- Parte de la invariancia rotacional del círculo y del círculo unitario, y conecta visualmente el recorrido que va de seno y coseno, números complejos, la fórmula de Euler, ondas sinusoidales y epiciclos hasta las Series de Fourier
- La rotación del círculo unitario permite interpretar $\sin$ como la coordenada y, y $\cos$ como la coordenada x; ambas funciones tienen período $2\pi$ y una diferencia de fase de $\frac{\pi}{2}$
- En el plano complejo, $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ se convierte en una rotación sobre el círculo unitario, y la sinusoide compleja agrupa coseno y seno en un único objeto rotatorio
- Al sumar varias sinusoides se producen refuerzos y cancelaciones; combinando frecuencias impares con amplitudes decrecientes también se aproximan cada vez más formas discontinuas como una onda cuadrada
- Los epiciclos muestran cada sinusoide como un círculo rotatorio y una suma de vectores: el radio corresponde a la amplitud $A$, la velocidad de rotación a la frecuencia angular $\omega$ y el ángulo inicial a la fase $\varphi$
Rotación a partir del círculo, $\pi$ y los radianes
- Un círculo se define por un centro $P(a,b)$ y un radio $r$; algebraicamente se expresa como $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- Si el centro se coloca en el origen y el radio se fija en 1, se obtiene el círculo unitario, y la ecuación se simplifica a $x^2+y^2=1$
- La relación entre un punto sobre el círculo y su punto reflejado al lado opuesto se mantiene aun al rotar; esta invariancia rotacional se usa como intuición clave en las matemáticas de Fourier
- $\pi$ es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, y tiene el mismo valor en todos los círculos: $\pi \approx 3.14159...$
- La circunferencia es $P=2\pi r$
- El área es $A=\pi r^2$
- $\pi$ no es un número racional y además es un número trascendental, es decir, no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales
- El radián es la unidad estándar para medir ángulos en matemáticas y física; para convertir grados a radianes, se multiplica el ángulo por $\pi$ y se divide entre 180
- En las matemáticas de Fourier, usar radianes permite tratar las funciones trigonométricas no como simples ángulos, sino como funciones de números reales, lo que vuelve más limpio el cálculo diferencial e integral de ondas y oscilaciones
Interpretación de seno y coseno en el círculo unitario
- $\sin$ y $\cos$ pueden verse como rastreadores de coordenadas de un punto que recorre el círculo unitario
- $\theta$ es el ángulo entre el radio y el eje x positivo
- $\sin$ es el desplazamiento vertical del punto, es decir, la coordenada y
- $\cos$ es el desplazamiento horizontal del punto, es decir, la coordenada x
- Como el punto vuelve a su posición inicial, $\sin$ y $\cos$ son funciones periódicas con período $2\pi$
- $\cos$ tiene la misma forma de onda que $\sin$, pero desplazada $\frac{\pi}{2}$, es decir, $90^\circ$
- $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
- Técnicamente, $\cos$ adelanta a $\sin$ por $\frac{\pi}{2}$
- Por esta diferencia de fase, ambas funciones forman una relación de cuadratura
- En el análisis de Fourier, usar juntos componentes seno y coseno permite representar cualquier señal periódica sin importar la posición inicial, es decir, la fase
- Desde la perspectiva de la paridad, una simetría de las funciones, $\cos$ es una función par y $\sin$ es una función impar
- $\cos(x)=\cos(-x)$
- $\sin(-x)=-\sin(x)$
Números complejos, $i$ y la fórmula de Euler
- En el plano complejo, todos los puntos sobre el círculo unitario corresponden a números complejos con valor absoluto 1
- Para un ángulo real $\theta$, $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ es un punto sobre el círculo unitario y representa una rotación de $\theta$ desde el eje real positivo
- Multiplicar un número complejo por $i$ lo rota en sentido antihorario $\frac{\pi}{2}$, es decir, 90 grados, en el plano complejo
- El valor absoluto $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ se mantiene
- Solo el argumento aumenta en $\frac{\pi}{2}$
- Si se multiplica repetidamente el mismo número complejo por $i$, este recorre los cuadrantes en orden y, después de cuatro veces, vuelve a su posición original
- La constante natural $e \approx 2.71828$ es irracional y trascendental, y puede definirse mediante series y límites
- $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
- $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
- $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
- La función exponencial natural es una función propia de la derivada: al derivarla, vuelve a aparecer la misma función multiplicada por una constante
- $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
- $f(x)=e^{ix}$ se multiplica por $i$ cada vez que se deriva, y tras derivarla cuatro veces vuelve a ser la función original
- $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
- $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
- $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
- $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
