Un avance decisivo para revelar la estructura oculta de los números primos

 (science.org)
1 puntos por GN⁺ 2024-08-02 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • El preprint del 31 de mayo de James Maynard y Larry Guth descarta ciertas excepciones específicas a la hipótesis de Riemann, logrando el primer avance en décadas sobre un problema de 165 años para encontrar la estructura oculta en la distribución de los números primos
  • El objetivo central son los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, conectados directamente con la comprensión del error entre la estimación de Gauss para la cantidad de primos y la distribución real de los primos
  • Las computadoras han verificado que más de 10 billones de ceros tienen todos parte real 1/2, pero lo que los matemáticos quieren no es una validación empírica, sino una prueba de que cualquier otra ubicación es imposible
  • Este resultado reduce la cota superior del número de ceros en el punto 3/4, que no había mejorado desde Albert Ingham en 1940, y rompe una barrera antigua al combinar teoría analítica de números con análisis armónico
  • Aunque una prueba completa de la hipótesis de Riemann sigue estando lejos, esto podría conducir a nuevas herramientas para estimar la cantidad de primos en intervalos más cortos y abordar otros problemas de teoría de números

La hipótesis de Riemann para descifrar la distribución de los primos

  • Todo número natural puede descomponerse como producto de números primos, que solo son divisibles por sí mismos y por 1, y los matemáticos han tratado de entender cómo están ubicados esos primos en la recta numérica
  • A primera vista, los primos parecen bastante aleatorios, pero se cree que existe una estructura oculta en ellos
  • Durante los últimos 165 años, en el centro de la búsqueda de esa estructura ha estado la hipótesis de Riemann
    • Si se demuestra, podría funcionar como una especie de Piedra de Rosetta para descifrar los primos
    • Está asociada al premio de 1 millón de dólares del Clay Mathematics Institute

La estimación de Gauss y los ceros de la zeta

  • Carl Friedrich Gauss observó a finales del siglo XVIII, cuando tenía 16 años, que los primos se vuelven más escasos a medida que crecen, y estimó que la cantidad de primos menores o iguales que X escala aproximadamente como X / ln X
  • Esta estimación ha encajado muy bien con la cantidad real de primos, que oscila ligeramente por encima y por debajo de esa curva
  • En 1859, Bernhard Riemann intentó abordar la diferencia entre la curva de Gauss y la distribución real de los primos mediante la función zeta de Riemann
    • Esta función toma como entrada números complejos, que tienen componentes reales e imaginarias
    • Los ceros de la zeta, donde la función zeta de Riemann se hace 0, describen directamente las fluctuaciones del error alrededor de la curva de Gauss

La restricción que exige la hipótesis de Riemann

  • La hipótesis de Riemann predice que, salvo algunas soluciones triviales que aparecen para entradas negativas, la parte real de la entrada de todos los ceros de la zeta debe ser 1/2
  • Si la hipótesis es cierta, las fluctuaciones en la cantidad de primos quedan acotadas, lo que implica que no hay grandes acumulaciones ni grandes vacíos en la distribución de los primos sobre la recta numérica
  • Hasta ahora, las computadoras han examinado más de 10 billones de ceros no triviales de la zeta, y todos estaban exactamente sobre la línea de parte real 1/2
  • Pero la verificación empírica por sí sola no basta
    • Maynard considera que una prueba no solo confirmaría que es cierta, sino que permitiría entender por qué lo es y daría nuevas técnicas poderosas para trabajar con los primos
    • Todavía no existe ni siquiera una vía de ataque convincente para demostrar la hipótesis de Riemann

La brecha estrecha a la que apunta este resultado

  • Como los matemáticos no han podido demostrar directamente toda la hipótesis de Riemann, han dividido el problema reduciendo las regiones donde los ceros de la zeta no pueden existir
  • Los ceros no triviales de la zeta ya están confinados entre 0 y 1
  • Además, existe una simetría especular alrededor de 1/2, así que si se descartan ceros en el punto 3/4, también se descartan en el punto 1/4
  • Las técnicas previas funcionaban mejor entre 1/2 y 3/4, o entre 3/4 y 1, pero seguía abierta la posibilidad de que muchos ceros estuvieran ocultos en 3/4
  • La mejor cota conocida del número de ceros que podían ubicarse en 3/4 provenía del matemático británico Albert Ingham en 1940, y desde entonces nadie había logrado mejorarla

