La historia del papel A4

• Presenta un método de medición no oficial para calcular de forma simple el tamaño de objetos usando una hoja de papel A4
• El papel A4 forma parte de la serie estándar ISO que mantiene una relación de aspecto de √2, por lo que incluso al cortarlo a la mitad conserva la misma proporción
• Partiendo de A0 y dividiéndolo sucesivamente por la mitad, se obtiene A1, A2, A3 y A4 (21.0×29.7 cm), siguiendo una estructura sistemática derivada matemáticamente de un área de 1 m²
• El autor usa una hoja A4 para calcular el tamaño de un monitor de 27 pulgadas, y confirma que en realidad mide unas 27.2 pulgadas
• Es un ejemplo de cómo combinar en la vida diaria pensamiento matemático práctico y humor, mostrando flexibilidad en la forma de razonar técnicamente

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El método informal de medición con papel A4

• Explica cómo usar una hoja de papel A4 como herramienta temporal de medición cuando no se tiene una regla a mano
  • No es un método rápido ni preciso, pero sí simple y difícil de arruinar
  • No sirve para trabajos de precisión, como instalar gabinetes de cocina
• El autor no suele cargar una regla, pero usa papel A4 cuando necesita medir algo con urgencia
  • El papel A4 se consigue fácilmente en casi cualquier lugar y resulta útil cuando se puede tolerar cierto margen de error

La estructura matemática del papel A4

• El papel A4 se basa en un diseño geométrico que mantiene la misma proporción (√2) incluso al cortarlo a la mitad
  • Si el lado corto es x y el largo es y, entonces se cumple que y/x = √2
  • Al cortarlo por la mitad, la nueva hoja conserva la misma proporción
• El papel A0 tiene un área de 1 m² y es la referencia inicial que cumple esta proporción
  • El resultado del cálculo da para A0 un tamaño de 0.841 m × 1.189 m
  • A partir de ahí, al dividirlo a la mitad sucesivamente, se obtiene A1 (59.4×84.1 cm), A2 (42.0×59.4 cm), A3 (29.7×42.0 cm) y A4 (21.0×29.7 cm)
• En forma general, el tamaño del papel Aₙ puede expresarse como 2^(-(2n+1)/4)m × 2^(-(2n−1)/4)m
  • Sustituyendo n=4, se obtienen las dimensiones reales de A4: 0.210 m × 0.297 m

Medir un monitor con papel A4

• Se usa papel A4 en una situación donde hay que estimar el tamaño de un monitor apagado
  • En horizontal: dos hojas A4 (29.7 cm × 2) y cerca de 1 cm adicional → aproximadamente 60 cm
  • En vertical: una hoja A4 (21 cm) y media A5 (14.8 cm), superando unos 2 cm → aproximadamente 34 cm
• El cálculo da una relación ancho/alto de 60/34 ≈ 1.76, muy cercana a la proporción 16:9
  • Aplicando el teorema de Pitágoras, la diagonal es √(60²+34²) ≈ 68.9 cm
  • Convirtiendo con 1 pulgada = 2.54 cm, el resultado es de unas 27.2 pulgadas → coincide con un monitor real de 27 pulgadas
• La gente alrededor guardó silencio, pero el autor quedó satisfecho con su habilidad de medición con A4

El sentido de una medición informal

• Incluso sin instrumentos de precisión, es posible hacer estimaciones razonables con solo conocimientos matemáticos básicos y memoria de unidades de referencia
• Más que la exactitud absoluta del resultado, lo importante es que tenga fiabilidad suficiente para tomar una decisión
• Muestra que una simple hoja de papel es el resultado de proporciones exactas y un diseño sistemático
• Claro, “ahora también se puede medir longitud con apps en el smartphone”

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Comentarios en Hacker News

• El autor presentó un consejo práctico usando la relación entre área y masa
  Como una hoja A0 mide exactamente 1㎡, su GSM (gramos por metro cuadrado) equivale al peso de una hoja
  Por ejemplo, si es de 80gsm, una hoja A0 pesa 80g, y como A4 es 1/16, pesa 5g
  Así que, si pones tres hojas A4 (15g) en un sobre (aprox. 5g), puedes calcular un total de 20g
  Gracias a eso, no hace falta pesar el correo, y ahí es donde se nota la elegancia del sistema métrico