- Este patrón equivale a multiplicar repetidamente un número complejo por $i$ para rotarlo, lo que conduce a la intuición de que $e^{ix}$ traza un círculo en el plano complejo
- La fórmula de Euler es $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, y al sustituir $x=\pi$ se obtiene $e^{i\pi}+1=0$
- Con la fórmula de Euler, seno y coseno pueden escribirse en forma exponencial
- $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
- $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
- Los mismos parámetros $x$, $t$, $\theta$ pueden interpretarse como ángulo o como tiempo según el contexto, mientras que la forma matemática es la misma
Sinusoides y sinusoides complejas
- Una sinusoide es una oscilación suave y repetitiva; como función del tiempo $t$, se expresa como $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$
- Cada término determina la forma y el movimiento de la onda
- $A$ es la amplitud, es decir, la desviación máxima respecto del valor central 0
- $f$ es la frecuencia común, que indica la cantidad de oscilaciones completas por segundo y se mide en Hz
- $\omega=2\pi f$ es la frecuencia angular, medida en radianes por segundo en lugar de ciclos por segundo
- $\varphi$ es el desplazamiento u offset de fase, que mueve la sinusoide hacia la izquierda o la derecha sobre el eje x
- $\sin$ y $\cos$ son casos particulares de sinusoides, y una onda coseno equivale a una onda seno desplazada $\frac{\pi}{2}$ radianes hacia la izquierda
- Ajustando $A$, $\omega$ y $\varphi$ se pueden representar oscilaciones muy diversas, desde el sonido de un bajo eléctrico hasta la corriente alterna doméstica
- Si en la fórmula de Euler se reemplaza el ángulo estático $\theta$ por $\omega t+\varphi$, que cambia con el tiempo, se obtiene una sinusoide compleja
- $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
- $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
- Una sinusoide compleja agrupa dos ondas en un único objeto matemático
- La parte real se comporta como una onda coseno
- La parte imaginaria se comporta como una onda seno
- Como ambos componentes dependen del mismo ángulo de rotación $\theta=\omega t+\varphi$, están sincronizados
- Al proyectar una sinusoide compleja sobre el plano Y-Z aparece una onda seno, y al proyectarla sobre el plano X-Z aparece una onda coseno
- Las sombras que un único objeto rotatorio proyecta sobre planos ortogonales entre sí aparecen como las familiares sinusoides de valores reales
Suma de sinusoides e interferencia
- Al sumar varias sinusoides, los valores de las funciones se combinan en cada punto y, según cómo se alineen crestas y valles, se amplifican o se cancelan entre sí
- Si las crestas y los valles de dos sinusoides se encajan, pueden restarse entre sí y hacer que la suma se acerque a 0
- Este fenómeno puede entenderse como interferencia de ondas
- Por ejemplo, al sumar dos sinusoides $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ y $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$, se obtiene $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$, que genera un patrón complejo
- Las formas de onda con distintas frecuencias y offsets de fase alternan continuamente entre sincronizarse y desincronizarse; mientras más sinusoides se suman, más complejo se vuelve el patrón
Crear una onda cuadrada con sinusoides
- Si se eligen cuidadosamente ciertas sinusoides, se pueden crear patrones geométricos predecibles
- Una onda cuadrada se compone de la siguiente suma infinita
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
- Esta expresión suma solo frecuencias impares, y la amplitud de cada término va disminuyendo
- Al combinar curvas suaves y continuas, la interferencia entre crestas y valles produce una onda cuadrada con partes superiores planas
- Mientras más sinusoides se incluyan en la suma, más nítida se vuelve la aproximación
- Como una sola sinusoide corresponde a un punto que gira alrededor de un círculo, el proceso de sumar sinusoides puede verse como epiciclos que conectan círculos rotatorios
- En los epiciclos, el centro del segundo círculo se ubica en el borde del primero, el centro del tercer círculo se coloca en el borde del segundo, y así sucesivamente
- Cada epiciclo corresponde a una sinusoide específica, y combinarlos se interpreta como una suma de vectores secuencial
- Tres sinusoides de ejemplo se suman así
- $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
- $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
- $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
- $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
- En cualquier instante, el vector de posición total se expresa como $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$
- Si se eligen las sinusoides adecuadas, los círculos en movimiento pueden aproximar una forma deseada, como una flor; para determinar las sinusoides individuales se necesita Fourier Analysis
Forma básica de las Series de Fourier
- Las Series de Fourier son un proceso matemático que expande una función periódica de período $P$ como una suma infinita de varias funciones trigonométricas oscilantes
- En la analogía con la portada del álbum Dark Side of The Moon de Pink Floyd, la función periódica $f(x)$ es la luz, el prisma es Fourier Mathematics y los colores separados corresponden a componentes sinusoidales simples
