Por qué Gauss quería un heptadecágono regular en su lápida

 (scientificamerican.com)
1 puntos por GN⁺ 2024-09-18 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • Johann Carl Friedrich Gauss, a los 18 años, demostró la constructibilidad del polígono regular de 17 lados, dando una respuesta decisiva a un problema de geometría antigua que llevaba sin resolverse más de 2,000 años
  • La raíz del problema estaba en las construcciones con compás y regla de Euclides, donde la cuestión central era si una figura podía construirse realmente usando solo una regla sin marcas y un compás
  • Euclides construyó el triángulo regular, el cuadrado, el pentágono regular y sus extensiones, pero figuras como el heptágono regular y el endecágono regular permanecieron sin resolver durante mucho tiempo
  • En lugar de dibujar directamente la figura, Gauss demostró la constructibilidad del polígono regular de 17 lados al expresar la longitud necesaria, cosine(2π/17), usando solo las operaciones algebraicas permitidas
  • Más tarde, con la demostración rigurosa de Pierre Wantzel, fue posible distinguir qué polígonos regulares son construibles y cuáles no lo son

La figura que Gauss quería dejar en su lápida

  • Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) consideraba la demostración del polígono regular de 17 lados como uno de sus logros matemáticos más orgullosos
  • Con apenas 18 años, resolvió con esta figura un problema clásico que había frenado a los matemáticos durante más de 2,000 años
  • El problema conectaba la geometría antigua, orientada a construir figuras reales, con una perspectiva moderna centrada en analizar las ecuaciones que gobiernan esas figuras

Las construcciones con compás y regla en la antigua Grecia

  • En la geometría griega antigua, construir figuras era casi un juego riguroso que debía hacerse solo con regla sin marcas y compás
  • El compás sirve para dibujar, dados dos puntos, un círculo centrado en uno de ellos que pase por el otro, y la regla sirve para trazar la recta que une dos puntos
  • Ninguna de las dos herramientas tiene marcas, así que no se pueden medir directamente distancias ni ángulos
  • Estas reglas provienen de los Elements de Euclides, del siglo III a. C.
  • En vez de asumir la existencia de una figura, Euclides intentaba construirla explícitamente con materiales simples como líneas y círculos

Bisección de un segmento y triángulo equilátero

  • Si se tienen dos puntos A y B, al dibujar un círculo centrado en A que pase por B y otro centrado en B que pase por A, ambos círculos se cruzan en dos puntos
  • Si se unen con una regla esos dos puntos de intersección, se obtiene una recta que biseca exactamente el segmento AB
  • La misma construcción también produce un ángulo recto entre dos líneas, algo nada trivial con herramientas tan limitadas
  • Conectando algunos puntos más, se puede construir un triángulo equilátero en el que todos los lados y todos los ángulos son iguales
    • Cada lado del triángulo equilátero es un radio de círculos del mismo tamaño, así que las tres longitudes son iguales
    • Esto corresponde a la primera proposición del Libro I de los Elements de Euclides

El estancamiento en la construcción de polígonos regulares

  • Entre las figuras que pueden hacerse con compás y regla, los polígonos regulares ocupan un lugar especial
  • Un polígono es una figura cerrada por lados rectos, y un polígono regular tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales
  • Construir cualquier triángulo es fácil, pero los polígonos regulares con simetría perfecta, como el triángulo equilátero, exigen construcciones más refinadas
  • Euclides sabía cómo construir el triángulo regular, el cuadrado y el pentágono regular
  • Además, podía duplicarse el número de lados de un polígono regular ya construido
    • El triángulo regular puede extenderse a hexágonos regulares, dodecágonos regulares, etc.
    • El cuadrado puede dar lugar a octágonos regulares, hexadecágonos regulares, etc.
    • El pentágono regular puede ampliarse a decágonos regulares, icoságonos regulares, etc.
  • Euclides también mostró cómo “multiplicar” el triángulo regular y el pentágono regular para obtener un polígono regular de 15 lados
  • Sin embargo, no se sabía si el heptágono regular y el endecágono regular podían construirse usando solo compás y regla, y ese vacío permaneció durante 2,000 años

