- En una retícula cuadrada infinita donde todos los nodos adyacentes están conectados por una resistencia R, la resistencia efectiva entre dos nodos adyacentes resulta ser R/2 por simetría y superposición
- Este cálculo suma el campo producido al inyectar corriente en un nodo y el campo producido al extraer corriente de un nodo vecino, y usa la ecuación de Laplace discreta, según la cual el voltaje de cada nodo sigue el promedio de los cuatro nodos que lo rodean
- Sin embargo, la explicación de que “la corriente se escapa hacia el infinito” no es rigurosa: la resistencia desde un nodo hasta el infinito diverge como una serie armónica impar
- Por lo tanto, para fijar la solución se necesitan condiciones de frontera asintóticas, como el límite de una retícula finita grande; en una retícula verdaderamente infinita sin condiciones, la solución puede ser arbitraria
- La resistencia entre dos nodos cualesquiera se calcula mediante ecuaciones en diferencias y superposición de series de Fourier; tomando resistencias unitarias, la resistencia de un nodo adyacente en diagonal es 2/π
Cálculo por simetría de la resistencia entre nodos adyacentes
- Supongamos que hay una resistencia R entre cada par de nodos adyacentes de una retícula cuadrada, y que la retícula se extiende infinitamente en todas las direcciones
- La pregunta clave es cómo calcular la resistencia efectiva entre dos nodos adyacentes o, más generalmente, entre dos nodos cualesquiera de la retícula
- La solución estándar para nodos adyacentes divide el campo de corriente en dos y los suma
- Una retícula en la que se inyecta corriente en un nodo
- Una retícula en la que se extrae la misma corriente de otro nodo adyacente
- El voltaje de cada nodo obedece la ecuación de Laplace discreta, que satisface que sea el promedio de los voltajes de los cuatro nodos vecinos; por linealidad, las soluciones pueden superponerse
- Por ejemplo, si se inyectan 4 A en un nodo, por simetría puede considerarse que fluye 1 A por cada una de las resistencias en las cuatro direcciones
- Si a esto se suma el campo de corriente que extrae 4 A desde un nodo adyacente, por el enlace directo entre los dos nodos fluyen en total 2 A
- Como las demás rutas de la retícula, excluyendo el enlace directo, también transportan repartida la misma corriente, la resistencia del enlace directo y la resistencia efectiva del resto de la retícula son iguales
- Dado que el enlace directo y el resto de la retícula están en paralelo, la resistencia efectiva total es R/2
La trampa que crean las condiciones de frontera en el infinito
- El argumento de simetría es intuitivo y otros métodos dan la misma respuesta, pero no aborda con claridad adónde va la corriente inyectada en un nodo dentro de una retícula infinita
- Decir simplemente que “está conectada a tierra en el infinito” no basta
- Si se consideran trayectorias cuadradas concéntricas alrededor del nodo central, el número de enlaces aumenta hacia afuera como 4, 12, 20, 28, …
- La resistencia total correspondiente hasta el infinito toma aproximadamente la forma de una serie armónica impar y diverge
- Para hacer pasar corriente desde un nodo hasta el infinito se necesitaría un voltaje infinito entre el nodo y el “infinito”
- Un enfoque más riguroso es partir primero de una retícula finita grande y verificar si, en el límite al aumentar el tamaño de la retícula, se aproxima al resultado deseado
- Los límites de una retícula finita centrada en el nodo de corriente positiva y de una retícula finita centrada en el nodo de corriente negativa deben converger a condiciones de frontera compatibles entre sí; en ese caso, la corriente neta hacia el infinito debe ser 0
- Hay una discusión relacionada en otra nota, y una retícula verdaderamente infinita queda indeterminada sin condiciones de frontera asintóticas
Idealización física e indeterminación de la solución
- La suposición de que el campo de corriente de una retícula infinita ya está completamente formado hasta el infinito no puede realizarse en un proceso físico realista en un tiempo finito
- Como se considera que la retícula de este problema contiene solo resistencias ideales y no capacitancias ni inductancias, no se tiene en cuenta la dinámica del circuito
- Si se lleva esta idealización al extremo, se llega a una conclusión del tipo de que el campo de corriente podría formarse instantáneamente hasta el infinito, pero eso no coincide con la velocidad finita de propagación de los circuitos reales
- Todos los circuitos reales tienen capacitancia e inductancia, por lo que la velocidad de propagación no puede ser infinita
- La razón por la que parece que la respuesta queda determinada de forma única es que se imponen implícitamente comportamientos asintóticos físicamente plausibles provenientes de fuentes locales, como el límite de una retícula finita grande
Generalización mediante ecuaciones en diferencias
- La resistencia entre dos nodos más generales se obtiene superponiendo soluciones de la ecuación en diferencias básica
- En una retícula unidimensional de resistencias unitarias, si se extrae 1 A en el origen y se establece que la corriente neta de los demás nodos sea 0, la solución de voltaje es proporcional al valor absoluto de la distancia
