Las matemáticas aún no alcanzan a la genialidad de Ramanujan
(quantamagazine.org)- Las identidades de Rogers-Ramanujan y las identidades de partición que dejó Srinivasa Ramanujan siguen apareciendo repetidamente en varios campos de las matemáticas más de 100 años después, y continúan sirviendo como punto de partida para nuevas investigaciones
- A pesar de la pobreza y de la interrupción de su educación formal, Ramanujan comenzó a investigar en Cambridge a partir de su correspondencia con G.H. Hardy en 1912, y dejó miles de resultados antes de morir en 1920 a los 32 años
- Las identidades de Rogers-Ramanujan muestran una conexión inesperada entre particiones enteras sujetas a distintas condiciones, a través de una estructura en la que una compleja suma infinita resulta igual a un complejo producto infinito
- Hussein Mourtada y sus colegas encontraron la misma estructura al dividir en capas y contar el espacio de arcos de singularidades, y junto con Pooneh Afsharijoo están hallando nuevas identidades de partición en singularidades más complejas
- La fórmula para detectar números primos de Ken Ono, William Craig y Jan-Willem van Ittersum revela que aún queda una relación profunda sin explicar entre las particiones y la teoría multiplicativa de números
La persistencia de los problemas que dejó Ramanujan
- Srinivasa Ramanujan es visto como un símbolo del genio autodidacta
- Realizó gran parte de su trabajo aislado en el sur de India y vivió en una pobreza tan severa que a veces le costaba incluso conseguir comida
- En 1912, a los 24 años, envió cartas con sus resultados a varios matemáticos destacados; la mayoría lo ignoró, pero G.H. Hardy sí respondió
- Tras alrededor de un año de correspondencia, Hardy ayudó a Ramanujan a viajar a Inglaterra
- Antes de morir en 1920 a los 32 años, produjo miles de resultados elegantes y sorprendentes, muchos de ellos sin demostración
- Más de 100 años después, sus fórmulas siguen reapareciendo en áreas que parecen muy alejadas entre sí
- mecánica estadística y transiciones de fase
- teoría de nudos y teoría de cuerdas
- teoría de números y teoría de representaciones
- estudio de simetrías
- estudio de curvas y superficies en geometría algebraica
El origen de las identidades de Rogers-Ramanujan
- Desde la secundaria, Ramanujan leía textos avanzados e investigaba de forma independiente propiedades y patrones de los números
- En 1904 obtuvo una beca completa en el Government Arts College de Kumbakonam, pero la perdió en menos de un año por descuidar todas las materias excepto matemáticas
- Después se inscribió en otra universidad en Madras, pero no logró graduarse, y en 1912 seguía haciendo matemáticas mientras trabajaba como oficinista en el Madras Port Trust
- La carta que envió a Hardy contenía resultados sobre fracciones continuas
- Hardy recordaría después que aquellas fórmulas lo desbordaron por completo, y que si fueran falsas nadie habría podido imaginar expresiones así
- Esas fórmulas sin demostrar fueron lo que llevó a Hardy a ofrecerle a Ramanujan una beca en Cambridge
- Ramanujan intentó demostrar una afirmación general propia sobre fracciones continuas, pero nunca logró probar dos proposiciones necesarias
- Hardy y sus colegas tampoco pudieron demostrarlas
- Más tarde se descubrió que L.J. Rogers ya las había demostrado 20 años antes, aunque casi nadie les había prestado atención
- Con el tiempo, esas dos proposiciones pasaron a llamarse las identidades de Rogers-Ramanujan
La igualdad inesperada que muestran las identidades de partición
- Las identidades de Rogers-Ramanujan igualan, cada una, una compleja suma infinita con un complejo producto infinito
- Estas identidades revelan una conexión entre estructuras que parecen distintas, como la suma y la multiplicación
- Percy MacMahon advirtió que ambos lados de estas fórmulas podían interpretarse como maneras de contar particiones enteras
- Las particiones del entero 4 son 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1, para un total de 5
- El número de particiones del entero 200 es de casi 4 billones
- Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII la primera identidad de partición
- Para cualquier entero, el número de particiones cuyas partes son todas impares es igual al número de particiones cuyas partes son todas distintas
- La primera identidad de Rogers-Ramanujan muestra que, para un entero dado, dos condiciones completamente diferentes siempre producen la misma cantidad
- Un lado cuenta las particiones sin partes repetidas ni consecutivas
- El otro cuenta las particiones cuyas partes, al dividirse entre 5, dejan residuo 1 o 4
- Shashank Kanade considera especialmente extraño el hecho de que “¿por qué aparece el 5?”
