- El clásico acertijo de la cuadrícula infinita de resistencias trata de encontrar la resistencia efectiva entre nodos adyacentes en una cuadrícula cuadrada infinita
- La resistencia efectiva entre nodos adyacentes puede expresarse como R/2 usando la simetría de la cuadrícula y la solución de la ecuación de Laplace
- En una cuadrícula infinita, la solución puede ser indeterminada según los puntos de entrada y salida de corriente y las condiciones de frontera
- A diferencia de un circuito físico real, en una cuadrícula idealizada es difícil hacer un análisis riguroso
- Es posible calcular la resistencia entre todos los pares de nodos mediante varios métodos matemáticos (ecuaciones en diferencias, series de Fourier, etc.) y expresiones integrales
Introducción y definición del problema
- La “cuadrícula infinita de resistencias” supone una estructura en la que cada nodo adyacente de una cuadrícula cuadrada está conectado por una resistencia R
- En esta estructura, el acertijo consiste en encontrar la resistencia efectiva entre dos nodos específicos, por lo general adyacentes
- Entre nodos adyacentes, la resistencia resulta ser R/2 mediante simetría e interpretaciones intuitivas
- Esto es similar a las características del potencial de un dipolo eléctrico, y el voltaje en los nodos de la cuadrícula también sigue la forma discreta de la ecuación de Laplace
Solución intuitiva y sus límites
- Al inyectar corriente en un solo nodo de una cuadrícula infinita, se asume por simetría que la corriente se distribuye de manera uniforme en las cuatro direcciones
- Si se superponen las soluciones de dos casos en los que la corriente se inyecta y se extrae entre dos nodos adyacentes, la resistencia en la dirección considerada se obtiene como R/2
- Aunque este método resulta intuitivamente convincente, para demostrarlo rigurosamente se necesita una explicación más estricta del comportamiento del voltaje y la corriente en el infinito, así como de la ruta total de entrada y salida de corriente
- De hecho, como la resistencia desde el nodo central hasta el infinito diverge a infinito, interpretar simplemente el infinito como tierra no es físicamente riguroso
Análisis matemático riguroso
Cuadrículas finitas e infinitas
- Para analizar el problema de manera rigurosa, en realidad hay que considerar el límite de una cuadrícula finita pero muy grande
- Deben ajustarse las condiciones de frontera dentro de una estructura de cuadrícula que se expande gradualmente desde el centro hacia la periferia para obtener una solución físicamente admisible
- En una estructura infinita siempre existe un problema de indeterminación: sin condiciones de frontera no queda determinada una solución única
Método de ecuaciones en diferencias para una cuadrícula unidimensional
- En un arreglo unidimensional de resistencias se plantean ecuaciones en diferencias y, aplicando un término resonante (resonance term) en la solución general, se obtiene la distribución de voltaje en cada nodo
- El potencial del nodo n-ésimo es |n|/2 y, si hay k resistencias, la resistencia efectiva es kR
Análisis de la cuadrícula bidimensional
- En una cuadrícula bidimensional, el potencial en la posición (m,n) también puede expresarse con ecuaciones en diferencias
- Tras construir series de Fourier y múltiples métodos de soluciones propias, la solución se obtiene mediante integración (superposición) para satisfacer simultáneamente las condiciones en distintas posiciones
- El voltaje en el nodo adyacente (1,0) es 1/4V y, cuando la corriente es -1A, la resistencia resulta ser 1/2
- Posiciones más complejas, como nodos en diagonal, se obtienen formulando expresiones integrales
Expresiones integrales y generalización
- El valor de la resistencia entre todos los pares de nodos de la cuadrícula puede generalizarse mediante integrales de múltiples variables (por ejemplo, α, β y variables sustitutas como s, σ, etc.)
