No es fácil escribir un libro de cálculo de manera rigurosa
Si se lleva demasiado lejos la rigurosidad, termina convirtiéndose en un libro de “análisis real”, y el objetivo del cálculo es introducir conceptos, no enseñar análisis completo
Me gusta que este libro no se obsesione demasiado con el concepto de convergencia y se enfoque más en las expresiones verbales sobre funciones y en sus puntos de cruce con el álgebra lineal
Como profesor de matemáticas que ha enseñado cálculo muchas veces, creo que es difícil resumir en un solo objetivo lo que busca un curso de cálculo
El cálculo es una de esas raras áreas de las matemáticas que es mucho más fácil de entender en un nivel no riguroso
Por ejemplo, si uno toma que “la derivada es la tasa instantánea de cambio” y trata dy/dx como si fuera una fracción real, conceptos como la regla de la cadena se explican de manera mucho más intuitiva
La mayoría de los libros quedan en un punto ambiguo entre lo riguroso y lo no riguroso, y yo creo que es mejor elegir claramente un lado
Este libro no será para todo el mundo, pero justamente esa es una fortaleza
Ya existe Apostol, así que si lo que quieres es aprender cálculo en sí, conviene conseguir una edición antigua
La edición más reciente trae contenido extra como álgebra lineal, pero es demasiado cara ($150 por volumen)
El autor dijo que quiere presentar las matemáticas “de manera intuitiva e informal, pero sin perder el rigor lógico”, pero los libros de texto occidentales con el tiempo tienden a volverse menos rigurosos
En cambio, eso no ocurre con los libros de Asia o Rusia
Me preocupa que, como los estudiantes piden más explicaciones visuales e informales, luego les cueste adaptarse al formalismo riguroso cuando lleguen a la etapa de investigación
Entre los textos rusos, 『Mathematics: Its Content, Methods and Meaning』 de Aleksandrov, Kolmogorov y Lavrent’ev sigue considerándose una obra maestra
Se publicó en 1962 en tres volúmenes, y la edición en inglés está reunida en un solo tomo
Puede que los libros occidentales se hayan vuelto menos rigurosos porque el público objetivo se amplió, ya que hoy llegan a la universidad estudiantes que antes habrían ido a escuelas vocacionales
Si se quiere incluir a alumnos con trayectorias más diversas, inevitablemente los libros también tienen que cambiar
Me pregunto qué significa exactamente “riguroso”
No me queda claro si quiere decir que todo se trata centrado en demostraciones, o si significa que se pone más énfasis en la teoría que en las aplicaciones
Hay una entrada de blog antigua relacionada → Professor Confess
Sostiene que la expansión de los préstamos estudiantiles está vinculada con el colapso de la exigencia académica
Como las instituciones no quieren reprobar estudiantes para maximizar la matrícula, el nivel de dificultad y el rigor se han reducido
Yo también estoy de acuerdo con esa opinión
El problema no son los estudiantes, sino los pedagogos y las editoriales que eligen los libros y deciden qué se publica
Intentar hacer un libro que sirva para todo el mundo es una tontería
La mayoría de la gente no necesita saber cálculo y, si lo va a estudiar, debería hacerlo de verdad y con rigor
Este libro parece un intento de abarcar varias rutas de aprendizaje
① cálculo orientado a demostraciones para estudiantes de matemáticas
② cálculo orientado al cálculo operativo para estudiantes de ingeniería y ciencias
③ cálculo simplificado para estudiantes de ciencias sociales y negocios
Si realmente pudiera integrar ① y ②, sería algo impresionante
Pero creo que esos dos caminos son difíciles de unir Sus objetivos y metodologías son demasiado distintos
Por ejemplo, las discusiones ε-δ que se ven en un curso de análisis de Tao están bastante alejadas de las ecuaciones diferenciales reales o del análisis de estabilidad
Puedes demostrar que un subespacio denso de un espacio de Hilbert existe y aun así perderte por completo en un análisis multiescala
Le di una hojeada rápida al libro y me gustó bastante
Yo aprendí matemáticas más desde procedimientos y reglas, así que estaba acostumbrado a la manipulación mecánica más que al rigor teórico
Este libro les sirve a personas así para volver a revisar los conceptos fundamentales
‘What is Calculus?’ recién aparece en el capítulo 6 (página 223) y ‘Differentiation’ en el capítulo 8 (página 261), así que las 200 páginas anteriores se dedican a construir muy bien las bases
Lo recomiendo mucho como repaso o como lectura paralela
Me pregunto cuánto ayudan realmente el rigor y la abstracción de las matemáticas a resolver problemas del mundo real
Siento que, para mejorar la capacidad de resolver problemas de ingeniería, estudiar modelos probabilísticos me ha sido más útil que la teoría de la medida
Libros como 『Mathematical Methods for Physics and Engineering』, centrados en la intuición y la aplicación, me han funcionado mejor
Prefiero libros que no exigen conocimientos previos aparte y que cubren dentro del mismo volumen todo lo necesario
Por ejemplo, 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) o 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
En la universidad hacen que uno curse varias materias en paralelo, pero en realidad creo que un currículum integrado sería más eficiente
Como este libro se presenta como cálculo para científicos de la computación, pensé que tal vez usaría el enfoque basado en Big-O que Knuth propuso en 1998
(enlace a la carta de Knuth)
Pero en realidad empieza como una introducción suavizada al análisis real
De hecho, este libro también trata la notación O en la sección “Order of Vanishing” del capítulo “Limits and Continuity”