  • El hecho de que una hoja común de impresora pese 5g fue bastante útil en alguna ocasión en situaciones de intercambio no oficial
  • Gracias a la distribución uniforme de masa del papel, también se puede usar para calibrar microbalanzas
    En el video de Applied Science "Measure the mass of an eyelash with a DIY microbalance" también muestran que 1mm² de papel de 80gsm pesa unos 80 microgramos
  • Hoy me enteré por primera vez de que GSM simplemente significa g/㎡. Da risa de lo simple que es
  • La longitud de los lados de la serie ISO A se redondea en milímetros, así que el área real de un A0 es 0.999949㎡. Es un detalle menor, pero interesante
  • Se me ocurrió un chiste: ¿cómo gana dinero el correo? El peso máximo de una carta es 20g, pero el promedio real es 6g, y esa diferencia es la ganancia

• Recomiendo el video Metric Paper de CGP Grey
  Trata el tema del papel métrico con más profundidad, y si no lo han visto, realmente vale la pena

  • A mí también me gustó mucho ese video. Se siente como un viaje visual que va desde la longitud de Planck hasta la escala del universo
    Antes de la IA generativa, pensaba que era ‘la experiencia más alucinante posible sin drogas’

• Como europeo viviendo en Norteamérica, me pasa una especie de confusión cognitiva entre A4 y US Letter
  En Norteamérica, Letter se ve demasiado tosco, y en Europa, A4 se ve demasiado delgado
  Ahora siento que necesito un formato intermedio

  • B5 es más o menos ese tamaño intermedio
  • Por cierto, √2 no es la proporción áurea. Se parece, pero no es lo mismo

• Esta mañana, mientras veía un ajuste de botas de esquí, encontré una webapp de Fischer Sports
  Usa la cámara del smartphone para medir el pie, y toma como referencia una hoja A4
  La app está en la sección ‘find your size’ de esta página y funciona con tecnología de Volumental

• Me pareció interesante que el tamaño A0 quede definido de forma única a partir de restricciones abstractas
  Pero la parte de ‘Measuring Stuff’ parece más bien limitarse a memorizar las medidas exactas del A4
  No parece que realmente se esté aplicando el concepto de conservación de proporciones
  Hay un error tipográfico en las dimensiones de A3

  • En realidad, el experimento de medición se puede hacer con cualquier rectángulo estándar
    Aun así, siempre da gusto aprovechar una oportunidad para hablar de papel métrico

• El 25 de octubre de 1786, Lichtenberg le propuso a su amigo Beckmann un formato de papel con proporción 1:√2
  Decía que “el lado corto debía guardar con el lado largo la misma proporción que el lado de un cuadrado con su diagonal”, y mencionó que esa forma era estética y práctica

• Hay un mejor truco para medir cosas sin regla
  Si extiendes la mano y memorizas la distancia entre el meñique y el pulgar, puedes usar eso como unidad para medir largo
  Moviendo la mano unas cuantas veces, se puede medir con una precisión de alrededor de ±1 pulgada

  • También sirve memorizar varias medidas corporales de referencia como dedos, nudillos, codo, hombro, etc.
    Por ejemplo, un nudillo del dedo mide aproximadamente 1 pulgada, y el ancho de una uña es cerca de 1cm

• Yo mido usando los dedos
  Si separo un poco el índice y el medio, son 10cm; si abro el pulgar y el meñique, son 22cm
  Con esas dos referencias puedo medir casi todo con suficiente precisión

  • Mi pareja (arquitecta) usa como referencia que, con el brazo totalmente extendido, la distancia desde la punta de los dedos hasta el omóplato contrario es casi exactamente 1m

• Descubrí la belleza del sistema métrico mientras aprendía metalmecánica
  Al buscar especificaciones de brocas para roscar, hay muchísimos estándares, pero con ISO Coarse bastaba
  El sistema métrico es realmente sistemático e intuitivo

  • Aunque entre los tornillos pequeños (M1~M5) hay saltos grandes, así que existen tamaños auxiliares como M1.4, M1.6, M1.8, M2.5, M3.5
    Habría sido bueno que los tamaños de tornillo y broca se definieran por proporciones como los valores de resistencias, pero eso habría sido incómodo para el mecanizado manual

• La proporción √2 también parecería ideal para la relación de aspecto de la pantalla de teléfonos plegables
  Los teléfonos actuales, al desplegarse, quedan casi cuadrados, y no sé para qué uso eso resulta realmente bueno

  • Ejemplo: Huawei Pura x