- La fórmula básica es la siguiente
- $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
- $A_0$, $A_n$ y $B_n$ son coeficientes de Fourier, e indican qué tanto se necesita una frecuencia específica para reconstruir la forma de onda original
- Los coeficientes se calculan mediante integrales
- $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
- $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- Seno y coseno son visualmente intuitivos, pero pueden resultar incómodos para manipulaciones algebraicas, por lo que se pueden convertir a forma exponencial usando la fórmula de Euler
- La Serie de Fourier en forma exponencial es la siguiente
- $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
- En la forma exponencial, el índice $n$ se extiende también a valores negativos, lo que introduce el concepto de frecuencia negativa, que representa la dirección de rotación de un vector complejo
- La fórmula unificada de los coeficientes es la siguiente
- $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$
Cálculo de coeficientes para la función caja y la onda cuadrada
- La aproximación de onda cuadrada usada antes es la siguiente
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
- Si se usa $\omega=2\pi f$, entonces $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- La función de onda cuadrada puede escribirse en el intervalo $[0,2L]$ usando la Heaviside Step Function como $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$
- $A_0$ es el promedio de la función en el intervalo $[0,2L]$; como el área positiva y el área negativa se cancelan, resulta 0
- $A_n$ es el coeficiente que gobierna el término $\cos$; como $f(x)$ es impar y $\cos$ es par, su producto es una función impar
- Al integrar sobre un período completo, las áreas se cancelan
- Todos los coeficientes $A_n$ son 0
- $B_n$ es el coeficiente que gobierna el término $\sin$
- Para $n$ par, el área roja y el área verde se cancelan y el valor de la integral es 0
- Para los términos impares, las áreas se suman
- El resultado del cálculo es $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$
- Como solo quedan los términos $B_n$ impares, la onda cuadrada toma la siguiente forma
- $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
- Al cambiar $n\rightarrow2k-1$, $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
- Sustituyendo $L\rightarrow\frac{1}{2f}$ y $2\pi f\rightarrow\omega$, se obtiene $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- En la práctica no se puede sumar infinitamente, así que se usa una suma parcial $s(x)$ que se detiene en un $n$ finito
- $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
- Al aumentar $n$, mejora la precisión de la aproximación y las brechas restantes se reducen cada vez más
- Los primeros cinco términos están formados por sinusoides simples cuya amplitud disminuye rápidamente y cuya frecuencia aumenta
Ejemplos de onda triangular y diente de sierra
- La aproximación de una onda triangular mediante Series de Fourier es la siguiente
- $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
- La onda triangular es suave y converge rápidamente; cuando $n$ se acerca a 6, la forma triangular se vuelve clara
- En el desarrollo de la onda triangular, los términos pares como $s_2(x)$, $s_4(x)$ y $s_6(x)$ son negativos
- Como una amplitud negativa no resulta físicamente intuitiva, puede reescribirse de dos maneras
- Usando $\sin(-x)=-\sin(x)$, se puede convertir la frecuencia en negativa
- Se puede dejar la amplitud positiva y sumar una fase $\pi$
- En la práctica, la segunda opción es más útil y ofrece mejor control geométrico
- $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$ puede escribirse como $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$
- La función de diente de sierra inversa tiene la siguiente forma
- $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$
Dispositivo para ver las Series de Fourier como epiciclos
- Si se observan como movimiento físico en lugar de ecuaciones estáticas, los términos de Fourier se comportan como varios círculos rotatorios conectados de extremo a extremo sobre varillas
- En el dispositivo visual se puede elegir la forma de señal deseada: sawtooth wave, triangle wave o square wave
- Cada elemento visual corresponde directamente a una variable de la fórmula de Fourier
- El radio de cada círculo es la amplitud $A$
- La velocidad de rotación de cada círculo es la frecuencia angular $\omega$
- El ángulo inicial de la varilla dentro del círculo en $t=0$ es el offset de fase $\varphi$
- Incluso las formas de onda complejas, puntiagudas y filosas pueden descomponerse de forma inversa en combinaciones de círculos que giran suavemente
- La animación sirve para mostrar paso a paso la conexión entre círculos, sinusoides, números complejos, epiciclos y Series de Fourier
1 comentarios
Opiniones en Hacker News
La transformada discreta de Fourier no es más que una matriz ortogonal que se multiplica por un vector, y la FFT inversa, el teorema de Plancherel y el teorema de Parseval se desprenden naturalmente de que esa matriz sea ortonormal.
