Prólogo de ‘Calculus Made Easy’: el cálculo se puede aprender más fácilmente de lo que parece
(calculusmadeeasy.org)- Este prólogo parte del hecho de que muchas personas logran hacer cálculos de cálculo, y sostiene que aprender esos mismos métodos no tiene por qué ser necesariamente difícil ni aburrido
- Distingue que en el cálculo conviven métodos muy sencillos con partes muy difíciles, y que no hace falta ver todo como complicado desde el principio
- Critica que los libros avanzados de matemáticas, en vez de mostrar con claridad los cálculos fáciles, los tratan de forma compleja como si quisieran exhibir la ingeniosidad del autor
- El narrador se rebaja a sí mismo llamándose “remarkably stupid fellow” y dice que mostrará a lectores en su misma situación las partes que no son difíciles que él mismo fue despejando
- Si se dominan bien las partes fáciles, el resto también puede seguirse, y se enfatiza la posibilidad de aprender con la actitud de “What one fool can do, another can”
Lo que el prólogo dice sobre la dificultad del cálculo
- El cálculo no es una disciplina en la que todas sus partes sean igual de difíciles, sino que combina métodos sencillos con otros muy complejos
- El hecho de que muchas personas puedan hacer cálculos sirve como base para pensar que otras también pueden aprender esos mismos métodos de cálculo
- Se critica que los libros avanzados de matemáticas tiendan a tratar de forma compleja las partes fáciles en lugar de explicarlas con sencillez
La actitud de aprendizaje que se recomienda al lector
- El narrador dice que él mismo pasó por un proceso de ir quitando la dificultad
- Este libro adopta la postura de que primero hay que dominar las partes que no son difíciles, y que cuando esa base sea suficiente, el resto también seguirá
- La última frase, “What one fool can do, another can”, condensa la idea de que si una persona puede hacer algo, otra también puede hacerlo
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Unos 10 años después de dejar la escuela, volví a sentir interés por tomar clases de física, así que agarré un libro de mecánica clásica y también retomé álgebra lineal básica
Pero me sorprendió que muchos textos solo trataran el procedimiento para calcular el producto punto de vectores, y casi no explicaran por qué es importante —por ejemplo, que sirve para determinar qué tan parecidos son dos vectores—
No fue hasta que hablé con ChatGPT sobre su significado que terminé de entenderlo, y ahora me gusta poder ir más despacio que en la universidad y detenerme lo suficiente en los conceptos antes de seguir
Como la mayoría de los libros de matemáticas que leo están más inclinados a mostrar procedimientos mecánicos que el significado general, me dio curiosidad saber dónde hay libros que den mejores explicaciones semánticas de los conceptos
Recuerdo haber aprendido el procedimiento para calcular eigenvectores, pero nunca escuché ni una palabra sobre por qué querríamos eso
Para explicarlo bien, probablemente habría que fijar metas de curso más humildes, tipo “enseñamos cálculo, álgebra lineal y mecánica cuántica”
Después de ese día perdí toda motivación por las matemáticas, y años más tarde, cuando descubrí que las integrales están relacionadas con el área bajo la curva y lo útiles que son, me volví a enojar
La mayoría de los profesores seguro enseñan con buena intención y esfuerzo, pero también hay personas tan malas en eso que de plano no deberían volver a entrar a un salón
Antes de eso, no eran más que conceptos abstractos conectados con otros conceptos abstractos que había que memorizar para pasar el examen
Incluso ahora, cuando leo artículos sobre cosas como relaciones en álgebra abstracta, me frustra que ni siquiera haya una o dos frases sobre cómo pensar intuitivamente el concepto y solo enumeren relaciones simbólicas
Dentro del juego que es la matemática, esa perspectiva quizá se vuelva natural, pero mucha gente aprende matemáticas por motivaciones adicionales y quiere una visión que muestre su utilidad real o su conexión con el mundo