El enfoque de Maynard y Guth

  • Maynard es un matemático especializado en teoría analítica de números, recibió la Fields Medal en 2022, y durante la última década volvió una y otra vez a este problema cada viernes por la tarde sin obtener resultados
  • En una reunión de la American Mathematical Society en 2020, Maynard pidió ayuda a Larry Guth, del MIT, especialista en análisis armónico
    • El análisis armónico se relaciona con técnicas inspiradas en la física, como separar un sonido en los tonos que lo componen
    • Guth también se aferró al problema durante varios años y, justo antes de rendirse, encontró junto con Maynard el avance decisivo
  • Ambos tomaron estrategias prestadas de sus respectivos lenguajes matemáticos e intercambiaron ideas por correo electrónico hasta altas horas de la noche, rompiendo de forma poco convencional la cota de Ingham

Posibles consecuencias para toda la teoría de números

  • Maksym Radziwill considera este trabajo como la primera idea nueva en 50 años en la búsqueda de los ceros de la zeta, y cree que una zona largamente estancada podría volver a moverse
  • La cota mejorada casi no ayuda a demostrar toda la hipótesis de Riemann, pero podría influir en la teoría de números en general
    • Los matemáticos podrían estimar mejor la cantidad de primos en intervalos más cortos
    • Radziwill cree que la nueva estrategia podría ayudar a simplificar trabajos previos suyos relacionados con sistemas dinámicos
    • También podría ayudar con el problema de Kakeya
    • Guth está interesado en usar esta idea para explorar la profunda relación entre la física de las ondas y la distribución de conjuntos de números

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2024-08-02
Opiniones de Hacker News

  • Es información de mayo, y Quanta ya publicó un mejor artículo al respecto que también se discutió aquí
    https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-ne...

  • Imagino que este descubrimiento conduzca a un avance mayor sobre los números primos, haciendo fácil la factorización en primos de enteros grandes y dejando inutilizable de la noche a la mañana la criptografía de clave pública como RSA
    Si cualquiera pudiera romper claves de tamaño real de producción incluso con una CPU de consumo, ¿tendría la industria planes de recuperación ante desastres para una situación así? ¿Podrían las grandes empresas migrar rápidamente a otros sistemas criptográficos que no se hayan roto? Para los desarrolladores de jailbreaks, modders de consolas y la gente de la “libertad de los dispositivos” sería un día celestial, pero el impacto total sería catastrófico y difícil de dimensionar
    Me pregunto si la industria no considera una ruptura repentina en teoría de números como un evento posible

    • En RSA eso ya pasó varias veces
      Hubo una época en que el gobierno de EE. UU. restringía la exportación de claves RSA largas, y en un momento buena parte del mundo usaba claves RSA de 128 bits, hasta que el método de Dixon obligó a migrar rápidamente a claves de 512 bits. Después, por la criba de cuerpos de números especial (special number field sieve), se subió de prisa a 1024 bits; y por la criba de cuerpos de números general (general number field sieve), otra vez a 2048 bits. Y, relativamente, no fue hace tanto
      Si miras hardware de cifrado RSA de los años 80, hay equipos que presumen procesar 512 bits. Hoy no sirven de nada
      https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/pubs/Riv84.pdf
      Las fórmulas de complejidad de las cribas de cuerpos de números especial/general difieren solo en algunas constantes, y al ver esas constantes me pregunto si realmente parecen un límite fundamental. Me cuesta mucho creer que no exista una forma de reducir más esas constantes y volver inútiles incluso las claves de 2048 bits
      No hace falta preguntar “qué pasaría si RSA se rompe”. Quienes ya hemos pasado por esto varias veces podemos decir de inmediato que habrá carreras para aumentar otra vez el tamaño de las claves y auditorías de todos los datos que podrían haberse filtrado
    • Si se descubre una forma de factorizar fácilmente enteros grandes en hardware de consumo, sería muy doloroso, porque RSA es uno de los principales algoritmos de clave pública
      Pero antes de preocuparse conviene recordar que RSA ha resistido 47 años de criptoanálisis activo. En ese tiempo se propusieron muchos algoritmos alternativos supuestamente superiores, pero muchos fueron rotos poco después
      El impulso por migrar a algoritmos de curva elíptica se debe sobre todo a que las computadoras pueden manejar el cifrado/descifrado con más facilidad
      Personalmente, si tuviera que apostar por un algoritmo de clave pública que seguirá existiendo dentro de 10 años, apostaría por RSA
    • Parece que en este punto entra la migración a curvas elípticas, y tanto las firmas como los handshakes (Diffie-Hellman) ya están bastante avanzados
      La recuperación ante desastres no sería una tarea de 1 minuto, pero aunque RSA/DH dejara de ser seguro de la noche a la mañana, no creo que todo quedara simplemente expuesto. Mis claves SSH actuales ya mezclan varios métodos
    • La industria ni siquiera estuvo preparada para una mala actualización de CrowdStrike, pero aun así logró estabilizar la situación después de unos días
      Creo que se sobreestima la capacidad de prepararse para escenarios catastróficos y se subestima la capacidad de sobrevivir a ellos
    • Hay una perspectiva según la cual descubrir factorización rápida es extremadamente raro. Como muchísima gente inteligente lo ha estudiado, por ahora probablemente sea imposible; aunque ese argumento en sí podría ser una debilidad
      Este riesgo es tan real como el de que una gran tormenta solar derribe la red eléctrica y, por retrasos en la fabricación de transformadores y falta de inventario, tengamos una recuperación de varios años casi como en la Edad de Piedra. Pero desde esa perspectiva parece demasiado pequeño y teórico como para dedicarle mucho tiempo
      En cuanto a los planes, no sé si simplemente cambiar a ECC sea tan fácil. El cifrado asimétrico real con ECC depende de un secreto compartido, y si suponemos que RSA está roto y el canal de intercambio no es seguro, podría ser más vulnerable que RSA a ataques de intermediario. No parece un reemplazo sencillo
      Por separado, también existe la posibilidad de que RSA ya esté roto y que la solución se mantenga en secreto por agencias de criptoanálisis. Para ellas sería muy atractivo ocultar el avance, y quizá intenten encontrar formas de suprimir una “ruptura repentina en teoría de números”

