Claude Fable crea un contraejemplo a la conjetura jacobiana

• El mapeo polinómico presentado como creado por Claude Fable tiene determinante jacobiano constante -2 y envía tres puntos distintos al mismo punto, por lo que se convierte en un contraejemplo a la conjetura jacobiana
• Este mapeo está definido de ℂ³ → ℂ³, y sus tres componentes están formados por polinomios en x, y, z
• Los puntos distintos (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2) se mapean todos a (-1/4, 0, 0), por lo que no es una función inyectiva
• El determinante jacobiano y los valores de la función en dos puntos de entrada se pueden verificar en los cálculos vinculados de Wolfram|Alpha
• Aunque tiene un determinante jacobiano constante y distinto de 0, no cumple la inyectividad, por lo que la fórmula presentada refuta la conjetura jacobiana en ℂ³

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Mapeo polinómico y determinante jacobiano

• El mapeo ℂ³ → ℂ³ está compuesto por los siguientes tres componentes polinómicos
  • Primer componente: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • Segundo componente: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • Tercer componente: 2x - 3x^2y - x^3z
• El determinante jacobiano de este mapeo es -2
• En el cálculo de Wolfram|Alpha se puede verificar el valor del determinante

Tres puntos de entrada que rompen la inyectividad

• Los siguientes tres puntos son distintos, pero todos se mapean a (-1/4, 0, 0)
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• Los valores de la función para el primer y el segundo punto de entrada también se pueden verificar con el cálculo de Wolfram|Alpha vinculado
• Por lo tanto, este mapeo polinómico no es una función inyectiva y, junto con la condición de tener un determinante jacobiano constante y distinto de 0, se convierte en un contraejemplo a la conjetura jacobiana

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Comentarios de Hacker News

• Hace más de diez años conocí a un posdoctorando que creía haber encontrado algo cercano a un contraejemplo de la conjetura jacobiana. Él y un colega usaban árboles binarios para el mapeo de coeficientes y estaban haciendo fuerza bruta con polinomios de unas 16 variables, con entre 80 y 700 términos cada uno.
  En ese momento se esperaba que la cota inferior de (\max(\deg(P),\deg(Q))) para un contraejemplo ((P,Q)) subiera hasta 200, así que cuesta creer que Claude Fable haya encontrado un contraejemplo de grado 7; de verdad se siente como una nueva era.

  • Parece que estás confundiendo el caso de 2 variables con el de 3 variables. El primero efectivamente se revisó hasta grado 150 o más, y este contraejemplo corresponde a 3 variables.
  • Me pregunto si este contraejemplo no habría estado incluido también en aquel espacio de búsqueda.

• El asombroso matemático Yitang Zhang dedicó 7 años a intentar demostrar esta conjetura. Su asesor Moh escribió que Zhang “fracasó estrepitosamente” al demostrar la conjetura jacobiana, que después de irse de Purdue “no publicó ni un solo artículo de geometría algebraica” y que “desperdició siete años de su vida y mi tiempo”.
  https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
  https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
  https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • Es un registro escrito por T.T. Moh sobre la época de Zhang en Purdue: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
    Ya de por sí sorprende que un documento así exista de verdad.

• Es un caso raro en el que le metes información revolucionaria a un LLM y el que termina en confusión mental es el propio LLM. Al pasárselo a Claude Code, fue bastante impresionante verlo verificarlo de siete maneras distintas para estar 100% seguro y luego quedar pasmado.

