- El texto proporcionado no trata sobre GPT-5.6 ni sobre optimización convexa, sino sobre un teorema de teoría de grupos que clasifica todos los grupos simples finitos en 18 familias infinitas y 26 grupos esporádicos
- Los grupos simples finitos son los componentes básicos de los grupos finitos, como los primos, pero como existen grupos no isomorfos con la misma serie de composición, los componentes por sí solos no determinan de manera única el grupo original
- La demostración de la clasificación consta de cientos de artículos y decenas de miles de páginas, escritos por unas 100 personas y publicados principalmente entre 1955 y 2004; tras la demostración del caso faltante de los grupos cuasidelgados por Aschbacher y Smith en 1,221 páginas, en 2004 se anunció su finalización
- La demostración avanza tratando primero los grupos de 2-rango pequeño, luego dividiendo el resto en grupos de tipo componente y de tipo característica 2, y verificando la existencia y unicidad de cada candidato a grupo simple
- Se siguen publicando demostraciones de segunda generación que simplifican e integran la demostración de primera generación, excesivamente extensa; esta clasificación se utiliza en algoritmos teóricos para el problema de isomorfismo de grafos y en varios resultados de teoría de grupos y de grupos de permutaciones
Clasificación y rol de los grupos simples finitos
- La clasificación de los grupos simples finitos establece que todo grupo simple finito, salvo isomorfismo, es uno de los siguientes
- Grupos cíclicos de orden primo
- Grupos alternantes de grado 5 o mayor
- Grupos simples de tipo Lie de 16 familias infinitas
- 26 grupos esporádicos
- En conjunto, esto da 18 familias infinitas y 26 excepciones
- El grupo de Tits a veces se incluye entre los grupos esporádicos porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie; bajo esta convención hay 27 grupos esporádicos
- Los grupos simples son los componentes básicos de los grupos finitos en el sentido precisado por el teorema de Jordan–Hölder
- A diferencia de la factorización prima de enteros, de una misma serie de composición pueden surgir varios grupos no isomorfos, por lo que la solución del problema de extensión no es única
- Los problemas sobre grupos finitos o acciones de grupos finitos pueden reducirse a revisar cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico
Escala y finalización de la demostración
- La demostración completa consta de cientos de artículos y decenas de miles de páginas escritos por unas 100 personas, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004
- Daniel Gorenstein anunció en 1983 que la clasificación estaba completa, pero fue prematuro porque había recibido información incorrecta sobre la demostración de los grupos cuasidelgados
- Después de que Michael Aschbacher y Stephen D. Smith demostraran el caso faltante de los grupos cuasidelgados en 1,221 páginas, Aschbacher anunció su finalización en 2004
- En 2008, Harada y Solomon completaron un caso de componente estándar que había quedado omitido por un error en el cálculo del multiplicador de Schur del grupo de Mathieu M22
- Gorenstein, Richard Lyons y Ronald Solomon publicaron por etapas una versión simplificada y corregida de la demostración
Grandes divisiones de la demostración
- Los dos volúmenes de Gorenstein revisan los casos de bajo rango y de característica impar, y Aschbacher, Lyons, Smith y otros tratan los casos restantes de característica 2 en el tercer volumen
- La clasificación completa tiene una estructura en la que se tratan los grupos de 2-rango pequeño, los grupos de tipo componente y los grupos de tipo característica 2, y luego se verifica la existencia y unicidad de cada candidato
- Si el 2-rango seccional es al menos 5, se usan el resultado de MacWilliams y el balance theorem para dividir los grupos simples en tipo componente o tipo característica 2
- En bajo 2-rango no se satisfacen las condiciones de rango requeridas por resultados como el signalizer functor theorem, por lo que esta división no puede aplicarse directamente
Grupos de 2-rango pequeño
- Los grupos de orden impar con 2-rango 0 son todos solubles según el teorema de Feit–Thompson
- En 2-rango 1, los subgrupos de Sylow 2 son cíclicos o grupos cuaterniónicos generalizados
- Al aplicar el transfer map y el teorema de Brauer–Suzuki, no hay grupos simples salvo el grupo cíclico de orden 2
- En 2-rango 2, los subgrupos de Sylow deben ser diedrales, semidiedrales, de tipo wreath o subgrupos de Sylow 2 de (U_3(4))
- El teorema de Gorenstein–Walter obtiene (L_2(q)) y (A_7) en el primer caso
- El teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein obtiene (L_3(q)), (U_3(q)) y (M_{11}) en los dos casos siguientes
- Lyons mostró que la única posibilidad simple en el último caso es (U_3(4))
- Los grupos con 2-rango seccional de 4 o menos se clasifican mediante el teorema de Gorenstein–Harada