  • La gente siempre piensa que la estructura de los números primos es compleja, pero en realidad la veo como una estructura recursiva de tamaños de intervalo que no han sido alcanzados por múltiplos de los intervalos anteriores.
    Eso no significa que sea fácil “predecir” sin rastrear todos los intervalos previos, pero en esencia no es una estructura compleja. Es interesante que una estructura tan simple sea tan difícil de captar. Se parece a cómo la sucesión 3n+1 genera complejidad, o cómo el mapa logístico se vuelve complejo al superar un umbral.

    • Un generador que produce “todos los primos” es bastante simple y determinista.
      Pero si solo se te da el primo n y quieres obtener el siguiente primo, tienes que volver a calcular residuos no triviales, así que la representación binaria del número n por sí sola no contiene información suficiente para responder rápido cuál es el siguiente primo. Primero hay que precalcular algunos puntos de referencia. Al final sí hay más complejidad, pero sigue siendo algo simple y bastante evidente, y ni siquiera es un problema que entre en NP.
    • Ah, claro. Nada más simple que proporcionar la teoría básica de teoría de números, una de las áreas más rigurosas e intelectualmente intimidantes de las matemáticas /s
    • Me pregunto por qué esto no se considera un problema resuelto.
      https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory
      https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_irreducibility
      https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling

  • Me resulta alentador el pasaje: “En sesiones dedicadas de reflexión los viernes por la tarde, volvió a este problema una y otra vez durante la última década, sin resultados”.

    • Recuerdo que Richard Hamming también solía reservar las tardes de los viernes para pensar en profundidad y a lo grande. Es una gran forma de hacerlo.

  • Si dibujas la curva de Gauss y la curva de Riemann en cierto espacio, aparece algo todavía más mágico.
    Para ver a qué se refiere lo de los ceros triviales y no triviales, mira esta animación de Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_I...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_Im_1_to_51.ogg)
    Básicamente, creo que sugiere que hay otra relación entre los números reales y los imaginarios que aún no hemos descubierto.
    Y como las matemáticas de Riemann intervienen en la mecánica cuántica, esto también tiene implicaciones para la búsqueda de una teoría de la gravedad.
    Que los números primos estén, o puedan estar, involucrados en una teoría de la gravedad se siente como ciencia extraña.

  • Me intriga la expresión “finalmente hicieron algunas jugadas poco ortodoxas para romper la cota de Ingham”.
    ¿Por qué tomar métodos de otro campo sería poco ortodoxo? Desde una formación en ingeniería, más bien es algo común. El análisis armónico es una herramienta básica en audio, ondas, análisis eléctrico, estadística y muchas otras áreas, y sus algoritmos internamente son matemática pura.
    Si quieres encontrar estructuras repetitivas en algún sistema de bases, lo normal sería probar varias técnicas de representación gráfica y elegir la que mejor se ajuste al problema, ¿no?

