- Los datos de 350,757 lanzamientos de moneda respaldan el modelo físico DHM: aunque las monedas lanzadas por personas parezcan perfectamente 50:50, tienen una probabilidad ligeramente mayor de volver a caer del lado que inicialmente estaba hacia arriba
- El modelo de 2007 de Diaconis, Holmes y Montgomery sostiene que, debido a la pequeña precesión y oscilación que se producen en los lanzamientos humanos, la moneda mantiene durante más tiempo en el aire el lado inicial hacia arriba
- En el experimento, la probabilidad de caer del mismo lado fue 0.508, y el intervalo de confianza del 95% [0.506, 0.509] junto con un Bayes factor de 2359 respaldan fuertemente el sesgo hacia el mismo lado
- Si el lado inicial se elige al azar, la probabilidad de que salga cara fue Pr(cara)=0.500, por lo que hay que distinguir entre el sesgo cara-cruz en sí y el sesgo hacia el mismo lado
- La magnitud del sesgo varió según la persona, y tendió a disminuir en quienes hicieron más lanzamientos, lo que sugiere que la forma de lanzar y la práctica pueden tener un pequeño efecto físico en el resultado
El modelo DHM verificado con 350,757 lanzamientos
- El lanzamiento de una moneda se usa en probabilidad y estadística como un ejemplo representativo de evento aleatorio, pero físicamente es un proceso determinista que sigue la mecánica newtoniana
- El modelo estándar de lanzamiento de moneda considera que la aleatoriedad del resultado proviene de pequeñas variaciones en las condiciones iniciales, como la posición inicial, la composición de la moneda, la fuerza aplicada hacia arriba y el momento angular
- En este modelo estándar, la probabilidad de que una moneda justa caiga en cara es del 50%, lo que significa que no hay sesgo cara-cruz
- El modelo DHM agrega a esto una pequeña precesión (precession) u oscilación generada por los lanzamientos humanos
- Si la dirección del eje de rotación cambia durante el vuelo, la moneda mantiene durante más tiempo en el aire el lado que inicialmente miraba hacia arriba
- Como resultado, la probabilidad de caer del mismo lado que el lado inicial aumenta ligeramente por encima del 50%
- Diaconis y colaboradores predijeron, con base en observaciones de lanzamientos humanos comunes, que la probabilidad de caer del mismo lado sería de aproximadamente 51%
Sesgo hacia el mismo lado y sesgo cara-cruz
- Estos datos constan de un total de 350,757 lanzamientos de moneda, una escala mucho mayor que los registros previos de lanzamientos de moneda a gran escala
- Los resultados de caer del mismo lado respaldan fuertemente la predicción precisa del modelo DHM
-
Pr(mismo lado)=0.508
- El intervalo de confianza del 95% es [0.506, 0.509]
- El Bayes factor para el sesgo hacia el mismo lado es 2359
- La tendencia de la moneda a volver a caer del lado que inicialmente estaba hacia arriba aparece de forma pequeña pero consistentemente superior al 50%
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Pr(cara)=0.500
- El intervalo de confianza del 95% es [0.498, 0.502]
- El Bayes factor para el sesgo cara-cruz es 0.182
- El resultado de ausencia de sesgo cara-cruz no pareció depender del tipo de moneda
- El sesgo hacia el mismo lado no fue igual para todas las personas y hubo grandes diferencias individuales
- Incluso dentro de una misma persona, el sesgo hacia el mismo lado disminuyó a medida que lanzaba más monedas
- Esto es consistente con la posibilidad de que la práctica esté relacionada con lanzamientos menos oscilantes
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La medición que omitieron experimentos anteriores
- Aunque en el pasado hubo experimentos de lanzamiento de monedas a gran escala, la mayoría no registró si la moneda cayó del mismo lado que el lado inicial, por lo que no eran adecuados para verificar el modelo DHM
- Como casos históricos, el conde de Buffon realizó 2,048 lanzamientos; Karl Pearson, 24,000; y John Kerrich, 10,000
- El experimento de 40,000 lanzamientos de Janet Larwood y Priscilla Ku fue una excepción, ya que permitía comparar el lado inicial con el resultado
- Larwood siempre empezó con cara y, de 20,000 lanzamientos, 10,231 terminaron de cara a cara
- Ku siempre empezó con cruz y, de 20,000 lanzamientos, 10,014 terminaron de cruz a cruz
- Al combinar ambos resultados, la evidencia de un sesgo dinámico se interpreta como ambigua
Impacto en la toma de decisiones
- Una moneda justa lanzada por una persona suele ser básicamente 50:50 respecto de si sale cara o cruz, pero es ligeramente más probable que termine del lado que inicialmente estaba hacia arriba
- Al usar un lanzamiento de moneda en decisiones de alto riesgo, el lado inicial debe elegirse al azar para poder usarlo sin sesgo cara-cruz
- El sesgo hacia el mismo lado aparece con mayor intensidad en algunas personas, por lo que la propia forma humana de lanzar puede tener un pequeño efecto físico en el resultado
1 comentarios
Opiniones en Hacker News
Von Neumann describió un método elegante para obtener un resultado justo a partir de una moneda sesgada.