Con solo mostrar un ejemplo concreto de un concepto abstracto, muchos más lectores inteligentes y relevantes podrían entender artículos de matemáticas mucho mejor
No entendí bien el cálculo hasta que leí el excelente libro Infinite Powers de Steven Strogatz, que explica no solo por qué, sino también la historia detrás de ese porqué
En lo personal, es un libro de 10/10
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Los libros de física de nivel básico que yo vi presentaban el producto punto con una definición geométrica y una definición algebraica, y mostraban que ambas coinciden en 2 o 3 dimensiones
Si el “cómo” es la definición algebraica, el “porqué” corresponde a la definición geométrica
En física, el producto punto no es importante para medir similitud, sino porque da longitud y ángulo, y en espacios más abstractos incluso puede convertirse en la definición misma de longitud y ángulo
En aprendizaje automático sí se necesita una definición de similitud, y puede plantearse como que el ángulo entre dos vectores sea pequeño, por eso aparece esa perspectiva
Una medida de similitud más tradicional es la longitud de la diferencia, o sea la distancia, y eso también se calcula con el producto punto
Llevo 20 años tratando con cálculo en la escuela, el trabajo y como hobby, y este tipo de textos siempre me alegran y me hacen sonreír
Cuando está bien desarrollado, se siente como si una intuición construida durante años se pudiera transmitir en cuestión de minutos
Explicaciones como “(dx)^2 es un pedacito muy pequeño de un pedacito muy pequeño de x” incluso se volvieron un pilar central en mis esfuerzos recientes, después de pasar decenas de horas apenas intentando entender lo básico del cálculo estocástico
Cuando veo materiales así, pienso que la humanidad está avanzando porque las nuevas generaciones pueden acceder a esta información y aprender más rápido
No parece que hoy en día eso haya cambiado tanto
Parte de eso está relacionada con viejas discusiones —a menudo filosóficas y teológicas— sobre el estatus ontológico de los infinitesimales
El cociente diferencial se volvió la formalización oficial del cálculo diferencial, pero en la práctica casi nunca se usa así; en el mundo real el cálculo se usa de otra manera
En el trabajo práctico todavía se usa una notación provisional de infinitesimales, pero son objetos raros con reglas aparte, y en realidad no mucha gente conoce esas reglas
El análisis no estándar permite tratar los infinitesimales casi como si siguieran las reglas normales del álgebra, pero no sé si se usa menos por problemas técnicos y filosóficos fundamentales o simplemente por conservadurismo
El cálculo estocástico es realmente extraño y, por ejemplo, nunca he entendido la formulación “correcta” del filtro de Kalman en tiempo continuo
Si uno lo ve como hacer que el intervalo de tiempo tienda a 0, con algunos ajustes salen resultados que parecen correctos, pero entiendo que formalmente no es exacto
Desde la perspectiva de alguien que cursa cálculo en el proceso de ingreso a la universidad, este tipo de folletos de aprender cálculo fácilmente se siente tan trillado que hasta fastidia
La parte difícil no son los conceptos del nivel más alto, sino los conocimientos base necesarios para resolver problemas reales de cálculo
Para mí, lo más difícil fue, primero, tener completamente dominados los conocimientos previos, desde completar el cuadrado y la división larga de polinomios hasta ecuaciones con derivadas, al punto de poder resolver problemas inesperados
Segundo, entender y aplicar con precisión la notación y las técnicas de gráficos, desde la notación de Leibniz hasta el trazado de curvas
Por eso existen libros gruesos y cursos que solo cubren cálculo introductorio, y aun así ni siquiera alcanzan a raspar la superficie de matemáticas más avanzadas
Si no te limitaste a leer la página HTML, es un libro de un solo volumen publicado por Silvanus P. Thompson en 1910, que fue lo bastante bien valorado como para que Martin Gardner lo reeditara en 1998, y que luego voluntarios recompusieron con esmero en TeX para convertirlo en sitio web