Identidades que reaparecen una y otra vez en muchos campos
- A fines de la década de 1970, Rodney Baxter redescubrió las identidades de Rogers-Ramanujan desde la perspectiva de la mecánica estadística mientras construía un modelo simplificado de gas para entender las transiciones de fase
- En la misma época, James Lepowsky y Robert Wilson demostraron que estas identidades también aparecen en la teoría de representaciones
- Ese resultado ayudó a abrir un nuevo campo: la teoría de las álgebras de operadores de vértice
- Hoy esa teoría se usa en teoría de cuerdas
- También cumplió un papel importante en la demostración de la conjetura de “monstrous moonshine” en teoría de grupos
- En las décadas de 1990 y 2000, las identidades siguieron apareciendo en muchas otras áreas
- estudios sobre modular forms en teoría de números
- teoría de probabilidad relacionada con cadenas de Markov
- topología de polinomios usados para distinguir y clasificar nudos
- Los métodos de cada campo permitieron volver a demostrar estas identidades, y esas conexiones también llevaron a crear nuevas identidades
El estudio de Mourtada sobre singularidades y el espacio de arcos
- Hussein Mourtada se concentró en la geometría algebraica después del doctorado
- La geometría algebraica estudia figuras definidas por ecuaciones polinómicas, es decir, variedades algebraicas
- Una recta puede representarse como
x + y = 0, un círculo comox² + y² = 1, y una figura en forma de 8 comox⁴ = x² − y²
- Un punto donde una figura se cruza consigo misma, como en la forma de 8, es una singularidad
- Las singularidades de figuras que pueden dibujarse en papel son fáciles de ver
- Las singularidades de variedades algebraicas de alta dimensión son difíciles de visualizar
- En la década de 1960, John Nash estudió un objeto relacionado llamado espacio de arcos para entender mejor las singularidades
- Definió infinitas trayectorias cortas que pasan por un punto o una singularidad
- Al considerar juntas estas trayectorias cortas, se puede poner a prueba qué tan suave es la variedad en ese punto
- En la práctica, el espacio de arcos proporciona un conjunto infinito de ecuaciones polinómicas
- Bernard Teissier consideraba que Mourtada tenía experiencia especial para entender el significado de esas ecuaciones
- Aunque las ecuaciones son complejas, todavía conservan mucha estructura que gobierna sus propiedades
Rogers-Ramanujan redescubierto dentro de las singularidades
- Mourtada, Jan Schepers y Clemens Bruschek estudiaron el espacio de arcos de singularidades simples y dividieron ese espacio en capas
- Mientras contaba cuántos polinomios había en cada capa, Mourtada notó que la sucesión le resultaba familiar
- En 2010, al dividir en capas el espacio de arcos de una singularidad simple llamada fat point y contar cuántos polinomios había en cada una, encontró una estructura igual al lado de las sumas en las identidades de Rogers-Ramanujan
- Estaba contando particiones y otros objetos distintos, pero se dio cuenta de que en realidad contaba lo mismo
- Desde hacía tiempo se sabía que a cualquier partición podía asociársele una ecuación polinómica
- Cada pieza del espacio de arcos de Mourtada contenía solo un subconjunto particular de polinomios y, por tanto, un subconjunto particular de particiones
- Mourtada, Bruschek y Schepers demostraron que la estructura de su espacio de arcos podía explicarse mediante estas identidades
- Después de ese caso simple, Mourtada pasó más de una década ampliando el estudio hacia formas más generales
Afsharijoo y nuevas identidades de partición
- Pooneh Afsharijoo comenzó sus estudios de posgrado en Francia en 2015 bajo la dirección de Mourtada
- Ambos estudiaron singularidades más complejas y su espacio de arcos, y encontraron muchas identidades nuevas