- En particular, la clasificación para rango 2 o menor depende fuertemente de la teoría de caracteres ordinaria y modular, que casi no se usa directamente en otras áreas de la clasificación
Grupos de tipo componente
- Si para el centralizador (C) de una involución, (C/O(C)) tiene un componente, se clasifica como tipo componente
- (O(C)) es el subgrupo normal máximo de (C) de orden impar
- Los objetos principales son grupos de tipo Lie de alto rango en característica impar, grupos alternantes y algunos grupos esporádicos
- El B-theorem muestra que todos los componentes de (C/O(C)) son imágenes de componentes de (C), eliminando los obstáculos creados por el core de una involución
- Suponiendo inductivamente que ya se conocen los grupos cuasisimples más pequeños que aparecen como componentes de centralizadores, se investigan los posibles grupos simples para cada extensión central de los grupos simples finitos conocidos
- Además de los 26 grupos esporádicos y las 16 familias de tipo Lie, también deben tratarse por separado los comportamientos excepcionales sobre cuerpos pequeños y de bajo rango, así como las diferencias entre características par e impar
Grupos de tipo característica 2
- Un grupo es de tipo característica 2 si el subgrupo de Fitting generalizado (F^*(Y)) de todo subgrupo 2-local (Y) es un 2-grupo
- Son principalmente grupos de tipo Lie sobre cuerpos de característica 2, aunque también incluyen algunos grupos alternantes, esporádicos y de característica impar
- El rango relacionado es el rango máximo de un subgrupo abeliano impar que normaliza un 2-subgrupo no trivial
- En los grupos de tipo Lie de característica 2 suele coincidir con el rango de una subálgebra de Cartan, pero no siempre
- Los thin groups de rango 1 fueron clasificados por Aschbacher, y los grupos cuasidelgados de rango 2 por Aschbacher y Smith
- Los de rango 3 o mayor se dividen en tres clases según el trichotomy theorem
- Los de tipo GF(2) fueron clasificados principalmente por Timmesfeld
- Los de tipo estándar para primos impares fueron tratados por el teorema de Gilman–Griess y trabajos posteriores
- En el tipo unicidad no hay grupos simples, según el resultado de Aschbacher
- Los resultados generales de alto rango se reducen en su mayoría a grupos de tipo Lie de rango 3 o 4 o mayor sobre cuerpos de característica 2
Existencia y unicidad
- Una vez que la clasificación estructural caracteriza a cada candidato, también debe demostrarse por separado que existe realmente un grupo simple que satisface esas propiedades y que es único
- Solo la primera demostración de existencia y unicidad del grupo monstruo tuvo unas 200 páginas
- La identificación del grupo de Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de toda la clasificación
- Muchas demostraciones de existencia de grupos esporádicos y algunas de unicidad usaron inicialmente cálculos por computadora, pero la mayoría fueron reemplazadas por demostraciones manuales más breves
Programa de 16 pasos de Gorenstein
- Gorenstein publicó en 1972 un programa para completar la clasificación, y la clasificación final sigue en líneas generales ese esquema
- Grupos de bajo 2-rango
- Semisimplicidad de la 2-layer
- Forma estándar en característica impar
- Clasificación de grupos de tipo impar mediante el classical involution theorem de Aschbacher
- Forma cuasiestándar
- Involuciones centrales
- Clasificación de grupos alternantes
- Algunos grupos esporádicos
- Thin groups clasificados por Aschbacher en 1978
- Grupos con subgrupos fuertemente (p)-encajados para primos impares (p)
- Método signalizer functor para primos impares, resuelto por McBride en 1982
- Grupos de tipo característica (p) tratados por Aschbacher
- Grupos cuasidelgados completados por Aschbacher y Smith en 2004
- Grupos 2-locales de bajo 3-rango
- Centralizadores de 3-elementos en forma estándar
- Clasificación de grupos simples de tipo característica 2 usando el teorema de Gilman–Griess
Desarrollo histórico
- En 1832, Galois introdujo los subgrupos normales y encontró los grupos simples (A_n) y (PSL_2(\mathbf F_p)); Cayley definió los grupos abstractos en 1854
- Entre 1861 y 1873, Mathieu introdujo los cinco grupos de Mathieu, los primeros grupos simples esporádicos, y Hölder planteó en 1892 la clasificación de los grupos simples finitos como un problema
- En la primera mitad del siglo XX, los teoremas de Sylow, la teoría de caracteres, los caracteres modulares, los subgrupos de Fitting y los grupos clásicos sobre cuerpos finitos formaron la base
- En 1955, el teorema de Brauer–Fowler mostró que el número de grupos simples finitos con un centralizador de involución dado es finito, impulsando el enfoque basado en centralizadores
- Chevalley, Steinberg, Suzuki y Ree introdujeron entre 1955 y 1961 varias familias nuevas de grupos simples de tipo Lie