Está cubriendo una necesidad clara y no es simplemente un folleto “trillado”
Aun así, hay quien no recomienda la edición de Gardner porque considera que chocan dos personalidades muy fuertes
Personalmente recomiendo Khan Academy, y creo que conviene volver a recorrer toda la matemática de preparatoria
Yo estaba en una situación parecida y vi el material de Khan que había en YouTube; mis calificaciones en preparatoria eran aceptables, pero como mi escuela no era buena, me salté muchas bases y en realidad no estaba nada preparado para estudiar matemáticas de verdad
Cada vez que un profesor o asistente mostraba un “truco obvio de álgebra” en una expresión complicada, muchas veces era la primera vez que lo veía en mi vida
No hay muchas alternativas aparte de volver a estudiar por tu cuenta álgebra, geometría y trigonometría mientras aprendes cálculo
Si tu nivel de álgebra es débil, no vas a poder con ecuaciones de cálculo, y la solución no está en “aprender cálculo fácilmente”, sino en “aprender álgebra fácilmente”
En preparatoria resolvía bastante bien problemas de cálculo, pero casi no entendía qué eran realmente los límites
Cuando en la universidad entendí la definición de límite y los teoremas fundamentales construidos sobre ella, fue un shock enorme
Para la mayoría de las personas, que no van a resolver problemas matemáticos complejos todos los días, lo central del aprendizaje de matemáticas no es la capacidad de resolver ejercicios mecánicamente, sino comprender los conceptos e ideas matemáticas que forman la capacidad de pensar en general
¿Qué parte del álgebra necesitas? Eso tienes que descubrirlo tú mismo
Esa es una gran barrera al aprender matemáticas al revés: en cada esquina aparece una pieza faltante, y esa pieza lleva a otra pieza faltante
Ir de lo básico a lo avanzado es frustrante porque el músculo matemático crece demasiado lento, pero bajar de arriba hacia abajo también es lento y frustrante
Entender los conceptos por sí solo no te vuelve bueno en matemáticas, y es fácil engañarte a ti mismo creyendo que “ya entendiste” hasta que intentas resolver algunos problemas
Solo después de repetir suficientes ejercicios de nivel bajo hasta convertirlos en memoria muscular puedes pasar al siguiente nivel
Aun así, en algún momento llega un punto de inflexión en que el dolor y la sensación de madriguera de conejo disminuyen bastante rápido; la práctica repetida empieza a rendir frutos y el siguiente bloque se vuelve un poco más fácil
En programación pasa igual: saber el concepto de un bucle no significa que puedas escribir eficientemente código para ordenar arreglos; primero tienes que usar bastante la sintaxis y los bucles, y luego internalizar a fuerza de repetir los algoritmos de ordenamiento
Al pasar por este proceso, el mismo concepto se repite en distintas variaciones y poco a poco empieza a resolverse en menos tiempo
Esa es también la razón por la que mucha gente simplemente se rinde y acepta que no tiene genes para las matemáticas
Otro libro para leer cálculo es The Calculus: A Genetic Approach de Otto Toeplitz
Sigue un proceso parecido y me resultó una lectura agradable
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
“Sabía” cálculo lo suficiente como para sacar buenas calificaciones en matemáticas en preparatoria y en ingeniería, pero sentí que de verdad sabía cálculo solo después de leer un libro como “A Course of Pure Mathematics”, publicado en 1908
Recuerdo que ese libro empieza con teoría de números y va construyendo el cálculo desde ahí, y que el teorema fundamental del cálculo aparece más o menos a la mitad
Si lo aprendes así, es difícil olvidarlo
Creo que hoy no se enseña de esa manera porque el sistema de exámenes y las aulas masivas fomentan más memorizar temporalmente fórmulas clave y saber dónde aplicarlas mecánicamente que una comprensión profunda y duradera de su significado
También influye que cada año cambia el profesor de matemáticas y el nivel de comprensión de los prerrequisitos para la materia del año siguiente varía muchísimo entre estudiantes, así que el inicio de cada unidad se va en repaso e integración
