- Basándose en el principio de que dos matrices conmutables pueden diagonalizarse simultáneamente, se explican los métodos para analizar varios sistemas desde una perspectiva física.
- En sistemas con simetría translacional se usan la transformada de Fourier para resolver diversas ecuaciones físicas, como la ecuación de ondas y la ecuación de calor.
- En estructuras cristalinas con simetría traslacional discreta, la teoría de Bloch-Floquet explica la estructura de bandas de energía y distingue la diferencia entre conductores y aislantes.
- En el caso de simetría rotacional, el problema de autovalores del átomo de hidrógeno se resuelve diagonalizando el operador de rotación, y la representación de SO(3) se relaciona con la estructura de capas electrónicas de la tabla periódica.
- Con la simetría SU(3) se sistematiza la clasificación de partículas en física de partículas, y las representaciones de simetría muestran la estructura organizada de las partículas.
Principios básicos de operadores y diagonalización
- El concepto central es la propiedad matemática de que "dos matrices que conmutan pueden diagonalizarse simultáneamente".
- Si conoces los autovectores de un operador, la diagonalización de otro operador se vuelve mucho más simple.
- En física, se asume que la mayoría de las matrices son diagonalizables.
1) Sistemas invariantes por traslación
- Como los autovectores del operador de traslación tienen la forma ( e^{ikx} ), es natural usar la transformada de Fourier.
- Este método se aplica a la resolución de ecuaciones de ondas, como las de luz, acústica, electrones libres y la ecuación de calor en un medio homogéneo.
2) Simetría traslacional discreta y teoría de Bloch-Floquet
- La disposición atómica de los sólidos que forman una estructura cristalina tiene simetría traslacional discreta.
- Se toman como autovectores del operador ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) de forma que ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) ).
- A partir de esto se deriva la teoría de Bloch-Floquet, por la cual el espectro se divide en una estructura de bandas.
- Esta teoría es el modelo representativo de la física de la materia condensada que explica la diferencia entre conductores y aislantes.
3) Simetría rotacional y átomo de hidrógeno
- En sistemas con invariancia rotacional primero hay que diagonalizar el operador de rotación.
- Así se pueden obtener los autovalores y autovectores del átomo de hidrógeno.
- El subespacio propio del átomo de hidrógeno es estable bajo rotaciones y forma una representación de dimensión finita de SO(3).
- Las dimensiones de las representaciones irreducibles de SO(3) son 1, 3, 5, … y, al considerar el espín del electrón, corresponden a las filas de la tabla periódica (2, 6, 10, 14, …).
4) Simetría SU(3) y física de partículas
- La física de partículas es compleja, pero en su base existe la simetría SU(3).
- Al considerar las representaciones de SU(3), diversas partículas se ordenan en una clasificación más sistémica y organizada.
- De este modo aparece una “zoología de partículas” en una forma ordenada.
Mención adicional
- Además de estos cuatro casos, en el original hay 39 comentarios adicionales, pero en el texto principal no se ofrecen detalles concretos.
1 comentarios
Comentarios de Hacker News
Mi padre no era matemático sino ingeniero, y resolvía todos los problemas no lineales con Newton-Raphson
Uno de mis primeros recuerdos de programación de la infancia fue implementarlo en BASIC en una HP85a
Más adelante también lo implementé en RPN en una calculadora HP, y hasta depuré los horribles programas en BASIC de mi padre
Mi padre aprendió una sola técnica de búsqueda de raíces numéricas y un método para calcular segundas derivadas, y con eso trabajó toda su vida como ingeniero de procesos químicos
Por cierto, el documento relacionado puede verse aquí
Y mi padre vivía con la convicción de que “un programador de FORTRAN decidido puede escribir FORTRAN en cualquier lenguaje”
Si sabes usar bien SVD, es una herramienta realmente poderosa para cálculos de ingeniería
Una vez le expliqué OOP y decidió de inmediato que “no servía para nada”; nunca volvió a mirarlo
Funciona perfecto en ejemplos simples, pero en problemas reales muchas veces falla de manera desastrosa
Pero sí a la persona que practicó una sola patada 1000 veces”
Parece una analogía perfecta para mi padre, que usó Newton-Raphson toda su vida
Es fácil de implementar, y la explicación en Wikipedia es bastante interesante
Parece que los ingenieros también tienen cada uno su propio tema de resolución de problemas
Un colega siempre encontraba el hack más simple, y otro amaba tanto el código que siempre buscaba la expresión más elegante
Un exfísico siempre leía listas de correo poco conocidas y construía una comprensión profunda
Yo suelo pasar mucho tiempo analizando la estructura del problema, y al final las herramientas que obtuve en ese proceso terminaron siendo más útiles que la solución misma
Había un ingeniero de infraestructura que probaba de inmediato lo que veía en Reddit, y ahora debe tener unos 50 millones de dólares en patrimonio
Otro ingeniero integraba todas las tecnologías aprendiendo cada una mediante sesiones de capacitación
Y cierto ingeniero famoso escribía los comentarios más extraordinarios del mundo: organizaba como si fuera un ensayo el problema, los trade-offs, el rendimiento e incluso lo que quedaba incompleto
Al final, los mejores ingenieros compartían una misma cualidad: seguir intentándolo “hasta que funcione”
Es especialmente útil cuando el resultado es incorrecto
Creo que la función “Go To Definition” es la herramienta más poderosa
Lo que sentí en las clases de ciencias de la computación fue que en matemáticas son muy importantes el reconocimiento de patrones y los trucos
Si no conoces los trucos, no avanzas, y en clase casi nunca los enseñaban de forma directa
Los profesores asumían que el estudiante ya los conocía, o que si no los conocía era por flojo
Feynman dijo en su autobiografía que tuvo éxito porque tenía trucos matemáticos distintos de los demás
La explicación relacionada puede verse aquí
Seguía renovando su propia comprensión
No eran llamativos, pero dominó por completo ese campo limitado
En la universidad, cuando el profesor explicaba un problema y me quedaba dormido, decía mi nombre
Yo respondía medio dormido: “teorema chino del resto”, y acertaba el 90% de las veces
Era una clase de álgebra, y así de seguido funcionaba
Una vez, durante una clase, el profesor no pudo resolver un problema
Se tomó un descanso, fue a su oficina y volvió con sus notas, donde solo había una línea escrita: “usa un truco”
Alguien presentó Tricki.org, y me pareció bastante interesante como wiki de técnicas para resolver problemas matemáticos
Ya no tiene mantenimiento, pero todavía vale la pena consultarlo
Para los programadores, pensar en grafos es muy útil
Hay quienes dicen que SAT también es un buen truco, aunque yo nunca lo he usado directamente
En matemáticas aplicadas hay un chiste: “Somos como Taco Bell. Mezclamos los mismos seis ingredientes para hacer menús distintos”
Yo también tengo unas cuantas técnicas que uso una y otra vez
Al final, no son tantas las ideas que mueven el mundo, y un profesor decía que “la única innovación real de las últimas décadas fue el compressed sensing”
La parte difícil de los compiladores es el parser
Basta con encontrar un parser existente y hacer que emita como plantilla web para ese lenguaje
Las consultas de base de datos mejoran si se convierten en un índice invertido (inverted index),
y sobre todo hay que considerar cuidadosamente la localidad de datos (locality)