El giro algebraico de Gauss

  • Hasta 1796 no se añadió ningún nuevo polígono regular construible, pero los matemáticos llegaron a entender con mayor profundidad las construcciones con compás y regla
  • Gauss sabía que la construcción de un polígono regular podía reducirse al problema de construir un segmento de cierta longitud
  • Para construir el polígono regular de 17 lados, basta tomar un punto A en el círculo unitario y construir un punto B desplazado exactamente 1/17 de la circunferencia
  • Si se puede construir el punto B, la misma operación puede repetirse alrededor de toda la circunferencia, y al unir los puntos con una regla se obtiene el polígono regular de 17 lados
  • En última instancia, la clave es si puede dibujarse un segmento de longitud x, donde x = cosine(2π/17)

Longitudes construibles y cinco operaciones

  • En la época de Gauss ya se conocía el criterio para determinar qué longitudes pueden construirse con compás y regla
  • Una longitud es construible exactamente cuando puede expresarse a partir de enteros usando solo suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada
  • Por ejemplo, √(99/5) es construible porque se obtiene aplicando división y raíz cuadrada a 99 y 5
  • En cambio, π y la raíz cúbica de 2 no pueden expresarse usando solo esas cinco operaciones, así que no son construibles
  • Las acciones permitidas por las herramientas de construcción de la antigua Grecia encajan con las operaciones naturales del álgebra moderna
  • Esto se debe a que las ecuaciones de líneas rectas y círculos usan solo esas cinco operaciones, una perspectiva que habría sido difícil de imaginar para el Euclides anterior al álgebra

La demostración del polígono regular de 17 lados y su clasificación

  • Gauss en realidad no dibujó el polígono regular de 17 lados
  • En cambio, demostró que la longitud necesaria, cosine(2π/17), puede expresarse usando solo las cinco operaciones algebraicas permitidas por compás y regla, y con ello probó que la figura es construible en principio
  • La expresión es compleja y muestra cuánto esfuerzo dedicó el joven Gauss a este problema
  • Más aún, Gauss caracterizó qué polígonos regulares son construibles y cuáles son imposibles de construir
  • En 1837, Pierre Wantzel presentó una demostración rigurosa que mostraba que la clasificación de Gauss no dejaba casos fuera
  • Como resultado, el heptágono regular y el endecágono regular no pueden construirse solo con compás y regla, y existen infinitas figuras imposibles por el mismo método

No quedó en la lápida, pero sí en un monumento

  • Según el biógrafo G. Waldo Dunnington, Gauss se sentía muy orgulloso de haber resuelto un problema milenario y le dijo a un amigo que quería que se marcara un polígono regular de 17 lados en su lápida
  • En la lápida real no se grabó el polígono regular de 17 lados
  • En cambio, en la parte posterior de un monumento en Brunswick, Alemania, ciudad natal de Gauss, aparece grabada una estrella de 17 puntas
  • El cantero eligió la forma de estrella porque pensó que la gente no distinguiría entre un polígono regular de 17 lados y un círculo

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1 comentarios

 
GN⁺ 2024-09-18
Comentarios de Hacker News

  • Han pasado 200 años desde Gauss y, aunque las matemáticas han avanzado muchísimo, todavía no se sabe cuál es, en teoría, el polígono regular de número impar de lados más grande que puede construirse al estilo euclidiano
    Como dato extra para quien tenga curiosidad, la respuesta se reduce a combinaciones de múltiplos de primos de Fermat, y nadie sabe si existen primos de Fermat después de 3, 5, 17, 257 y 65537. Referencia: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

  • Hay una excelente serie de 2 videos en YouTube sobre esta demostración
    El problema de los polígonos regulares construibles y un resumen de la demostración: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    La explicación completa de la demostración: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw

    • Aprendí la construcción de esta figura en un video de Numberphile hace unos años: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      Al final aparece la construcción usada en lugar del número del edificio al frente del Mathematical Sciences Research Institute (MSRI), en UC Berkeley 17 Gauss Way

  • Me parece interesante la idea de que “solo las longitudes que pueden expresarse aplicando suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada a enteros pueden construirse con exactitud”
    La perspectiva es que la regla y el compás de los griegos antiguos coinciden exactamente con las operaciones naturales del álgebra moderna, +, –, ×, / y √, porque las ecuaciones de rectas y círculos solo usan esas cinco operaciones. Relacionado: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    • Me pregunto por qué la raíz cuadrada tiene ese estatus especial y no otras potencias fraccionarias

