Introducción animada a las series de Fourier

Del círculo a los epiciclos (Parte 1) - Introducción animada a las series de Fourier

Índice

• Círculo
• El número π
• Radianes
• Seno y coseno
• El coseno guía al seno
• Simetría del coseno y del seno
• Números complejos y el círculo unitario
• Multiplicar por i es una rotación de π/2
• La identidad de Euler
• La fórmula de Euler, la conexión entre e, π e i
• Forma exponencial del seno y el coseno
• Onda senoidal
• La flexibilidad de la onda senoidal
• Onda senoidal compleja
• Cancelación de ondas senoidales
• La suma de ondas senoidales crea complejidad
• Sumar ondas senoidales por diversión
• Tetris de ondas senoidales
• Ondas senoidales y onda cuadrada
• Epiciclos - primer encuentro
• Epiciclos - comprensión intuitiva
• Epiciclos - flor
• Series de Fourier
• Forma exponencial de las series de Fourier
• Ejemplo: serie de Fourier de una función caja
• Ejemplo: serie de Fourier de una onda triangular
• Ejemplo: serie de Fourier de una onda de sierra
• Máquina de series de Fourier

Círculo

• Un círculo es una figura geométrica con centro P(a, b) y radio r.
• El círculo unitario es un círculo con centro en (0, 0) y radio 1.
• El círculo es el punto máximo de la simetría.

El número π

• π es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
• π es aproximadamente 3.14 y se usa para calcular la circunferencia y el área.
• π es un número irracional y trascendental.

Radianes

• El radián es una unidad real para medir ángulos.
• Para convertir un ángulo a radianes, se multiplica por π y se divide entre 180.

Seno y coseno

• El seno y el coseno se definen en el círculo unitario.
• El seno representa la coordenada y, y el coseno la coordenada x.
• Ambas funciones son periódicas y su período es 2π.

El coseno guía al seno

• El coseno se adelanta al seno por π/2.
• sin(x + π/2) = cos(x)

Simetría del coseno y del seno

• El coseno es una función par, por lo que cos(x) = cos(-x).
• El seno es una función impar, por lo que sin(-x) = -sin(x).

Números complejos y el círculo unitario

• En el plano complejo, los puntos del círculo se definen como z = cos(θ) + i*sin(θ).

Multiplicar por i es una rotación de π/2

• Multiplicar un número complejo por i lo rota π/2 en sentido antihorario.

La identidad de Euler

• La función exponencial natural se escribe como e^x, y e es aproximadamente 2.71828.
• Existe una fuerte conexión entre e y el círculo.
• e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

La fórmula de Euler, la conexión entre e, π e i

• Fórmula de Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
• Cuando x = π, e^(iπ) + 1 = 0

Forma exponencial del seno y el coseno

• cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
• sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

Onda senoidal

• Una onda senoidal se define como A*sin(2πft + φ).
• A es la amplitud, f la frecuencia, ω la frecuencia angular y φ el desfase.

La flexibilidad de la onda senoidal

• Una onda senoidal puede ajustarse con distintas amplitudes, frecuencias y fases.

Onda senoidal compleja

• Una onda senoidal compleja captura el comportamiento de dos ondas senoidales (coseno y seno).
• La parte real se comporta como coseno y la parte imaginaria como seno.

Cancelación de ondas senoidales

• Dos ondas senoidales con la misma amplitud pero frecuencias opuestas se cancelan entre sí.

La suma de ondas senoidales crea complejidad

• Al sumar dos ondas senoidales, se genera un patrón complejo.

Sumar ondas senoidales por diversión

• Al sumar varias ondas senoidales, se generan patrones todavía más complejos.

Tetris de ondas senoidales

• Es posible hacer un juego de Tetris usando ondas senoidales.

Ondas senoidales y onda cuadrada

• Si se eligen las ondas senoidales adecuadas, se pueden generar patrones predecibles.
• Al combinar varias ondas senoidales, se puede crear una onda cuadrada.

Epiciclos - primer encuentro

• Una onda senoidal corresponde a un círculo en rotación.
• Al sumar varias ondas senoidales, se pueden dibujar figuras complejas.

Epiciclos - comprensión intuitiva

• Cada epiciclo corresponde a una onda senoidal específica.
• Sumar ondas senoidales se reduce a una suma de vectores.

Epiciclos - flor

• Si se eligen las ondas senoidales adecuadas, se puede dibujar la forma deseada.

Series de Fourier

• Una serie de Fourier es un proceso matemático que expande una función periódica como una suma de funciones trigonométricas.
• Expresa una función f(x) como suma de funciones trigonométricas.

Forma exponencial de las series de Fourier

• Usando la fórmula de Euler, una serie de Fourier puede expresarse como suma de ondas senoidales complejas.

Ejemplo: serie de Fourier de una función caja

• Una onda cuadrada puede aproximarse como suma de ondas senoidales.
• y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))

La opinión de GN⁺

• Las series de Fourier son muy útiles para analizar y sintetizar señales periódicas.
• Comprender los conceptos básicos del seno y el coseno ayuda mucho al procesamiento de señales complejas.
• Los números complejos y la fórmula de Euler cumplen un papel importante en el análisis de señales.
• Las series de Fourier se usan en diversas aplicaciones, como el procesamiento de audio y la compresión de imágenes.
• Este artículo explica de forma sencilla los conceptos básicos de las series de Fourier, por lo que resulta útil para ingenieros principiantes.

[GN⁺]

Comentarios de Hacker News

• Me tomó mucho tiempo entender la transformada de Fourier. Después de entender la Discrete Fourier Transform (DFT), la FFT inversa, el teorema de Plancherel y el teorema de Parseval se volvieron naturales de entender. Después de entender el álgebra lineal, fue fácil extenderlo a la transformada de Fourier continua. Me resultó más fácil ver las fórmulas que el material visual.

• El enlace al código fuente está mal. El enlace real es aquí. Parece que implementó la animación usando Processing.

• También se puede encontrar una explicación de la transformada de Fourier en las Lecciones de Feynman. Enlace

• Para entender la FFT, tomé la clase Introduction to Graduate Algorithms de Georgia Tech e implementé todo en Python. Fue una clase realmente buena. Enlace

• Entiendo la transformada de Fourier hasta cierto punto, y mucha gente la cubre. También estaría bien que cubrieran la transformada de Laplace. La usé para analizar circuitos electrónicos, pero ahora la olvidé. Enlace

• La animación de epiciclos fue de gran ayuda para entender la representación compleja de las series de Fourier. Esta publicación supera por mucho esa página. Pienso compartirla con otras personas en el futuro.

• Este tutorial es excelente para usarse junto con un libro de texto. Me gustaron las animaciones y las animaciones interactivas. Eso sí, necesita corrección.

• Gracias por los excelentes ejemplos y el gran sitio web. Es fácil interactuar con este sitio, pero la mayoría de los sitios de noticias estáticos hacen que el navegador se bloquee con frecuencia.

• Hay una gran introducción al procesamiento de señales. La recomiendo a quienes disfrutan las visualizaciones. Enlace

• También hay otros trabajos geniales de esta persona. Enlace