  • A ChatGPT le di solo la aplicación, sin ningún contexto, y le pedí: “cuéntame sobre esta función”. Mientras calculaba el jacobiano y demás, se dio cuenta de las implicaciones de lo que estaba viendo; después de revisar la aritmética cuatro veces, incluso sospechó que SymPy podía estar manipulado y decidió hacer una verificación manual con un verificador simbólico improvisado.
  • Confirmé que Claude queda pasmado. Gemini primero buscó en la web y ya citó la noticia; Kimi difícilmente lo acepta.
  • Quién hubiera dicho que “DOES NOT COMPUTE” se volvería una situación real.
  • Parece el fenómeno del emoji de unicornio en versión matemática: cuando un LLM recibe evidencia irrefutable contra una proposición en la que “creía profundamente”.
  • He oído que a los matemáticos les pasa algo parecido cuando una demostración extraña, de una fuente rara o incluso de ellos mismos, termina siendo correcta. Como reciben constantemente demostraciones falsas de amateurs, la probabilidad de que haya una falla fatal es abrumadoramente alta; y con las demostraciones propias también aparece el punto ciego de no ver críticamente los saltos de uno mismo.
    Por eso siguen sospechando que se les escapó algo, lo verifican una y otra vez de varias formas hasta casi derrumbarse, y solo entonces se animan a plantear públicamente, con cautela, la posibilidad de un nuevo avance.

• Lo bueno de esta limpieza matemática es que ahora nadie tendrá que perder tiempo intentando demostrar que era verdadera. Ojalá después un LLM resuelva la conjetura de Collatz y ahorre la enorme cantidad de años-persona que víctimas desprevenidas le han venido dedicando.

  • La razón por la que este problema fue “fácil” es que la conjetura era falsa. Si la conjetura de Collatz es verdadera, como espera la mayoría de los matemáticos, será mucho más difícil de demostrar que un problema de Erdős promedio.
  • No termina ahí. El siguiente paso es determinar para qué clases de polinomios la conjetura jacobiana es verdadera y para cuáles es falsa.
  • Yo era un matemático joven cerca del cambio de siglo, y decir que “se pierde tiempo intentando demostrar” algo es una mentalidad tipo MBA, como si hubiera que sacar resultados y papers sin parar.
    Cuando uno ataca problemas difíciles, aunque fracase, entiende más profundamente muchos resultados y herramientas, y puede aplicarlos a otros problemas, así que no es en absoluto una pérdida de tiempo. Los casos extremos de dedicar años a un solo problema son la excepción.

• Entiendo el debate constante porque claramente hay un problema en generar masivamente código o demostraciones de calidad dudosa con LLMs. Pero en la búsqueda de contraejemplos la fuerza bruta ya es común, así que usar un LLM como una fuerza bruta más avanzada parece un enfoque perfecto; me cuesta entender por qué hay tanta hostilidad.

  • Cuando las máquinas se vuelven cada vez más competentes en áreas donde solo el cerebro humano servía, eso será muy duro para mucha gente. Creo que la hostilidad mezcla la actitud de “todo puede ser tontería hasta que haya prueba” con el miedo a “perder muchas de las cosas que creíamos que hacían asombrosos a los humanos”.
    En los próximos años la compasión será extremadamente importante, y sufriremos tanto internamente como externamente.
  • Afirmar que esto fue fuerza bruta avanzada sin ver el registro de razonamiento de Fable que produjo este resultado me parece un salto.

• Llevo meses haciendo vibe coding de matemáticas con IA, y es sorprendentemente fácil. Lo difícil es verificar por cuenta propia los resultados y confirmar su validez; con un pequeño hallazgo refuté una conjetura y escribí mi primer paper.
  Los siguientes hallazgos son bastante sustanciales en topología cuántica y física, así que los estoy revisando con mucho rigor y preparando su publicación. El tiempo dedicado a la verificación fue mayor que el del descubrimiento en sí.
  Si te interesa la teoría de números, mi primer paper está aquí: https://arxiv.org/abs/2607.09793

  • Estudié física y también publiqué papers en el pasado, pero hace mucho que dejé la academia. Al intentar resolver con Claude un problema de física que mezclaba matemáticas y simulación, se enredó bastante.
    Su capacidad para plantear el problema y proponer enfoques que no se me habían ocurrido fue sorprendente, pero su capacidad para interpretar resultados fue mucho peor.
  • Me da curiosidad hasta qué punto intentas entenderlo directamente mientras trabajas. Quisiera saber cuántos niveles de abstracción bajas con tu propia comprensión, en comparación con avanzar por intuición en la superficie.
  • Yo estoy haciendo lo mismo en teoría de tipos.