- Como resultado, en una dimensión la resistencia efectiva entre dos nodos separados por k resistencias es, como se espera, kR
- En una retícula bidimensional, la corriente neta del nodo
(m,n)se expresa mediante diferencias con los voltajes de sus cuatro vecinos, y los nodos con corriente neta 0 satisfacen una ecuación en diferencias bidimensional - La solución puede construirse superponiendo componentes de la forma
μ^m ν^n, y existe una ecuación característica entreμyν - Si se toma
μ = exp(iα)yν = exp(iβ), las soluciones de forma de Fourier pueden superponerse mediante integración - Al tomar el valor absoluto de los índices para construir una solución que extraiga 1 A del origen, cerca del origen se obtiene
V(1,0) = 1/4, lo que coincide con la resistencia entre nodos adyacentes de 1/2 Ω - Para eliminar corrientes innecesarias sobre los ejes, se integran varias soluciones respecto de α y se determina una función de peso mediante series de Fourier
Fórmula de resistencia para nodos diagonales y arbitrarios
- La resistencia entre el origen y
(m,n)se expresa como el doble de la diferencia de voltaje respecto del origen, y se organiza en forma de integral - La resistencia del nodo
(1,1), separado una casilla en diagonal, es 2/π tomando resistencias unitarias - Este resultado también puede derivarse de forma puramente algebraica sin series de Fourier; el contenido relacionado está en una nota aparte
- Si se conocen la resistencia entre nodos adyacentes
1/2y la resistencia entre nodos adyacentes en diagonal2/π, se pueden calcular las resistencias de varios nodos cercanos usando solo la ecuación en diferencias básica - La fórmula general puede simplificarse expresando
cos(mα)como un polinomio trigonométrico ens = cos(α) - Si nos concentramos en la dirección del eje
R(0,n), la integral puede reducirse más, y con una sustitución se pueden calcular varios valores - Otro método de sustitución define
α = r+syβ = r-s, y reexpresa la integral usando la relacióncos(r)cos(s)=1 - La resistencia del nodo diagonal
(m,m)se resume, tomando resistencias unitarias, como2/πmultiplicado por1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) - La resistencia de los demás nodos puede calcularse con relaciones de recurrencia básicas
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Comentarios de Hacker News
Desde la perspectiva de alguien que es matemático y también ingeniero eléctrico, un ingeniero eléctrico diría que no se puede medir si no se hace circular corriente y, aun después de hacerla circular, por la inductancia y capacitancia distribuidas y la velocidad de propagación del campo, preguntaría “cuándo se mide”.
El matemático escucha eso y termina yendo a un bar a tomar algo fuerte.
Porque si vas lo suficientemente lejos, en algunos nodos la cantidad de electrones que se mueven por segundo, es decir, el flujo de corriente, será 0 o 1.
Después el ingeniero puede seguir agregando resistencias en los bordes hasta que se acabe el presupuesto de investigación o se acerque la fecha límite del paper del físico.
La pregunta realmente difícil es qué porcentaje de errores de soldadura en la grilla se puede tolerar a cada distancia antes de que el medidor Fluke conectado a ambos extremos del cuadrado central pueda detectar la falla.
He oído hablar de detectar grietas remotas en estructuras conductoras, por ejemplo en cascos de submarinos de fibra de carbono, mediante cambios locales de resistencia, así que podría ser un problema con significado real.
Una es cuando los componentes del diagrama representan objetos físicos: una resistencia tiene algo de inductancia, no linealidad, capacitancia respecto al plano de tierra, etc. Los esquemas al usar herramientas como OrCad normalmente significan esto.
La otra es la interpretación en la que una resistencia es un componente ideal de la ley de Ohm, y el cableado no tiene inductancia, ni retardo de propagación, ni resistencia. Conectar con un cable los dos extremos de una fuente de voltaje se vuelve parecido a dividir por cero.
A veces se pasa de la primera interpretación a la segunda agregando explícitamente resistencias, inductores, etc., para modelar el comportamiento del cableado real. Si no lo haces tú, SPICE podría hacerlo por ti.
La grilla infinita de resistencias solo existe en la segunda interpretación.
Entonces la grilla entra en estado estacionario y se convierte en la verdadera forma correspondiente al diagrama.
Es fácil pensar que no tiene relación con problemas reales, pero en realidad sí la tiene. Solo que no todo el cálculo en sí es útil.
Si se mira desde un punto local de un circuito integrado, la resistencia del sustrato de silicio es, en efecto, bastante parecida a una grilla de resistencias unitarias infinitamente grande.
El sustrato de silicio suele ser de tipo p fuertemente dopado, y la información que se recibe de la fundición normalmente es solo la resistividad, que por lo general está entre 1 y 100 Ω·cm. En nodos de proceso de última generación, muchas veces es de 10 Ω·cm.
Para hacerse una idea del acoplamiento de ruido a través del sustrato, hay que pensarlo como una grilla en lugar de calcular solo la resistencia entre los puntos A y B. Como también hay que distribuir una grilla de contactos de sustrato para recolectar la corriente de ruido, al final la grilla vuelve a aparecer.
