¿Por qué este gran matemático quería un polígono de 17 lados en su lápida?
- El matemático Gauss dejó muchos logros matemáticos
- Entre ellos, quería grabar un "heptadecágono regular" en su lápida
- A los 18 años, Gauss resolvió con un heptadecágono regular un problema que había atormentado a los matemáticos durante 2,000 años
Geometría de la antigua Grecia
- Los antiguos griegos sobresalían en geometría y se enfocaban en la construcción de figuras usando compás y regla
- El compás es una herramienta para trazar círculos con centro en dos puntos, y la regla es una herramienta para trazar líneas rectas
- Estas herramientas no pueden medir distancias ni ángulos
- Estas construcciones geométricas surgieron de los Elementos de Euclides
- Euclides intentó derivar toda la geometría a partir de un mínimo de supuestos
Ejemplo de construcción geométrica
- Cómo encontrar el punto medio de un segmento dado
- Se trazan círculos con el compás tomando como centro los dos extremos
- Si se unen con la regla los puntos donde se cruzan los dos círculos, se puede encontrar el punto medio
- Esta construcción no solo divide el segmento en dos partes iguales, sino que también forma un ángulo recto
- Conectando algunos puntos más, se puede construir un triángulo equilátero
Obstáculos
- Un polígono regular es una figura en la que todos los lados y ángulos son iguales
- Euclides descubrió cómo construir un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular
- También descubrió cómo duplicar la cantidad de lados de un polígono regular
- Sin embargo, no se podían construir el heptágono regular ni el endecágono regular
- Este problema permaneció sin resolverse durante 2,000 años
El rescate de las matemáticas en el siglo XVIII
- Hasta 1796 no se había descubierto ningún nuevo polígono regular construible
- Gauss redujo el problema de construir polígonos regulares al problema de construir segmentos de cierta longitud
- Para construir un heptadecágono regular, es necesario construir un segmento de longitud específica
- Esa longitud se expresa como x = cos(2π/17)
- Las longitudes que pueden construirse con compás y regla son aquellas que pueden expresarse con suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada
- Gauss demostró que el heptadecágono regular es construible
- Gauss determinó por completo qué polígonos regulares son construibles y cuáles no
- Demostró que el heptágono regular y el endecágono regular no pueden construirse
El legado de Gauss
- Gauss quería grabar un heptadecágono regular en su lápida
- Sin embargo, al final no fue grabado
- En el monumento a Gauss en Braunschweig, Alemania, está grabada una estrella de 17 puntas
Resumen de GN⁺
- A los 18 años, Gauss resolvió con el heptadecágono regular un problema que había permanecido sin solución durante 2,000 años
- Esto muestra la relación entre los métodos de construcción geométrica de la antigua Grecia y el álgebra moderna
- El logro de Gauss aclaró los límites de las figuras que pueden construirse con compás y regla
- Despierta la curiosidad matemática y ayuda a comprender la profunda conexión entre geometría y álgebra
- Proyectos con funciones similares incluyen Wolfram Alpha y GeoGebra
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