Se lanza la moneda dos veces y, si ambos resultados son iguales, se vuelve a empezar.
Si los dos resultados son distintos, basta con usar el primer resultado de ese par como resultado final.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
La moneda estaba sesgada para salir cara 20% y cruz 80%, pero al aplicar el método de Von Neumann dio cara 50.035% y cruz 49.965%.
Según el estudio, se puede escoger el sesgo según con qué lado hacia arriba se empiece.
Por ejemplo, si quieres cruz, en el primer lanzamiento empezarías con cruz hacia arriba; si el primer resultado es cruz, en el segundo empezarías con cara hacia arriba; y si el primer resultado es cara, para invalidar el resultado volverías a empezar con cara hacia arriba intentando que vuelva a salir cara.
Supongamos que puedes controlar el sesgo en una proporción de 75% contra 25%: la probabilidad de que el primer resultado sea cruz es 75%, y luego la de que salga cara también es 75%, así que la probabilidad de obtener el resultado deseado en los dos primeros lanzamientos es 56.25%.
El peor caso es que el primer resultado sea cara y luego no logres sacar cara otra vez, así que con una probabilidad de 25% × 25% = 6.25% perderías en la primera ronda.
En consecuencia, en los dos primeros lanzamientos habría 56.25% de probabilidad de ganar, 6.25% de perder y 37.5% de volver a intentarlo; en conjunto, parecería converger a algo como 90% contra 10%.
“La razón por la que este proceso produce un resultado justo es que, si la moneda no cambia su sesgo en cada lanzamiento y los dos lanzamientos son independientes, la probabilidad de que salga cara y luego cruz es igual a la de que salga cruz y luego cara”.
Por eso siempre hay que empezar con el mismo lado hacia arriba.
Este método asume que quien lanza la moneda no puede introducir un sesgo.
ET Jaynes también escribió en Probability Theory que es fácil aprender a lanzar una moneda justa de manera que se pueda predeterminar el resultado, pero tras buscar un poco no pude encontrar exactamente a qué se refería.
Hace aproximadamente un año, empecé a investigar cuál era la probabilidad de que una moneda justa, al lanzarla y atraparla con la mano, cayera con el mismo lado que estaba inicialmente hacia arriba
Gracias a amigos, colaboradores y desconocidos de internet, reunimos un total de 350,757 lanzamientos de moneda e hicimos varias “Coin Tossing Marathon”: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Como resultado, encontramos evidencia sólida del sesgo hacia “el mismo lado” predicho por Diaconis, Holmes, Montgomery 2007
Si empieza con cara hacia arriba, es más probable que termine en cara, y lo mismo ocurre con cruz
En la muestra, la estimación promedio fue de 50.8%, con un intervalo de confianza de [50.6%, 50.9%]
También hubo diferencias bastante grandes en el sesgo hacia el mismo lado entre las 48 personas que lanzaban, con una desviación estándar de 1.6% y un intervalo de confianza de [1.2%, 2.0%]
Esta diferencia puede explicarse porque cada persona que lanza tiene un grado de bamboleo distinto
Si apuestas 1 dólar en cada uno de 1000 lanzamientos de moneda y conoces la posición inicial, puedes ganar en promedio 19 dólares
Esto es más que la ventaja de la casa de 5 dólares en blackjack de 6 mazos contra un jugador óptimo, y menos que los 27 dólares de la ruleta de un solo cero
El manuscrito está en arXiv: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Los datos públicos, el código y los registros en video están en OSF: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Haciendo el cálculo, si lo haces con discreción unas 20 veces al día, tardarías 10 semanas sin contar fines de semana en ganar 19 dólares, y para entonces seguro que la gente ya se habría dado cuenta del truco
Para ganar dinero rápido tendrías que difundir la estrategia entre varias personas, pero entonces el secreto saldría a la luz
Aunque tus compañeros fueran totalmente honestos, si mucha gente empieza a usar públicamente la misma estrategia, es muy probable que los descubran antes de obtener ganancias reales
Aun así, es una idea divertida de imaginar, y son geniales los resultados del paper y el esfuerzo puesto en la implementación
Ahí los lanzamientos de moneda son bastante suaves y la moneda ni siquiera sube un pie en el aire