- Feit y Thompson demostraron en 1963 el teorema del orden impar, y en las décadas de 1960 y 1970 se completaron varios teoremas de clasificación que usaban la estructura de los subgrupos de Sylow 2 y las involuciones
- Tras el descubrimiento del grupo de Janko J1 en 1966 se encontraron muchos grupos esporádicos, y Janko introdujo en 1976 el último grupo esporádico descubierto, J4
- El descubrimiento en 1973 del baby monster y del monster llevó al hallazgo del grupo de Thompson y del grupo de Harada–Norton
- El teorema de Gorenstein–Harada de 1974 dividió los grupos simples restantes en tipo componente y tipo característica 2
- Después del classical involution theorem de 1977, se consideró que la finalización de la clasificación estaba cerca, porque ya era posible tratar la mayoría de los grupos simples
- En 1981, Bombieri completó la caracterización de los grupos de Ree, y en 1982 Griess construyó manualmente el grupo monstruo
- En 1983, el trichotomy theorem dividió los grupos de alto rango de tipo característica 2 en tres subcasos, pero el anuncio de finalización de ese mismo año aún dejaba la brecha de los grupos cuasidelgados
- En 1985, el Atlas of Finite Groups incluyó información básica sobre 93 grupos simples finitos
- En 2012, Gonthier y colaboradores publicaron una verificación por computadora del teorema de Feit–Thompson usando Rocq, que entonces era Coq
Demostraciones de segunda y tercera generación
- Las demostraciones de hasta alrededor de 1985 se denominan de primera generación, y debido a su longitud extrema se impulsó una demostración de clasificación de segunda generación más simple
- Para 2023, Gorenstein, Lyons, Solomon e Inna Capdeboscq, entre otros, habían publicado 10 volúmenes
- Solomon estimó en 2012 que harían falta unos 5 volúmenes más, pero evaluó que el avance era lento
- Se esperaba que la nueva demostración tuviera unas 5,000 páginas, pero con el volumen 9 y los escritos de Aschbacher–Smith ya había alcanzado esa extensión, y se estaban preparando volúmenes adicionales
- La simplificación es posible porque ya se conoce la lista final de clasificación y, por tanto, se pueden elegir técnicas ajustadas al alcance necesario
- En la primera generación ni siquiera se conocía el número de grupos esporádicos, y algunos grupos de Janko se descubrieron durante el proceso de demostración
- Los teoremas independientes sobre casos especiales pueden integrarse en una demostración organizada, posponiendo el tratamiento de casos hasta poder aplicar hipótesis más fuertes
- Las identificaciones repetidas de familias pueden eliminarse mediante una nueva división de casos
- También se acumuló experiencia en teoría de grupos finitos y nuevas técnicas
- Una desventaja es que teoremas individuales antes relativamente breves ahora pasan a depender de toda la clasificación
- Aschbacher llamó programa de tercera generación al trabajo de Meierfrankenfeld, Stellmacher, Stroth y otros, cuyo objetivo incluye tratar de manera unificada todos los grupos de característica 2 mediante métodos de amalgamas
Por qué es difícil una demostración breve
- Debido a los 26 grupos esporádicos, cualquier demostración probablemente incluya muchos casos especiales, y no se conoce una parametrización limpia y unificada como la clasificación de grupos de Lie compactos mediante diagramas de Dynkin
- También se propuso construir objetos geométricos sobre los que actúe el grupo y luego clasificarlos
- La clasificación real encuentra estructuras geométricas como BN-pairs, pero esto solo es posible tras un análisis prolongado de la estructura de los grupos simples
- La teoría de representaciones funciona bien en rangos bajos, donde puede controlar subgrupos con mucha precisión
- En rangos altos no ha logrado simplificar la clasificación mediante teoría de representaciones
Resultados que usan la clasificación
- Se usó en avances de los mejores algoritmos teóricos de la época, incluido el resultado de 1982 de decisión en tiempo polinómico para el problema de isomorfismo de grafos de grado acotado
- Se usó en la conjetura de Schreier, el signalizer functor theorem, la conjetura B y el teorema de Schur–Zassenhaus para todos los grupos
- Para el último resultado no se requiere la clasificación completa, sino solo el teorema de Feit–Thompson
- Todo grupo de permutaciones transitivo no trivial sobre un conjunto finito tiene un elemento sin puntos fijos de orden potencia de primo
- También se usa en la clasificación de grupos de permutaciones 2-transitivos y de grupos de permutaciones de rango 3, en la conjetura de Sims y en la conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones de (x^n=1)
- Los grupos simples finitos no abelianos se caracterizan por su grafo de conmutatividad
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Conozco un poco esta área, y esta conjetura es algo más de nicho que la conjetura de doble recubrimiento por ciclos que OpenAI demostró recientemente, pero sin duda es una contribución real.