• Como quien publicó esto trabaja en Anthropic, es muy probable que haya tenido acceso interno a la próxima generación de Fable. Los modelos internos son increíblemente fuertes en matemáticas, y parece que también marcarán nuevos récords de rendimiento matemático en los próximos benchmarks.
  Esa podría ser la razón de la reticencia a publicar los prompts reales y el registro de razonamiento. Hasta que el modelo se lance oficialmente, es muy probable que esté cubierto por un acuerdo de confidencialidad.

• Parece que la conclusión dio un salto demasiado grande. Como Sol también puede encontrar el mismo contraejemplo de forma independiente, no hay razón para concluir que existe Fable 6, que arrasa con los benchmarks
  [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

  • No me emociona mucho. No me invitaron a la fiesta de quienes tienen acceso a la mejor IA, y tampoco parece que quienes sí fueron invitados representen bien mis intereses

• Me sorprende que la gente no pregunte: ¿cómo encontró Fable este contraejemplo? Me pregunto si conjeturó varias familias de polinomios y luego buscó soluciones posibles en cada una, si hizo una búsqueda inteligente o si fue de otra manera

  • En esta conversación de Claude hay algunas conjeturas: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
    La fuente está aquí: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
    En pocas palabras, en la literatura existente hay un contraejemplo erróneo que funciona casi en todas partes salvo en un punto extremo. Parece que Fable tomó ese polinomio como base y lo extendió para eliminar el punto extremo conservando la estructura
  • Están llevando todos los pasos lógicos a una verificación formal en Lean. Un ciclo rápido de retroalimentación entre la explicación escrita por la IA y los errores y advertencias de verificación de Lean puede garantizar la coherencia lógica
    El problema que aún queda es si la idea de la prueba realmente demuestra la proposición deseada y cómo interpretar el resultado obtenido. Fuera de eso, todo lo que está dentro del código revisado por el kernel es lógicamente coherente

• El hecho de que el contraejemplo sea tan pequeño muestra bien un ámbito en el que se descubrirán muchos resultados interesantes de aquí en adelante. No porque el problema sea extremadamente difícil, sino porque era difícil escalar la inteligencia, y antes de que las computadoras pudieran hacerlo por nosotros, poca gente se metía en serio con este tipo de problemas
  Me entusiasma mucho el impacto que este efecto tendrá en la ciencia, la medicina y otros campos

• Como no sé mucho de matemáticas, quizá mi comprensión de nivel de 5 años ayude o pueda ser corregida. Esta conjetura dice que siempre se puede invertir cierto proceso para averiguar la entrada original, y esta prueba muestra que varias entradas producen la misma salida
  Por lo tanto, no se puede calcular la entrada a partir de la salida, así que la conjetura resulta falsa

  • Para que exista una función inversa, hay una condición previa de un jacobiano constante distinto de cero, y esa función inversa además debe tener una forma específica: también debe ser un polinomio. Este contraejemplo satisface la condición previa y envía dos entradas distintas a la misma salida, por lo que no puede existir ninguna función inversa, independientemente de si es polinómica o no
    A estas alturas quizá sea una explicación de nivel de 7 años
  • Esta conjetura solo trata sobre ciertos tipos de procesos. Fable encontró un proceso concreto que pertenece a esa clase, y tres entradas concretas que producen la misma salida. Claro que con dos ya bastaba
    Aquí, “concreto” significa que puede expresarse como una cadena finita de caracteres
  • Ya se sabía que era falsa en el caso general. Hay muchos problemas que son falsos en general, pero verdaderos si se restringen a polinomios