Cuando uno piensa en un lanzamiento de moneda normal, imagina algo como antes de un partido: la moneda sube alto girando rápido, cae al suelo, rueda un poco y luego se revisa en qué lado se detuvo
Si el experimento se hubiera hecho así, creo que el sesgo de 50.8% hacia el mismo lado habría estado mucho más cerca de 50%
Cuando apostabas a negro/rojo y salía 0, todas las apuestas pasaban intactas a la siguiente tirada
Mi estrategia ganadora era apostar siempre al color contrario que mi amigo
En cambio, si se dejara que la moneda cayera sobre una superficie dura y rebotara, creo que el sesgo desaparecería
Se puede decir que este experimento no representa un lanzamiento de moneda “típico”
En promedio, cada participante lanzó la moneda más de 7000 veces, y con tanto tiempo muchas personas seguramente aprendieron a lanzarla de una forma más cómoda y consistente
Si se reducen las variaciones en el movimiento físico y la fuerza, la moneda podría tener más probabilidad de caer en la misma orientación
No creo que este resultado se reproduzca igual con personas que lanzan sin práctica
Eso sí, definitivamente mejoré en lanzar la moneda y atraparla con la mano sin dejarla caer, y eso por sí solo también requiere práctica
Sé que existe una técnica para añadir bamboleo al lanzamiento, pero no la aprendí y tampoco sé cómo se hace
Es seguro asumir que no es una técnica que uno pueda descubrir accidentalmente por intuición
Si el objetivo es ver si existe un sesgo subyacente, que una persona lance 7000 veces y que 7000 personas lancen una vez son cosas bastante distintas
Todavía estoy buscando una forma de explicar el mecanismo que produce este sesgo de manera intuitiva, o de modo que incluso un alumno de primaria pueda entenderlo.
El artículo original explica que, cuando una persona suele lanzar una moneda, genera un pequeño grado de precesión (precession) o bamboleo, y que por eso la dirección del eje de rotación de la moneda cambia durante el vuelo.
Según el modelo de Diaconis, debido a la precesión, la moneda permanece más tiempo en el aire con la cara inicial apuntando hacia arriba y, por lo tanto, aumenta la probabilidad de que aterrice con la misma cara con la que empezó.
Otros sitios de experimentos de lanzamiento de monedas explican que una moneda lanzada de forma normal no gira alrededor de un eje horizontal como uno imagina, sino alrededor de un eje inclinado que hace precesión en el espacio tridimensional, por lo que queda cierta “memoria” de las condiciones iniciales.
El artículo de Diaconis contiene la explicación decisiva, pero no es intuitivo.
La mejor explicación que puedo dar es que, al lanzar, una persona produce cierta precesión, y que cuando hay precesión, el vector de momento angular permanece más tiempo en la dirección de la cara si se empezó con cara, generando el sesgo.
Para una explicación para alumnos de primaria, creo que sería bueno mostrar con una animación de lanzamiento de moneda qué región va barriendo el vector de momento angular durante el vuelo, y que el tiempo durante el cual apunta hacia la cara es un poco más largo.
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
La gente realmente puede entrenarse para hacer esto, y para quien lo sufre es muy difícil darse cuenta de que la moneda no está girando en el aire, sino solo bamboleándose.
Entonces será evidente que, al atraparla, la cara que al principio miraba hacia arriba seguirá mirando hacia arriba.
El siguiente paso, es decir, que incluso una persona que intenta lanzar de forma justa genera cierta precesión y que eso no se separa de la rotación, para mí tampoco es nada intuitivo.
Siempre he dicho que el resultado de lanzar una moneda depende mucho del estado inicial.
Si pensamos en una secuencia que continúa como cara, cruz, cara, cruz, si se empieza con cara, la cantidad de cruces no puede ser mayor que la de caras, y sí puede haber una cara más.
No lo he probado directamente, pero supongo que cuanto menor sea el número de rotaciones, es decir, cuanto más corta sea la secuencia cara-cruz, más inclinada estará la probabilidad.
Aquí la secuencia no se refiere al resultado del lanzamiento, sino al orden de las caras que miran hacia arriba durante la rotación.