Yo estoy más del lado del cálculo numérico, pero este PDF es una referencia mucho más fácil de leer que Wikipedia
Me hizo pensar en una frase de Goethe: “Los matemáticos son una especie de franceses. Hablas con ellos, ellos lo traducen a su propio idioma, y enseguida se convierte en algo completamente distinto”
1 comentarios
Opinión de Hacker News
No es fácil escribir un libro de cálculo de manera rigurosa
Si se lleva demasiado lejos la rigurosidad, termina convirtiéndose en un libro de “análisis real”, y el objetivo del cálculo es introducir conceptos, no enseñar análisis completo
Me gusta que este libro no se obsesione demasiado con el concepto de convergencia y se enfoque más en las expresiones verbales sobre funciones y en sus puntos de cruce con el álgebra lineal
El cálculo es una de esas raras áreas de las matemáticas que es mucho más fácil de entender en un nivel no riguroso
Por ejemplo, si uno toma que “la derivada es la tasa instantánea de cambio” y trata
dy/dxcomo si fuera una fracción real, conceptos como la regla de la cadena se explican de manera mucho más intuitivaLa mayoría de los libros quedan en un punto ambiguo entre lo riguroso y lo no riguroso, y yo creo que es mejor elegir claramente un lado
Este libro no será para todo el mundo, pero justamente esa es una fortaleza
La edición más reciente trae contenido extra como álgebra lineal, pero es demasiado cara ($150 por volumen)
El autor dijo que quiere presentar las matemáticas “de manera intuitiva e informal, pero sin perder el rigor lógico”, pero los libros de texto occidentales con el tiempo tienden a volverse menos rigurosos
En cambio, eso no ocurre con los libros de Asia o Rusia
Me preocupa que, como los estudiantes piden más explicaciones visuales e informales, luego les cueste adaptarse al formalismo riguroso cuando lleguen a la etapa de investigación
Se publicó en 1962 en tres volúmenes, y la edición en inglés está reunida en un solo tomo
Si se quiere incluir a alumnos con trayectorias más diversas, inevitablemente los libros también tienen que cambiar
No me queda claro si quiere decir que todo se trata centrado en demostraciones, o si significa que se pone más énfasis en la teoría que en las aplicaciones
Sostiene que la expansión de los préstamos estudiantiles está vinculada con el colapso de la exigencia académica
Como las instituciones no quieren reprobar estudiantes para maximizar la matrícula, el nivel de dificultad y el rigor se han reducido
El problema no son los estudiantes, sino los pedagogos y las editoriales que eligen los libros y deciden qué se publica
Intentar hacer un libro que sirva para todo el mundo es una tontería
La mayoría de la gente no necesita saber cálculo y, si lo va a estudiar, debería hacerlo de verdad y con rigor
Este libro parece un intento de abarcar varias rutas de aprendizaje
① cálculo orientado a demostraciones para estudiantes de matemáticas
② cálculo orientado al cálculo operativo para estudiantes de ingeniería y ciencias
③ cálculo simplificado para estudiantes de ciencias sociales y negocios
Si realmente pudiera integrar ① y ②, sería algo impresionante
Sus objetivos y metodologías son demasiado distintos
Por ejemplo, las discusiones ε-δ que se ven en un curso de análisis de Tao están bastante alejadas de las ecuaciones diferenciales reales o del análisis de estabilidad
Puedes demostrar que un subespacio denso de un espacio de Hilbert existe y aun así perderte por completo en un análisis multiescala
Le di una hojeada rápida al libro y me gustó bastante
Yo aprendí matemáticas más desde procedimientos y reglas, así que estaba acostumbrado a la manipulación mecánica más que al rigor teórico
Este libro les sirve a personas así para volver a revisar los conceptos fundamentales
‘What is Calculus?’ recién aparece en el capítulo 6 (página 223) y ‘Differentiation’ en el capítulo 8 (página 261), así que las 200 páginas anteriores se dedican a construir muy bien las bases
Lo recomiendo mucho como repaso o como lectura paralela
Me pregunto cuánto ayudan realmente el rigor y la abstracción de las matemáticas a resolver problemas del mundo real
Siento que, para mejorar la capacidad de resolver problemas de ingeniería, estudiar modelos probabilísticos me ha sido más útil que la teoría de la medida
Libros como 『Mathematical Methods for Physics and Engineering』, centrados en la intuición y la aplicación, me han funcionado mejor
Prefiero libros que no exigen conocimientos previos aparte y que cubren dentro del mismo volumen todo lo necesario
Por ejemplo, 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) o 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
En la universidad hacen que uno curse varias materias en paralelo, pero en realidad creo que un currículum integrado sería más eficiente
Como este libro se presenta como cálculo para científicos de la computación, pensé que tal vez usaría el enfoque basado en Big-O que Knuth propuso en 1998
(enlace a la carta de Knuth)
Pero en realidad empieza como una introducción suavizada al análisis real
la entrada del blog Quomodocumque,
el blog Cornell Math y
el blog Texnical Stuff
También vale la pena ver la formalización de la notación O de Terry Tao
(Estos enlaces fueron tomados de la recopilación de Shreevatsa)
Yo estoy más del lado del cálculo numérico, pero este PDF es una referencia mucho más fácil de leer que Wikipedia
Me hizo pensar en una frase de Goethe: “Los matemáticos son una especie de franceses. Hablas con ellos, ellos lo traducen a su propio idioma, y enseguida se convierte en algo completamente distinto”