Para obtener una comprensión rica que dure toda la vida probablemente solo haría falta dedicar 10~20% más de tiempo, pero se valora más la compresión y los resultados medibles de inmediato que el aprendizaje real
Cuando me encuentro con materiales así me da mucha alegría, pero también me deja un sabor amargo porque me hace ver lo lamentable que es el estado habitual de la educación moderna
Durante los últimos meses he estado estudiando fundamentos de álgebra con el canal de YouTube de Professor Leonard[0]
El objetivo es llenar los huecos de conocimiento antes de volver a ver cálculo
Hacerlo bien toma bastante tiempo, pero ahora tengo mucha más confianza en mi nivel que antes, y eso en sí mismo ya da satisfacción y motivación
Antes de empezar no sabía que los agujeros en mi conocimiento de álgebra fueran tan grandes
La meta final es poder seguir “Neural Networks: Zero to Hero” de Andrej Karpathy[1] sin grandes problemas
Empezar casi desde “cero” para aprender prerrequisitos antes de estudiar por cuenta propia lo que de verdad quieres aprender es pesado, pero siento que tomar un atajo al final solo llevaría a la frustración
Por eso, a los 38 años, estoy viendo clases de álgebra en YouTube
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Siempre confundo este libro con Calculus for the Practical Man, el que estudió Feynman
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Al principio da la impresión de que habría que mencionar directamente al autor, Silvanus P. Thompson[1]
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
el enlace no lleva a la primera página donde aparece el nombre del autor
pensé que el autor simplemente estaba usando a propósito un tono excesivamente tierno
El título dice que vuelve fácil el cálculo, pero curiosamente no hay teoría de categorías
Casi puedo oír a alguien preguntando: “¡¿Cómo puede ser?!”
Este libro fue escrito en 1910, y la teoría de categorías apareció 50 años después, así que no había de otra
Pero no hace falta preocuparse
Hay un libro que desarrolla el cálculo diferencial e integral usual usando categorías
No sé qué podría ser más fácil que eso, pero si lo encuentro, les aviso
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Se agradece el esfuerzo, pero con solo leer unas cuantas páginas ya siento que, si estuviera aprendiendo cálculo por primera vez, este no sería el material que querría
Tampoco es perfecto como repaso
El autor identifica correctamente los problemas que tienen la mayoría de los libros “serios”, pero compensa de más y termina complicando innecesariamente la comprensión, hasta el punto de que en algunos aspectos puede resultar más difícil que ciertos textos formales
Es demasiado verboso e informal, y bastante pesado de leer y seguir
No necesito referencias a poemas de Dean Swift ni a la “época de la reina Elizabeth”; solo quiero saber qué es el cálculo, por qué hace falta y cómo se hace en la práctica
Incluso si se sigue un enfoque ingenieril, que parece más fácil, creo que para un enfoque aunque sea un poco matemático sigue haciendo falta cierto grado de formalidad
Las matemáticas son un área donde es muy fácil creer que entendiste algo cuando en realidad no fue así, y luego quedarse en blanco frente a una prueba falsa pero paradójica o cuando te piden que lo demuestres tú mismo
Para distinguir una deducción válida de una inválida, al final sí hacen falta definiciones formales
De hecho, los fundamentos formales no son nada difíciles de entender
Cualquiera puede aceptar fácilmente que x² crece más rápido que x, y al introducir el concepto de límite se puede ver por qué (dx)² puede ignorarse frente a dx
Para eso no hace falta comparar semanas con minutos, y ese tipo de analogías incluso puede distraer
Siento que leer unas cuantas definiciones formales exige mucha menos paciencia que varias páginas de perorata “a la antigua usanza inglesa”
Edit: ah, no era una “estilización”, de verdad era un texto antiguo
Aun así, no cambia el punto central: hoy existen materiales mucho mejores para aprender cálculo