- Afsharijoo también descubrió una extensión de las identidades de Rogers-Ramanujan
- La identidad original dice que el mismo número de particiones satisface dos condiciones muy distintas
- Afsharijoo encontró una tercera condición, ampliando así el alcance de una identidad de más de 100 años
- Actualmente, ambos investigadores representan la información del espacio de arcos mediante grafos formados por puntos y aristas
- Esto les permite aplicar herramientas de teoría de grafos
- Y les ayuda a encontrar más identidades nuevas de partición
Detectar números primos con identidades de partición
- En septiembre, Ken Ono, William Craig y Jan-Willem van Ittersum presentaron otra aplicación de las identidades de partición
- Crearon una fórmula para detectar números primos usando una función que cuenta particiones
- Si se introduce un número primo en la fórmula, el resultado es 0
- Si se introduce un número no primo, el resultado es positivo
- De este modo, puede seleccionarse el conjunto de los números primos dentro de todos los enteros
- Ono plantea como misterio que las particiones, siendo objetos ligados a la suma y al conteo, puedan detectar con exactitud una propiedad multiplicativa como la primalidad
- Usando la teoría de modular forms, encontraron que esta fórmula forma parte de una familia más amplia
- Existen infinitas funciones de este tipo para detectar primos
- El resultado impulsa a explorar una relación más profunda entre las particiones y la teoría multiplicativa de números
Por qué el legado de Ramanujan sigue expandiéndose
- George Andrews considera que la teoría de particiones es muy básica, y que contar y sumar aparece en casi todos los campos de las matemáticas
- Pero entender la naturaleza exacta de esas conexiones es difícil, y Ken Ono cree que obtener la perspectiva correcta es clave
- Para Shashank Kanade, el trabajo de Ramanujan no es un callejón sin salida que termina en una sola identidad, sino siempre la punta del iceberg
- Mourtada dice que Ramanujan podía imaginar cosas que alguien como él ni siquiera podría concebir
- Gracias al desarrollo de nuevos campos matemáticos, hoy los investigadores siguen encontrando nuevas identidades de partición que Ramanujan quizá habría descubierto solo con su intuición
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Fue una lectura interesante, y me llamó especialmente la atención que Ramanujan fracasara en varias materias fuera de las matemáticas porque no le interesaban
La sociedad y las normas esperan que los estudiantes aprendan diversas materias, pero para algunas personas esas materias pueden no resultarles interesantes en absoluto
Me pregunto cuánto genio se pierde por el trabajo de memorización para sacar A, soportando tareas y clases aburridas
La mayoría casi no recuerda el contenido de esas materias, y hasta los mejores estudiantes parecen quedarse, en general, en un rendimiento apenas superior al promedio
Alguien como Ramanujan, si no hubiera tenido una oportunidad afortunada, probablemente habría quedado enterrado en un mar de mediocridad, con su talento encerrado por las normas
Casi todas las personas extraordinarias sobre las que he leído parecen haber estado a punto de ser olvidadas hasta que encontraron una gran oportunidad y despegaron
Es bueno que la educación pública exponga a los niños a muchas materias, porque así pueden descubrir con qué encajan
El verdadero riesgo es no llegar a tener contacto con una materia en absoluto, y creo que la universidad es el lugar donde se estrecha la especialización
Si se optimiza la escuela para alguien como él, es muy probable que no funcione bien para los otros 99,999,999
Además, incluso para esa única persona es difícil acertar exactamente, y los valores atípicos extremos casi no ofrecen patrones generalizables
