BAR son sinónimos entre sí
  • QUIZ y EXAM también son sinónimos entre sí
  • Pero PUB QUIZ y BAR EXAM no son sinónimos entre sí
• Estos “pares de pares” siguieron apareciendo durante el año siguiente y terminaron reuniéndose en un hilo aparte llamado #double-doubles
• Incluso tres años después del primer prompt de Alex, el hilo sigue activo y ya supera las 3,000 publicaciones

La estructura básica de la teoría del cuadrado

• Los double doubles pueden verse como un cuadrado con cuatro palabras en los vértices y las relaciones entre palabras en los lados
• Esta estructura cerrada hace que el ejemplo se sienta no como un simple juego de palabras, sino como un “descubrimiento”
• Ricki Heicklen lleva desde 2018 reuniendo grandes listas de estos double doubles bajo el nombre de “Unparalleled Misalignments”
• Las relaciones que forman el cuadrado no tienen por qué ser necesariamente “sinonimia” o “frase”
  • Cada lado puede ser cualquier relación que conecte dos vértices
  • Cuanto más fuerte sea la relación, más fuerte será también el cuadrado
  • Los vértices tampoco tienen que ser palabras; también pueden ser entidades o conceptos
• Esta abstracción recuerda a la teoría de categorías (category theory): sin importar qué se tome como vértices y lados, la topología del cuadrado resulta satisfactoria

Cuadrados en pistas con signo de interrogación, nombres y chistes

• Las pistas con signo de interrogación en los crucigramas suelen tener una estructura cuadrada que va y viene entre el significado superficial y la interpretación buscada para señalar la respuesta
• Un ejemplo representativo es “It turns into a different story”, de un rompecabezas de Martin Ashwood-Smith de 1995, mencionada por Will Shortz como su pista favorita
  • En la superficie, se lee como “se convierte en otra situación”
  • La interpretación buscada se acerca más a “gira hacia otro piso”
  • La respuesta es SPIRAL STAIRCASE
• Los títulos de artículos académicos o los nombres de empresas también dejan una impresión más fuerte cuando completan un cuadrado, en lugar de ser simplemente nombres “plausibles”
• Brand New es un blog sobre rebranding corporativo, y su propio nombre es un caso que completa un cuadrado
• Grubhub también puede leerse como una estructura cuadrada entre su nombre y la idea de una app centralizada para entrega de comida
• Los chistes de juego de palabras también pueden modelarse como cuadrados
  • Un lado es una premisa forzada del tipo “¿cómo llamas a X si tiene Y?”
  • El lado opuesto es el remate
  • Cuanto más fuertes sean la premisa, el remate y la conexión entre ambos, mejor funciona

¿Por qué justamente un cuadrado?

• Un ciclo cerrado en sí mismo puede resultar atractivo sin importar cuántos lados tenga
  • También satisface una historia que vuelve a su punto de partida
  • Y descubrir un triángulo social entre tres personas que se conocen también puede ser interesante
• El cuadrado es el polígono más simple que tiene lados no adyacentes
• En un triángulo, todos los lados tocan a los otros dos; en un cuadrado, en cambio, dos lados opuestos no comparten nada
• Por eso, la conexión entre lados opuestos se siente más accidental y sorprendente
• Los pentágonos y figuras de más lados comparten esa propiedad, pero al aumentar los lados también aumenta la complejidad y puede perderse elegancia
• El ejemplo de Alex Boisvert con JET BLACK / JETBLUE puede parecer un triángulo, pero jet en JET BLACK viene de la gema jet y es etimológicamente ajeno al jet de avión en JETBLUE, así que es más apropiado verlo como un cuadrado

La solidez de los temas de crucigrama

• Los crucigramas estadounidenses, especialmente los del estilo de New York Times, suelen tener un tema formado por 4–6 entradas largas en Across, y a menudo incluyen un revealer que las une
• Entre quienes construyen crucigramas hoy está bastante extendida la idea de que, más que un conjunto simple como “jugadores famosos de básquetbol” o “marcas de cereal”, hace falta una conexión basada en juego de palabras para que el solucionador sienta el “aha”
• En un buen tema importan la consistencia y la “tightness”, pero los temas que más se quedan grabados suelen ser los que completan un cuadrado

• Crucigrama del New York Times del 17 de febrero de 2025

  • El crucigrama del New York Times del 17 de febrero de 2025, de Kate Hawkins y Erica Hsiung Wojcik, usa como entradas temáticas SCRAPBOOK, POPEYES, UNDER PRESSURE y GIDDY UP
  • Cada entrada contiene al final una expresión afirmativa: OK, YES, SURE, YUP
  • El revealer es YEAH RIGHT, que con la pista “Uh-huh, I bet” también funciona como descripción literal de que, a la derecha de cada entrada temática, hay un sinónimo de YEAH
  • Como YEAH RIGHT no es una mera explicación sino un modismo, el tema completa un cuadrado