Puede ser un enfoque que solo funciona si ya entiendes álgebra lineal, pero una vez que tuve clara la perspectiva discreta, también fue fácil pasar a la transformada continua de Fourier.
Personalmente, me resultó mucho más fácil ver directamente las fórmulas que mirar círculos y animaciones.
[1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
[2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
Casi todo lo demás se desprende de ahí. En una notación, la transformada de Fourier multiplica f(x) por e^{-ikx} e integra; la integral es un producto interno enorme, y e^{-ikx} es como la “transpuesta” del vector base e^{ikx}, así que al final se está expresando f_i en términos de ese componente de la base.
La mayoría de las personas que entienden álgebra lineal probablemente aprenden la transformada de Fourier como aprendieron matemáticas avanzadas: con libros de texto o cursos universitarios. En ese contexto, una explicación como “una matriz ortogonal que se multiplica por un vector” es el punto de partida básico, aunque puede parecer falta de intuición, y los videos de YouTube tienden a intentar llenar ese hueco.
Por ejemplo, el video de 3b1b vuelve a explicar con calma por qué los números complejos son útiles, lo que muestra que el público objetivo es distinto desde el inicio.
Por eso, en temas de matemáticas todavía verifico si puedo derivarlos por mi cuenta haciendo las demostraciones directamente.
Sería lindo que con solo ver visualizaciones hermosas los conceptos entraran mágicamente en la cabeza, pero para mí se sienten como una especie de dopamina intelectual.
Es como hablar de “un monoide en la categoría de endofunctores” en el área de señales y sistemas.
/en el enlace href, y el enlace real es este:https://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
Parece que las animaciones usan Processing.
https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
Mientras escribía el artículo estaba aprendiendo p5.js, así que empecé de una forma bastante ineficiente y no estoy especialmente orgulloso de ello.
Cuando tenga tiempo, voy a modificar el artículo para poner el enlace correcto.
También tenía un plan para visualizar toda el álgebra lineal básica con Processing, como parte de mi recuperación de una depresión atípica, pero durante un tiempo no pude programar en la computadora.
Otras explicaciones a veces meten los números complejos a la fuerza recién al final.
Si te interesa este tema, también vale la pena ver una visualización de la transformada fraccional de Fourier [1] y una visualización del plano complejo [2] que hice.
[1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
[2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
Si a alguien le gusta crear materiales explicativos, me gustaría que también cubriera la transformada de Laplace [1].
Antes sabía cómo usarla para analizar circuitos electrónicos, pero ahora ya casi lo olvidé, así que es una petición un poco perezosa.
1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Pero este artículo supera por mucho aquella página. Será bueno para compartirlo con gente de ahora en adelante.
Introduction to Graduate Algorithmsde Georgia Tech e implementar todo el contenido de las clases en Python.Es un curso realmente bueno:
https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
Es la primera vez que oigo de Ed y me interesa, pero la sección “see how it works” tampoco explica realmente cómo funciona. Es una pena que, como suele pasar hoy, parezca que primero hay que registrarse.
También hay un sitio útil que reúne videos y libros sobre series de Fourier y la transformada de Fourier:
https://howthefouriertransformworks.com/