- En el proceso analítico pueden usarse ecuaciones características, polinomios trigonométricos y cambios de variable para simplificar el cálculo
- Tanto la resistencia entre nodos en diagonal como entre otros nodos puede calcularse con integrales adecuadas y relaciones de recurrencia
- Se emplean diversos recursos matemáticos, como series de Fourier, sustituciones trigonométricas y cambios de variable
Conclusión y otros puntos
- La cuadrícula infinita de resistencias, gracias a su simetría y estructura matemática, parece tener una solución clara desde la intuición, pero de manera rigurosa hay que examinar las condiciones de frontera y su realismo
- El cálculo de resistencias puede generalizarse usando técnicas matemáticas como ecuaciones en diferencias, integrales y tratamiento de singularidades
- La cuadrícula ideal no sigue las leyes físicas de un circuito real (propagación a velocidad finita, resistencia finita, etc.), por lo que existe una diferencia de significado entre la realidad y la teoría
- Los casos prácticos y enfoques matemáticos adicionales se tratan con más detalle en una nota matemática aparte
1 comentarios
Comentarios en Hacker News
La gente cree que esto no tiene relación con problemas reales de trabajo, pero en realidad vale la pena mencionar que la resistencia de un sustrato de silicio se parece mucho, en la práctica, a una red infinita de resistencias. El sustrato de silicio normalmente viene fuertemente dopado (tipo p), y la única información que da la fab es la resistividad (resistivity, normalmente 1~100 ohmcm). En procesos modernos suele estar alrededor de 10 ohmcm. Para entender el acoplamiento de ruido a través del sustrato no basta con calcular una sola resistencia punto a punto; hace falta una intuición de toda la red como conjunto. Como los contactos al sustrato deben distribuirse en forma de red para recolectar el ruido, al final esto termina conectándose con el problema de la red infinita de resistencias
Siempre había sentido vagamente que la fotolitografía era difícil, pero no sabía que era un campo tan complejo como para que apareciera el nombre de una diosa egipcia de verdad. Lo digo por experiencia propia
En realidad, creo que la situación descrita es matemáticamente más simple porque es un modelo continuo
Quiero recalcar que la unidad de la resistividad es ohm*cm. Lo aprendí hace tiempo trabajando en Fairchild
Tengo tanto la perspectiva de las matemáticas como la de la ingeniería electrónica. Como ingeniero electrónico, sostengo que para medir experimentalmente una resistencia hay que aplicar corriente de verdad. Y entonces aparece la pregunta de cuándo se aplicó esa corriente, junto con la inductancia y capacitancia distribuidas, e incluso la velocidad de propagación del campo. Cuando un matemático oye esto, se va al bar a calmarse con un trago fuerte
Al final llega el momento de traer a un físico. El físico señala que, a distancias suficientemente grandes, los efectos cuánticos pasan a dominar. En nodos muy lejanos, la cantidad de electrones que se mueven por segundo —es decir, el flujo de corriente— termina siendo 0 o 1
A la pregunta de “¿cuándo?”, se puede responder que simplemente hay que esperar un tiempo infinito hasta que desaparezca toda respuesta transitoria (transient response). En ese momento la red entra en estado estacionario y queda exactamente igual a como aparece en el diagrama del circuito
Creo que hay dos maneras de interpretar un esquema de circuito. Una es cuando representa componentes físicos reales: resistencias, inductancias, no linealidad lógica, capacitancia del plano de tierra, etc. Es la interpretación que se usa al trabajar con herramientas como OrCad. La otra es un mundo virtual ideal en el que las resistencias obedecen únicamente una ley de Ohm perfecta, y el cableado no tiene ni inductancia, ni retardo, ni resistencia. En ese caso, conectar directamente los dos terminales de una fuente de voltaje equivale a dividir entre 0. A veces, cuando quieres modelar un circuito real, traduces de la primera interpretación a la segunda y agregas explícitamente inductancia, resistencia y demás. Si no, el simulador SPICE se encarga de eso. La red infinita de resistencias solo existe en la segunda interpretación
Es cierto que la red infinita de resistencias es claramente un problema simple de “juguete”, pero asumir que el universo es infinito para analizarlo sí es una realidad de la astrofísica. Me pregunto si la falta de intuición humana para escalas así crea puntos ciegos invisibles al interpretar el universo
Surge la pregunta divertida de si en una red infinita de resistencias podrían formarse estructuras como planetas
Desde un punto de vista educativo, me parece mucho más útil para aprender intuición, simetría de circuitos y conceptos como la ley de corrientes de Kirchhoff el problema de encontrar la resistencia entre vértices opuestos de un cubo hecho de resistencias de 1 ohm. La red infinita se siente demasiado lejana incluso matemáticamente, así que no parece un problema realista para resolver en un curso introductorio
En las soluciones centradas solo en la simetría simple, no me queda claro en qué momento hay que aceptar la premisa de que “se pueden separar los nodos positivo/negativo y considerar por separado cada campo de corriente”. Sigue habiendo simetría entre ambos nodos, pero ya no se puede asumir como al principio que la corriente fluye igual en todas las direcciones, así que la duda permanece
Este problema salió en una clase de ingeniería eléctrica y electrónica cuando estaba en la universidad, y lo odié de verdad. Era uno de esos experimentos mentales que les encantaban a los profesores
Este problema es una versión discreta de la “sheet resistance”. La resistencia entre todos los pares de nodos es igual. Se veía en el antiguo currículo universitario de EE, pero ya casi no recuerdo cómo se derivaba la solución. (Ver wiki de sheet resistance)
Veritasium subió una vez un gran video sobre un tema parecido mostrando las trayectorias por las que pasa la luz. Adjunto el enlace con marca de tiempo a la parte que considero una de las mejores demos de física que he visto: demo de Veritasium en YouTube
En la explicación basada en simetría y superposición (superposition), no termino de entender por qué en los nodos adyacentes aparece alpha-beta-alpha y no alpha-alpha-alpha. Me intriga por qué solo se distingue una dirección y las otras se tratan igual
Si se extiende al infinito, al final termina siendo lo mismo que la fórmula R = rl/A (resistividad * longitud / área transversal). Pero como la longitud (l) es infinita y el área transversal (A) también es infinita, queda “infinito/infinito” y el valor no está definido. Dan ganas de decir que en vez de perder tiempo resolviendo problemas “inútiles” como este, mejor dediquen ese tiempo a algo más provechoso
Este problema también es conocido como un problema de filtro pasaaltas que aprenden los estudiantes de EE de primer año