• Crucigrama del New York Times del 18 de febrero de 2019

  • El crucigrama del New York Times del 18 de febrero de 2019, de Leslie Young y Andrea Carla Michaels, tiene como entradas temáticas NIGHT NIGHT, WHITE WEDDING y MUSHROOM BALL
  • El revealer es CAP AND GOWN, que además de significar atuendo de graduación, explica la estructura que forman las respuestas compuestas
  • La primera parte de cada entrada temática puede ir antes de CAP, y la segunda parte puede ir antes de GOWN
  • MUSHROOM CAP
  • BALL GOWN
  • Este tema puede modelarse como tres cuadrados en total, uno por cada entrada

• Crucigrama del New York Times del 18 de agosto de 2021

  • El crucigrama del New York Times del 18 de agosto de 2021, de Alina Abidi, usa como entradas temáticas clave PIN THE TAIL ON THE DONKEY y WHITE ELEPHANT
  • El revealer PARTY ANIMAL conecta ambas entradas al señalar que son juegos de fiesta que incluyen nombres de animales
  • Un segundo revealer, THOMAS NAST, apunta a que, a través de las caricaturas políticas de Thomas Nast, DONKEY y ELEPHANT son animales que simbolizan respectivamente al Democratic Party y al Republican Party
  • Cada entrada temática pasa a tener una estructura de cuadrado con una diagonal adicional, y la relación entre los animales y los partidos políticos forma esa diagonal
  • Reducir un crucigrama entero a un grafo tiene sus límites, pero la teoría del cuadrado puede servir como un indicador sustituto útil para observar la complejidad y la solidez temática de muchos rompecabezas

La estructura cuadrada en Scrabble y en la cuadrícula del crucigrama

• En Scrabble o Bananagrams, una palabra nueva debe cruzarse con una palabra que ya esté en el tablero
• Algunas jugadas se cruzan no con una sola palabra sino con dos al mismo tiempo, formando un rectángulo de palabras, y ese tipo de disposición se siente especialmente satisfactoria
• La relación en ese caso puede parecer algo débil, porque se basa en “una palabra que contiene ambas letras”
• Es posible formar una red densa de cuadrados en la que cada letra pertenezca exactamente a dos palabras, y eso es justamente el crucigrama estadounidense
• En el crucigrama estadounidense, cada letra debe pertenecer simultáneamente a una palabra Across y una palabra Down, así que cada letra se convierte en un vértice del cuadrado
• La sensación de “clic” que siente quien construye crucigramas cuando encaja la última esquina del llenado de la cuadrícula se parece a la sensación de cerrar un cuadrado

La teoría del cuadrado como marco creativo

• Las pistas, los temas y la cuadrícula de los crucigramas comparten la misma estructura abstracta: el cuadrado
• Si el cuadrado es intrínsecamente satisfactorio, entonces el crucigrama puede verse como una forma de arte con una estructura recursivamente cuadrada
• Quien crea puede comprobar si se completa un cuadrado al idear títulos académicos, nombres de marca, chistes, temas de crucigrama o pistas con signo de interrogación
• También en historias, noticias o entradas de blog, una estructura que vuelve al punto de partida o una “full square” puede tener un valor fundamental

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Opiniones en Hacker News

• Me gustan los juegos de palabras para pasar el tiempo durante viajes largos en auto.
  Uno que me gusta especialmente mezcla rimas con la teoría de los cuadrados: una persona elige dos palabras que rimen perfectamente y, para cada una, define una palabra pista, normalmente un sinónimo. Al decir esas dos pistas, los demás tienen que adivinar el par original que rimaba.
  Es divertido reconstruir la rima original a partir de las pistas, y se siente como resolver un pequeño rompecabezas lógico. Crear problemas nuevos es fácil, pero adivinarlos es sorprendentemente difícil; aun así, como tienen estructura, por lo general se pueden resolver.
  Hay una explicación parecida en https://bestlifeonline.com/jeopardy-rhyme-time-opera-version..., pero resulta sorprendentemente difícil encontrar una explicación de la categoría que mucha gente ya conoce.