Trata sobre el tiempo que toma resolver problemas de optimización de funciones convexas lipschitzianas, y la restricción de un dominio esférico no es esencial, porque en un dominio acotado basta con hacer un cambio de variables. La cota superior de la complejidad temporal puede mostrarse fácilmente mediante el tiempo de ejecución de un algoritmo, pero una cota inferior significativa es mucho más difícil de demostrar porque tiene que restringir a todos los algoritmos.
Esta demostración parece mostrar que la complejidad temporal de cota inferior coincide con la complejidad de un algoritmo existente de hace 30 años, y que para resolver el problema en esta clase de funciones se necesitan Ω(d²) evaluaciones de la función. Si hay un oráculo de gradiente, se puede aproximar el gradiente con d evaluaciones de la función, así que parece muy probable que eso signifique que el número mínimo de evaluaciones es d, aunque no estoy seguro de qué tan difícil sea demostrarlo rigurosamente.
Me pregunto si en la investigación matemática también se entrenan resolviendo problemas de baja dificultad, luego pasan por problemas de dificultad media y finalmente llegan a problemas abiertos. También me interesa cómo se compararía con lo que les pasa a los desarrolladores junior en desarrollo de software.
Puede haber seniors excelentes que no sepan qué es un fallo de caché L1, y los modelos actuales de IA sí tienen ese conocimiento, pero les cuesta aplicarlo correctamente si una persona no los dirige. En la industria energética, por el contexto, debería priorizarse la seguridad en tiempo de ejecución por encima de la seguridad en depuración, pero la IA no logra juzgarlo bien. Si encuentras a un desarrollador joven y con poca experiencia que realmente sepa ciencias de la computación, probablemente lo contratarías justamente porque es más barato.
Esto no es algo exclusivo del software. Estoy creando apps de IA empresariales para desplegarlas en los agentes de IA de los empleados, y resultó que solo los expertos clave a los que todos en el equipo piden consejo no están en riesgo. Incluso personas que hacen bien su trabajo a menudo quedan por detrás de la IA. Será un desafío enorme para la sociedad, y la IA quizá llegue a reemplazar incluso a los expertos de dominio. Pensando en mí mismo hace apenas cuatro meses, cuando habría dicho que todo lo de la IA era puro hype, me cuesta afirmar que sea un futuro lejano.
Para obtener un doctorado hay que hacer investigación original, así que desde el principio uno trabaja en problemas abiertos. Pero no tiene por qué ser algo revolucionario, y la mayoría de las tesis doctorales, incluida la mía, están a un nivel que un investigador senior de la misma subárea podría producir sin demasiada dificultad. Una parte importante del objetivo de encargar investigación a investigadores junior es entrenarlos para que se conviertan en seniors, y en ese sentido se parece al desarrollo de software: muchas veces el resultado en sí no es especialmente notable.
Viendo la tendencia de avance de las demostraciones con LLM, parece que esta estructura tendrá que cambiar pronto. Me alegra no estar a cargo de decidir cómo debería verse eso, porque no tengo una buena idea, y me preocupa bastante el futuro de la comunidad matemática.
Una solución de software necesita mantenibilidad y planificación, y los LLM son débiles en eso. Por eso aparece el código batido por LLM, con lógica enredada entre duplicaciones y parches improvisados en vez de reutilizar bibliotecas estándar existentes.