    • No leo la cita como si dijera que lo poco ortodoxo del enfoque fuera simplemente haber usado ideas del análisis armónico. Usar análisis armónico en teoría de números no es algo nuevo en absoluto.
      En el primer curso de teoría analítica de números, la idea central —y también la idea central del famoso artículo de Riemann de 1859— puede describirse como “análisis armónico”. No es casualidad, ya que Riemann fue un pionero del área: https://old.reddit.com/r/math/comments/16bh3mi/what_is_the_b...
      La gran corriente más activa hoy en teoría de números también es, en esencia, análisis armónico “de alta dimensión” sobre cuerpos numéricos: https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form, https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program. El caso unidimensional que el programa de Langlands busca generalizar es https://en.wikipedia.org/wiki/Tate%27s_thesis, también conocido como “análisis de Fourier sobre cuerpos numéricos”, y es una de las ideas más importantes de la teoría de números del siglo XX.
      Entre las referencias del artículo de Guth-Maynard también está el libro de 1994 H. Montgomery, Ten Lectures On The Interface Between Analytic Number Theory And Harmonic Analysis, No. 84. American Mathematical Soc., 1994. Ya en 1994 había diez conferencias completas sobre esa intersección, y por la cantidad de citas de ese libro se ve que había muchas más conexiones. Yo mismo cité ese libro en más de la mitad de mis artículos.
      Lo sorprendente no es el simple hecho de que usaran análisis armónico, sino dónde y cómo lo aplicaron. Esa es la parte que de verdad es imposible transmitir a un público general, así que no culpo a quien escribió el artículo.
      Suena como decir “¿por qué es sorprendente crear una conexión?”, pero los avances a menudo vienen de conexiones nuevas, y que esos avances ocurran de vez en cuando no significa que una conexión nueva deje de ser sorprendente.
    • “Poco ortodoxo” quizá sea una expresión algo fuerte, pero probablemente lo que quieren decir es que aplicaron una técnica existente de otro campo de una manera nueva.
      En matemáticas, avances importantes surgen bastante a menudo cuando alguien reconoce un paralelismo entre dos áreas que en apariencia no tienen relación, y usa ideas de una de ellas como intuiciones para la otra.
      La parte difícil es que esas conexiones entre áreas normalmente no son evidentes. Ver la similitud puede requerir un salto considerable de comprensión.
    • Es una expresión un poco graciosa. Es solo un periodista escribiendo como periodista.
      También se podría decir que todo descubrimiento en matemáticas contiene cierta jugada “poco ortodoxa”. Al fin y al cabo, lo ortodoxo es todo lo que se conocía hasta ahora.

  • De la frase “A primera vista parece bastante aleatorio. Pero en realidad se cree que dentro de los números primos existe este tipo de estructura oculta”, me da curiosidad cómo sería un patrón de primos hipotético
    ¿Se espera algo como una fórmula de forma cerrada? Si se demostrara la hipótesis de Riemann, ¿cuál sería el siguiente paso para entender la distribución? ¿O se espera que la demostración misma contenga esa respuesta?

  • Cada vez que escucho hablar de James Maynard, se refuerza más la idea de que es un genio de esos que aparecen una vez por generación
    Ya ha hecho demasiados aportes a la teoría de números primos, y siento que quizá llegue a ver una demostración de la hipótesis de Riemann en mi vida

  • Es la primera vez que veo esa imagen, y como es tan envolvente me dio curiosidad. ¿El patrón que aparece al dibujar los números primos en un gráfico de coordenadas polares es un descubrimiento reciente, o se conoce desde hace mucho y solo se usó como ilustración? Me intrigan su nombre y su historia

  • Es un poco tangencial, pero esta frase me hace pensar en aspectos que abordan los demostradores automáticos y que quizá todavía ni hemos empezado a considerar
    “Alex Kontorovich, matemático de Rutgers University, dice: ‘Es un avance sensacional. Esta demostración contiene un montón de ideas nuevas que la gente va a extraer durante los próximos años’”
    A menudo, la demostración de algo resulta más interesante no tanto como un medio para aportar rigor, sino como una nueva perspectiva para mirar ese objeto. Me pregunto si en matemáticas automatizadas ha habido trabajos en esa línea