  • En mi familia jugamos Match Three durante viajes largos en auto. Una persona da tres palabras, y quien adivine una palabra que pueda ir antes o después de cualquiera de esas tres para completarlas se convierte en el siguiente que plantea el reto.
    También se permiten homófonos y nombres propios. Por ejemplo, con (Fox, Lone, Crossed), la respuesta es Star.
    Star Fox es un famoso rail shooter de SNES; Lone Starr es el único hombre con agallas para hacerle una frambuesa a Dark Helmet; y Star Crossed es una expresión shakespeariana para referirse a dos personas cuya relación está destinada a terminar en tragedia.
  • Me hizo pensar en https://en.wikipedia.org/wiki/Rhyming_slang.
    El rhyming slang se crea sustituyendo una palabra común por una frase de dos o más palabras cuya última palabra rima con la original, y luego casi siempre se omite esa palabra final que rima, dejando solo la alusión.
  • Hace unos años hice algo parecido con amigos en un chat grupal. No había rimas; consistía en reformular títulos de videojuegos usando sinónimos aproximados.
    Si escribimos las respuestas en rot13, los ejemplos quedan así: Strange, this reunion = Zntvp gur Tngurevat, Boat pork refuge = Nexunz Nflyhz, Donkeybutt taverns gospel = Nffnffvaf Perrq, Caring for the elderly = QBGN, Belongs to me create = Zvarpensg, Superclock = Birejngpu, Top Stories = Ncrk Yrtraqf, Skyline no morning = Ubevmba Mreb Qnja.
  • No es para viajes, pero recomiendo Codenames. Tiene el sello distintivo de un gran juego: te obliga a crear asociaciones interesantes y hace que tu compañero se enoje contigo.
    https://boardgamegeek.com/boardgame/178900/codenames
  • En mi familia llamamos a ese juego “pink mink”.

• Lo de la teoría de los cuadrados aplicada a los chistes de papá me recordó el clásico chiste del espantapájaros. Se siente como un ejemplo de teoría de cuadrados en una dimensión superior.
  “¿Por qué el espantapájaros ganó un premio?” “Porque era sobresaliente en su campo.”
  Que el trabajo del espantapájaros sea literalmente estar parado en un campo (out standing in his field) y que la expresión para ser excelente en su trabajo también pueda ser outstanding in his field parece una coincidencia lingüística asombrosa.

  • El clásico “¿por qué cruzó la calle el pollo?” también encaja en este género, pero parece que no todo el mundo sabe que “para llegar al otro lado” significa pasar de la vida a la muerte. Cada vez que lo explico, la gente se sorprende de no haber conocido ese significado.
  • También está: “Un amigo se tomó por accidente una botella de tinta invisible y ahora está en el hospital esperando a que lo vean”.
    Es gracioso porque Waiting to be seen en el hospital significa esperar a que lo atiendan, y en el contexto de la tinta invisible significa esperar a volverse visible.
  • No está relacionado, pero me acordé de esta vieja frase: Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana.
  • ¿De verdad será una coincidencia? Tal vez alguien empezó con la expresión outstanding in his field, notó la ambigüedad y pensó si existía algún oficio que consistiera literalmente en estar parado en un campo. El espantapájaros es solo uno de ellos.
  • Los dos significados parecen bastante cercanos. Más que una coincidencia, significa destacarse en algún ámbito.

• Leibnitz dijo alguna vez que “la música es el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando”. Quizá resolver crucigramas sea el placer que experimenta la mente al hacer teoría de grupos.

  • En El hombre que confundió a su mujer con un sombrero, de Oliver Sacks, hay un capítulo con una idea parecida. Explica la música a partir del caso de unos gemelos autistas que no podían hacer aritmética, pero jugaban entre ellos a decir números primos cada vez más grandes.
    Básicamente, sostiene que la música y la armonía consisten en apreciar de forma innata las relaciones numéricas entre sonidos, y que decir números primos se parece a apreciar la ausencia de relaciones numéricas entre números. La experiencia de resonancia entre cosas distintas —frecuencias, números y, en el caso de este texto, palabras— puede existir con mucha fuerza independientemente de la capacidad de manipular realmente esos objetos. Es una lectura interesante.
  • Me hizo pensar en el artículo clásico Explanation as Orgasm.
    https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008290415597
  • Hay una satisfacción profunda cuando todas las piezas encajan bajo una regla oculta.

• Si la explicación de ver una cuadrícula de crucigrama como teoría de cuadrados te suena correcta, creo que también te gustaría mi juego de palabras https://spaceword.org
  El objetivo es acomodar 21 letras dentro del cuadrado más compacto posible. Todavía nadie ha creado un patrón “perfecto”, pero se están acercando bastante, al punto de que muchas veces solo quedan 3 espacios vacíos.