Salvo casos como el de Grothendieck, que se enojó porque Deligne no resolvió las conjeturas de Weil de la “manera correcta”, en este punto el software y las matemáticas son fundamentalmente distintos. Hay suficientes grandes problemas que pueden abordarse con la capacidad actual de planificación a largo plazo, así que es más probable que la IA gane una Medalla Fields antes de dirigir un McDonald’s.
Al mirar más de cerca, el autor intentó resolver este problema durante un año con GPT-5.4 y GPT-5.5, metió toda esa información en el prompt de Sol Pro, y es posible que Sol Pro haya tenido acceso directo al historial de conversaciones anteriores. Por lo tanto, los 148 minutos que afirma son, en realidad, 1 año + 148 minutos.
Además, parece que las técnicas usadas para resolver el problema también estaban incluidas en el prompt: https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
El autor dice que incluyó en el prompt la mayoría de los enfoques razonables que se le ocurrirían a alguien que conoce el área, y que también recibió ayuda de Sol para redactar el prompt, proporcionándole el prompt y las ideas de CDC, junto con una definición y especificaciones claras del problema. La clase de funciones construida como el máximo de funciones afines, que fue la solución final, también estaba en el prompt.
En definitiva, no queda claro si GPT-5.6 cerró la brecha solo con un prompt, o si el autor hizo prácticamente todo el trabajo y luego se lo atribuyó con entusiasmo a GPT-5.6.
En Reddit se corrigió que este trabajo se realizó con Sol Pro, no con Ultra, y me da curiosidad cómo habría que entender la diferencia entre ambos.
Entiendo que ChatGPT Pro se parece a un sistema multiagente que ejecuta varios LLM en paralelo y elige la mejor respuesta, mientras que Ultra, como Claude-Code UltraCode, funciona de forma que un agente principal crea flujos de trabajo dinámicos en JavaScript y coordina de manera determinista varios agentes y verificadores adversariales. Quisiera saber si eso es más o menos correcto y si hay fuentes que lo respalden.
Recuerdo que la demostración de la conjetura abc propuesta por Mochizuki https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs fue rechazada porque era demasiado difícil de entender para los humanos. Me pregunto si este tipo de demostración no es justamente un objetivo ideal para los LLM.
Aun así, los LLM tienen mucho potencial tanto para la verificación informal, leyendo rápido y encontrando vacíos, como para la verificación formal, intentando una formalización real.
Es sorprendente que ahora la inteligencia sea barata, eficiente y común. A medida que la mayoría de las habilidades humanas se vuelven irrelevantes, deberíamos volver a concentrar nuestra energía en los valores y principios fundamentales.
Tampoco está claro cómo medir la eficiencia. Es difícil llamarla eficiente mirando solo una sesión y su resultado, ignorando la enorme infraestructura y los costos de entrenamiento necesarios para que esta tarea fuera posible. Los resultados de la IA tampoco vuelven irrelevantes las habilidades humanas; y si al delegar el pensamiento en la IA estamos perdiendo capacidades cognitivas es precisamente el núcleo del debate actual.
En general, es una demostración impresionante de capacidad, pero no la extrapolaría más allá de eso.
Pero mantener esta distinción genera problemas difíciles de superar. En los sistemas conceptuales con los que entendemos el mundo siempre hay valores impregnados, y no existe una mirada sin punto de vista ni un sistema de valores fuera de las condiciones históricas. El marco de que los valores deben imponerse desde fuera de la inteligencia termina en un callejón sin salida, en una especie de cuasiteología como la alineación de la IA y la superinteligencia.
Más que separar tajantemente hechos y valores, inteligencia y ética, es mejor concentrarse en aceptar críticamente y ampliar la sabiduría heredada a través de los humanos o los LLM.
Dicho eso, es muy probable que los LLM terminen llegando ahí, ya sea adquiriendo directamente razonamiento espacial o sirviendo como interfaz para modelos que lo realicen, así que el punto original sigue siendo válido.
En definitiva, esto demuestra que la información es poder. Si no sabes hacia qué dirección ir, es decir, si no conoces el subgradiente, terminas calculando sin fin.
Al intentar resolver problemas avanzados de matemáticas con IA, pude volcar una fuerza bruta de escala enorme sobre el problema. Cuando sea posible aplicar fuerza bruta a la lógica matemática, veremos avances interesantes.
Todavía no ha pasado por revisión por pares.
Es interesante que hasta hace apenas unos meses mucha gente afirmaba categóricamente que a nadie le importaban los problemas matemáticos “no resueltos” que resolviera la IA.