  • Le recomendaría a cualquiera hacer algunas construcciones con compás y regla por su cuenta. Puede ser una actividad bastante satisfactoria y meditativa
    Oliver Byrne hizo una edición en color increíblemente hermosa de los Elements de Euclides, y se puede ver en línea. Solo hace falta preparar pluma, papel, una cuerda para trazar círculos y el borde de un libro para dibujar líneas rectas, y empezar desde la Proposición 1 hasta donde uno quiera: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    También existe una reproducción física de la edición de Byrne de Elements (ISBN:9783836577380). Ha sido una de las mejores adiciones a mi biblioteca, y de verdad es hermosa

  • Me pregunto si de verdad hay una estrella de 17 puntas en la parte de atrás de la tumba de Gauss. No encuentro fotos en línea

    • La tumba de Gauss sí tiene en realidad un círculo[1]. Gauss quería un heptadecágono, pero el cantero que hizo la lápida decidió que un círculo se parecía lo suficiente y que el polígono de 17 lados era demasiado difícil, así que simplemente grabó un círculo
      O sea, una persona que bien podría ser considerada el mejor matemático de la historia[2] quiso un homenaje específico para conmemorar un logro que consiguió de adolescente y que resolvía un problema sin solución durante más de 2000 años, y alguien básicamente no lo hizo por flojera. Toda la historia, junto con la construcción completa, se cuenta bien aquí: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
      [1] Foto: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
      [2] Mi voto sería por Euler, pero mucha gente elegiría a Gauss
    • En la tumba (https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...) no está. Sí hay una estrella de David, pero no encontré nada que dijera que Gauß fuera judío
      En cambio, sí existe una estatua con esa estrella: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
    • Si ves el final del artículo, dice que no

  • Lo interesante de este resultado es que muestra cómo el álgebra, desarrollada a lo largo de cientos de años, vuelve para mejorar la geometría euclidiana
    Si no tuviera contexto, creo que ni siquiera sabría por qué este problema es interesante. La motivación se parece bastante al programa de Langlands

  • Si uno lee solo la mayoría de los textos de matemáticas, puede dar la impresión de que los matemáticos medievales no aportaron nada
    Curiosamente, los autores nunca dejan de mencionar las contribuciones de matemáticos griegos como Euclides, pero en este caso saltan casi mil años de manera conveniente e ignorante para pasar directo a matemáticos posrenacentistas como Gauss, que es el protagonista

    • Ese fenómeno puede explicarse al menos en parte por la caída del Imperio romano de Occidente y el caos relativo posterior en Europa central y occidental
      Durante ese lapso de unos mil años, quienes llevaron la delantera fueron matemáticos de India y Medio Oriente, y figuras como Āryabhaṭa, Brahmagupta y Al-Khwarizmi hicieron aportes importantes a la comprensión moderna de las matemáticas

  • Está realmente interesante, pero quisiera preguntarle a alguien que conozca mejor la demostración de Gauss: ¿por qué el pentágono sí puede construirse con compás y regla, pero el heptágono o el endecágono no? ¿Qué hace que algunos números primos sí funcionen y otros no?

  • En el caso de 17, Gauss descubrió que cos(360°/17) puede expresarse usando solo operaciones básicas: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
    Más tarde demostró que todo polígono regular de n lados con n=2^k*p_1…*p_r y donde p_i son primos de Fermat (primos de la forma 2^(2^m)+1; actualmente solo se conocen 3, 5, 17, 257 y 65537) es construible. La dirección inversa, es decir, que todos los demás n no son construibles, no se demostró sino hasta unos años después. Basta con buscar el “teorema de Gauss-Wantzel”. Solo hojeé la demostración, pero parece generalizar con teoría de Galois la idea de construir el coseno de un ángulo. Edición: o también ver https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