Desde el punto de vista educativo, creo que es mucho más útil preguntar por la resistencia equivalente entre vértices opuestos de un cubo hecho con resistencias de 1 Ω.
Ayuda a desarrollar intuición sobre la simetría de circuitos y la ley de corrientes de Kirchhoff.
La grilla infinita parece algo que podría resolverse en un curso introductorio de circuitos, pero en realidad se parece más a un problema matemático demasiado difícil.
Este era justamente el problema que odiaba durante la carrera de ingeniería eléctrica.
Era un experimento mental que a los profesores les encantaba.
En clase habíamos visto redes infinitas de resistencias en escalera, pero en ese momento aplicar ese conocimiento a este problema me pareció un salto bastante grande.
Lo que no entiendo de la solución simple basada en simetría es la premisa de “si aceptamos que podemos tratar por separado los campos de corriente respecto al nodo positivo y al nodo negativo”.
Me pregunto por qué la corriente de la solución de dos nodos, es decir, una solución no simétrica, se convierte en la simple suma de dos soluciones de un solo nodo, es decir, soluciones simétricas.
Claro que la solución de dos nodos también tiene algunas simetrías, pero no es la simetría original que permitía deducir que la corriente en todas las direcciones era igual.
Es la misma lógica por la que funcionan la interferencia y las redes ópticas.
Hay algo que no entiendo en la explicación de la simetría y el principio de superposición.
No entiendo por qué los nodos adyacentes son alpha-beta-alpha y no alpha-alpha-alpha. Es decir, me pregunto por qué se distingue una sola dirección y se considera que las otras dos son iguales.
Pero como el problema es simétrico respecto del eje vertical, se puede voltear la figura, y la corriente que pasa por el camino volteado debe ser igual a la de antes de voltearla, así que puedes anotar qué i son iguales entre sí.
Luego haces lo mismo respecto del eje horizontal y también respecto de la simetría de rotación de 90 grados.
Al final aparecen varios i iguales entre sí, y se pueden agrupar en dos grupos distinguibles. A esos grupos se les puede llamar alpha y beta.
Visto de otra manera, con las operaciones de simetría dadas no se puede ir de algún alpha a un beta. Eso es distinto de lo que ocurre entre alphas o entre betas.
Cuando estaba en la licenciatura en física hice un proyecto en equipo experimentando con la teoría de percolación.
Hicimos varias grillas con tinta conductora, pero con cierta cantidad de enlaces, es decir, aristas del grafo, faltantes.
Fue difícil hacer una tinta conductora que fluyera de manera uniforme, y yo escribí todo el software para el plotter XY para enviar comandos que dibujaran grillas rectangulares y triangulares.
Luego medimos la resistencia de un lado al otro.
No tengo la matemática suficiente para seguir todo el artículo, pero mi intuición como alguien que trabaja en electrónica es que, cuando un sistema cuantizado interactúa con el infinito, ese infinito queda limitado por el tamaño del elemento cuantizado.
La carga está cuantizada. Como por un nodo no puede pasar menos de un electrón, siento que una grilla infinita de resistencias se comporta como una grilla finita cuyo tamaño cambia según la cantidad de carga introducida en el sistema.
El electrón también es una onda, y esa onda puede extenderse por toda la grilla.
Otro punto interesante es que en una grilla infinita siempre hay en algún lugar un alto voltaje espontáneo. Probablemente muy lejos, pero aun así es raro.
En muchos casos solo importa el promedio sobre cierto tiempo y espacio. Por ejemplo, el flujo macroscópico del agua se comporta de forma bastante distinta a las velocidades de moléculas individuales.
Los únicos que tienen una posibilidad al menos no completamente baja de formarse una intuición sobre el infinito son los matemáticos.
Esto es el caso discreto de la resistencia de lámina. [1]
En este caso, la resistencia entre dos puntos cualesquiera, aquí nodos, es la misma.
Esto se cubría antes en el plan de estudios universitario de ingeniería eléctrica, pero ya no recuerdo la derivación de la solución.
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
Como comentario aparte, Veritasium tenía un video excelente parecido a esto, relacionado con el camino que sigue la luz.
Enlazo la parte con la mejor demostración de física que he visto.
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
Por supuesto, la misma teoría de base también explica que con fronteras finitas siempre aparece difracción y que, como resultado, la realidad es indistinguible de un mundo en el que la luz realmente toma todos los caminos posibles.
Pero afirmar que la luz realmente hace eso podría considerarse más metafísica que física.
Además, es muy probable que el desempeño de difracción del láser esté lejos del límite físico, lo que debilita aún más la demostración.
Un observador cínico diría: “¿No será simplemente que parte de la luz del láser se salió del eje?”, y de hecho estaría en lo correcto. Según las leyes de la física, parte de la luz siempre se sale del eje, pero esa demostración no logra probar ese hecho.