[cara, cruz] es una vuelta completa que empieza con cara, y [cruz, cara, cruz, cara] son dos vueltas completas que empiezan con cruz y terminan con cara.
El resultado del lanzamiento de la moneda es el último elemento de esta secuencia.
Si lanzas una moneda que empieza con cara y la atrapas en el aire apenas la lanzas, el resultado obviamente es cara.
Pero si el tiempo en que detienes la moneda es un T relativamente largo, la probabilidad puede verse como una especie de suma.
Por ejemplo, si discretizas el tiempo con \Delta T = 10ms, las sumas de los intervalos de cara y cruz difieren, y cuando T tiende a infinito, P(H) y P(T) se vuelven más parecidas.
En la práctica, no se espera durante un tiempo con distribución uniforme, sino durante un tiempo que en general se parece más a una distribución gaussiana, por lo que cada término de la suma recibe un peso distinto.
La varianza y el desplazamiento de esa distribución pueden mover la probabilidad hacia cara o cruz, y dependen mucho de los parámetros concretos.
Por ejemplo, si siempre la atrapas después de 35ms, podría salir siempre cruz.
El estado en el que la moneda espera ser lanzada sobre la mano ya está en el punto medio del intervalo de la cara que actualmente mira hacia arriba.
Esto se debe a que la transición de cara arriba a cruz arriba ocurre cuando la moneda está vertical.
Si no se entiende bien, imagina que tomas la moneda desde varios ángulos y la “aplanas”.
El 50% de los ángulos corresponde a una de las dos caras, pero en el instante en que la moneda acaba de ser lanzada, ya se ha recorrido la mitad del rango de ángulos que representa la cara actual.
Por eso la secuencia correcta no es THTHTH, sino más bien THHTTHHTTHH.
Si se miran intervalos iguales, ambas caras aparecen la misma cantidad de veces; si se miran intervalos impares, en la mitad de los casos hay más cruces y en la otra mitad hay más caras.
Parece bastante difícil que ocurra, así que si el estado inicial es cara, la secuencia probablemente sería cruz-cara-cruz-cara.
La próxima vez que haya que decidir algo lanzando una moneda, tendré que exigir una serie al mejor de 350,757 partidas.
Yo siempre atrapaba la moneda y luego la volteaba sobre el dorso de la mano para mostrar el resultado.
Entonces probablemente haya un sesgo hacia la cara opuesta.
¿Cómo habría que hacer para sesgar un lanzamiento de moneda?
Según el artículo, parece posible hacer que la probabilidad de que aterrice con la misma cara con la que empezó llegue al 55%, y el participante más extremo estuvo en ese nivel.
Como el sesgo se produce por la precesión, supongo que al lanzarla habría que hacer que ocurra la mayor cantidad posible de precesión.
Puede convenir poner el dedo lo más lejos posible del centro de la moneda y aplicar la mayor fuerza posible.
Por último, al revelar el resultado, hay que atraparla de modo que la cara superior quede hacia arriba.
Imagina sujetar la moneda entre el índice y el pulgar con la cara hacia arriba, y apoyarla por abajo con el dedo medio; no es muy distinto de la postura inicial típica para lanzar una moneda.
Con el índice, hazla rotar dentro del plano de la moneda, de modo que la cara siga apuntando hacia arriba pero solo gire el dibujo de la cabeza.
Ahora, si al mismo tiempo la lanzas golpeando con el pulgar un punto cercano al borde inferior de la moneda, puedes darle spin.
Si le das el spin adecuado, la moneda en realidad no se voltea, solo se bambolea, y por lo tanto aterriza en cara.
Es probable que el observador no sepa bien qué hiciste, porque a alta velocidad es difícil distinguir a simple vista entre volteo y bamboleo.
En este caso, ese pequeño error ortográfico vuelve bastante confuso el significado de la frase.
Interesante; mi intuición era lo contrario del resultado.
Pensaba que, para caer del lado opuesto, tenía que darse vuelta un número impar de veces, y que para caer del mismo lado tenía que darse vuelta un número par de veces.
Como para cada cantidad de vueltas puede haber la misma cantidad de casos pares e impares, o uno más impar, pensé que era más probable que se diera vuelta un número impar de veces.
Aquí actúan más factores y, al final, solo el experimento valida el modelo.
Me gustaría ver cómo TianqiP lanza la moneda.
Este usuario tiene una proporción de caras bastante alta: 0.601 [0.582, 0.619].
Si se usa estratégicamente, es una habilidad con la que se podrían ganar unos cuantos dólares.