    • Se puede dar una explicación muy rápida e incompleta, pero hay que seguirla con confianza
      En los números complejos, los vértices de un pentágono satisfacen z^5-1=0. Esto puede factorizarse como (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0, y la parte difícil es resolver z^4+z^3+z^2+z+1=0
      Esta ecuación ya no se factoriza más y su grado es 4. Las soluciones tienen cierta propiedad relacionada con el grado de la ecuación, y aquí importa que esa propiedad sea 4
      Con compás y regla solo pueden resolverse ecuaciones de grado 2, es decir, algo equivalente a sacar raíces cuadradas. Al repetir esto, se pueden resolver algunas ecuaciones de grado 4. Por eso, con algunos trucos, se puede resolver la ecuación y dibujar el pentágono
      En el caso de 17, la ecuación es z^16+z^15+...+z+1=0. Así que la propiedad es 16 y hay que usar raíces cuadradas varias veces. Cada vez la propiedad de la solución se duplica: 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. En la fórmula al final del artículo se ven muchas raíces cuadradas anidadas y repetidas
      En el caso de 7, la ecuación es z^6+z^5+...+z+1=0. La propiedad de las soluciones es 6. Como con raíces cuadradas solo se puede duplicar la propiedad, se avanza 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., pero nunca se llega a una solución cuya propiedad sea 6
      Hay más detalles técnicos. Por ejemplo, para construir el heptadecágono sí pueden resolverse algunas ecuaciones de grado 16, pero no todas las ecuaciones de grado 16
    • Tiene que ver con los primos de Fermat
    • Si te interesa y tienes tiempo, vale la pena ver dos videos relacionados del canal de YouTube Another Roof[1]
      No te sorprendas si son bastante largos, porque dedica tiempo incluso a las partes sencillas para que el público general pueda entender relativamente bien las bases
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • En un video que publiqué en otro comentario lo explican de manera bastante accesible: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM

  • Nunca sentí que el heptágono fuera tan problemático
    No se puede hacer con exactitud, pero sí hasta la precisión que uno quiera. Al menos hasta chocar con los límites de precisión del compás y la regla
    1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768..., así que se llega rápido al límite de la precisión humana
    En general, 1/(2^n - 1) puede expresarse como una suma infinita, o una serie que se aproxima infinitamente. 1/(2^n - 1) = la suma de 1/(2 ^ (x * n)) para x desde 1 hasta infinito. Y todos saben cómo dividir la longitud de un arco en fracciones que son potencias de 2
    Si empiezas con un círculo completo, tomas la primera porción y luego vuelves a dividir la segunda porción para tomar la primera de nuevo, y así sigues agregando porciones pequeñas, te acercas lo suficiente a 1/7. Luego mides esa longitud con el compás y vuelves a dividir el resto; si haces suficiente recursión como para que, tras marcar 6 más, casi coincida con el punto inicial, no hay mucho de qué preocuparse
    Aun así, incluso llegar a una precisión de 1/4096 con compás y regla ya parecería sorprendente, y 1/32768 definitivamente nadie lo lograría

    • Esto también me recuerda otra afirmación que creo que es incorrecta, pero por la razón opuesta
      La afirmación de que la curva de Hilbert cubre todo el cuadrado, cuando el cuadrado contiene todos los puntos acotados de la forma [real, real]. Pero en la construcción racional del generador recursivo de vértices, uno de los dos valores de cada par de coordenadas necesariamente tiene que ser racional. Solo que con un denominador de la forma una potencia entera infinita de 2
      Incluso si cubriera todo [real, racional] + [racional, real], que de hecho tampoco lo hace, aun así no alcanzaría todo [real, real]
      En la práctica, el 100% del plano no está sobre la curva y, al mismo tiempo, el 100% del plano está a una distancia infinitesimal de la curva
      Me parece más interesante verlo así que decir que todo está contenido en ella. Porque en realidad no lo está
    • Sí se puede hacer así, pero aquí lo que se busca es una construcción exacta
      Si permites series infinitas, puedes aproximar cualquier cosa con series de Taylor
    • El heptágono no es “construible”, pero sí es fácil de dibujar. Jugué con esto en la universidad
      Basta con encontrar un segmento de longitud 2*sin(π/7) del radio. Su valor es 0.86777, y al cuadrarlo da 0.7530, bastante cerca de 0.75, es decir, 1 - (1/2)^2
      Así que, si construyes un triángulo cuya altura sea la mitad del radio y cuya hipotenusa sea el radio, el otro lado será 0.8660. La diferencia con el valor real es menor que 0.001, así que es muchísimo más preciso de lo que yo podría dibujar con regla y compás