  • Juego divertido. Pero me cuesta estar de acuerdo con decir que la gente está muy cerca de un patrón perfecto.
    Para crear un patrón perfecto, hay que apilar tres palabras de 7 letras en filas adyacentes, de modo que en cada columna se forme una palabra de 3 letras. Por ejemplo, existen arreglos como operate / arrowed / resends, pero son muy raros.
    Estimo que, entre las combinaciones de tres palabras de 7 letras, la proporción que puede formar un arreglo válido ronda el 0.002%. Si se usan las frecuencias estándar de letras ETAOIN, un conjunto típico de 21 letras suele producir solo unas pocas combinaciones de tres palabras de 7 letras, así que la probabilidad de que un acertijo concreto tenga una solución perfecta es mucho menor que 0.1%.
    En cambio, hay 12,000 veces más formas de reordenar 21 fichas dentro de una cuadrícula de 8x3, y la elección de palabras también es más flexible. En una distribución ETAOIN, al sacar 7 letras, es mucho más común que ese orden forme una palabra de 3 letras seguida de una de 4 letras que una sola palabra de 7 letras. Casi todos los acertijos deberían tener al menos varias soluciones que entren en 8x3.
    Además, como el ancho de la cuadrícula es de solo 10 casillas, 3 espacios vacíos es lo mejor entre los arreglos no perfectos. Un espacio vacío solo sería posible con una palabra de 23 letras, y dos espacios vacíos requerirían una palabra de 10 letras junto a una de 11, pero una palabra de 11 letras no cabe en una cuadrícula de 10x10.
  • Lo primero que pensé al ver el juego fue spaceword golf.
    Como en el golf, se empieza con el cuadrado más pequeño posible y se aumenta el tamaño en cada etapa. Mientras más perfecto sea el cuadrado, más bajo es el puntaje.
  • ¿Hay una versión de spaceword que no sea “daily”? Si existe, me gustaría probarla.
  • Spaceword rasca exactamente la misma comezón mental que la teoría de cuadrados.

• No me gusta que pongan las citas como imágenes, porque no se pueden cortar y pegar.
  Por ejemplo, cosas como Jet black/Jet Blue, catnap/dognap.
  Mi ejemplo favorito es cómo las preposiciones cambian el significado idiomático. down for y down with tienen significados parecidos, pero down on significa lo contrario. Y going down to X significa algo muy distinto de going down on X. El último ejemplo también es interesante al estilo de HN, porque la preposición impone una restricción de tipo sobre el binding de X, por eso tuve que usar X y no something.

  • En este caso, el texto está en la etiqueta ALT, así que debería ayudar si el navegador la expone.
  • Mucho menos que antes. No sé qué dispositivo usas, pero en iPhone se puede copiar el texto de esa imagen de forma bastante natural.
  • Down for lunch? Down with lunch! La comida de la mañana sabe mejor.
  • down for something también es casi sinónimo de up for something.

• Mi ejemplo favorito de algo que dijo un amigo no nativo por un error real de traducción es Hand job. Lo que quería decir era manual labor.

  • A una vtuber japonesa también le pasó algo parecido y se volvió famoso: https://www.youtube.com/watch?v=UeQ5K5DQiDI
  • En chino, 手工 parece significar literalmente algo más cercano a hecho a mano. El segundo carácter, 工, al parecer también puede significar trabajo u oficio, pero parece que la expresión idiomática sexual allí es otra.
  • Una vez oí a un no nativo viendo cómo fallaban un tiro en un partido de básquetbol decir: “Another rim job!”
  • En la película The Jerk hay un chiste con el mismo malentendido intencional.
  • También he oído que en broma le dicen handjob a la manicura.

• Esta idea es ingeniosa y me dan ganas de pensarla más. En cierto sentido, parece decir que se puede meter en un cuadrado una analogía típica de SAT, por ejemplo Lumen : Brightness = Inches : Length, y que la mayoría de las pistas de crucigrama también se pueden expresar como extraños problemas de analogía del SAT. Quizá sea estirar demasiado la analogía.
  Pero creo que la “diagonal” que el autor propone como conexión entre Donkey, Elephant y Party no es correcta. La clave es que Donkey y Elephant son ambos Party Animal. No se puede ignorar la parte Animal, porque eso es lo que los describe. Cada uno es el animal que representa a su partido, es decir, un party animal.
  No sé cuál sería la forma correcta de expresar esto en la teoría de cuadrados, pero no es simplemente conectar Party con esos animales.

• Me emociona bastante ver que el cuadrado semiótico de Algirdas Greimas se derive de los primeros principios del juego.
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Semiotic_square

• Buen artículo.
  El cuadrado de Grubhub también funciona con otras alternativas. Grubclub, Bitesite o Eatmeet también podrían servir, aunque el último no está tan bueno.

• Muchas de las “partes ingeniosas” de la escritura probablemente podrían adaptarse también a figuras más complejas. En especial en clásicos que solo les gustarían a personas que realmente aman los clásicos literarios.
  Por ejemplo, una historia con cinco protagonistas, todos conectados de cierta manera como si formaras una estrella de cinco puntas con cinco tachuelas y un hilo, pero que también están conectados de una forma completamente distinta y no relacionada, como el pentágono hecho con la misma disposición de tachuelas.