La educación ideal para un Ramanujan joven podría ser distinta incluso de la ideal para un Von Neumann joven
Idealmente, sería bueno dar a todos los niños una educación extremadamente personalizada, pero no es tan fácil como suena; y, en cierta medida, ya se intenta identificar e invertir en genios extremos
Sin embargo, en general hay mucha gente bastante promedio que afirma: “yo habría sido un genio, si no fuera porque el sistema reprimió mi creatividad”
Me cuesta creer que los niños verdaderamente geniales pasen más de 10 años de educación primaria y secundaria sin encontrar ninguna salida para expresar su creatividad, así que creo que los casos que se pierden no son muchos, o casi no existen
Pero no creo que eso sea aquello para lo que debamos optimizar
Para la mayoría de las personas, si no se las obliga en cierta medida a aprender incluso cosas que no les gustan, su empleabilidad puede caer mucho
Si te gustan la ingeniería o la ciencia, tienes suerte; pero si solo te interesan las artes y la literatura, tienes relativamente menos suerte
Para alcanzar cierto nivel, habría que aprobar un examen o demostrar habilidades específicas
Cada niño elegiría qué materias seguir y hasta qué nivel llegar, pero sería obligatorio esforzarse por elegir algo y avanzar al siguiente nivel
También se podría incentivar que exploren varias materias y alcancen al menos un nivel mínimo
Además, agruparía a los niños no por edad, sino por nivel en cada materia, y haría que niños de niveles ligeramente distintos entrenen juntos
Los niños de niveles más altos deberían ayudar a los de niveles más bajos, y los de niveles más bajos deberían aprender a respetar a los de niveles más altos
Este hilo muestra muy bien por qué en nuestra sociedad es difícil hablar de educación.
Cuando alguien intenta plantear un punto general o una observación meta, de inmediato llega una avalancha de anécdotas personales de lo que cada quien vivió en su proceso educativo y termina tragándoselo todo.
Puede que pase algo parecido con otros temas, pero no se me ocurre un caso en el que, apenas se menciona la escuela, aparezcan tan rápido anécdotas tan largas, detalladas y cargadas de emoción.
He estado pensando por qué la estructura educativa hace que la gente sienta tantas ganas de desahogarse, y en conjunto parece haber una fuerte incomodidad que perdura durante mucho tiempo.
Se parece a una relación abusiva: el trabajo emocional necesario para avanzar hacia una relación mejor, es decir, hacia otra estructura educativa, en algún momento se vuelve demasiado grande, y al final uno parece concentrarse solo en “aguantar”.
Dicho sea de paso, leí todo el texto y me gusta Ramanujan, pero después de conocer su existencia, las clases universitarias de matemáticas me parecieron tan alejadas de lo que él hacía que se volvieron mucho más difíciles.
Cuando se intenta escalar algo tan grande, hay que meter a las personas en cajas dentro del sistema, e inevitablemente se ignoran las diferencias pequeñas y detalladas entre seres humanos.
Pero, desde la perspectiva individual, esa forma de ignorar las pequeñas diferencias no funciona bien, y como esa parte toca el yo, uno agradece la oportunidad de hablar de la frustración.
A mucha gente en HN le gusta que, cuando aparece un artículo sobre un tema oscuro, en los comentarios surja alguien con experiencia real y converse al respecto; la educación es uno de esos temas raros en los que todos pueden ser esa persona.
Para ser claros, Ramanujan no fue producto del sistema educativo indio; al contrario, ese sistema fue bastante cruel y desalentador para él.
Fue un niño prodigio autodidacta de las matemáticas, y además de las dos conocidas grandes películas biográficas, varias series de TV en distintos idiomas de la India recalcan repetidamente este punto.
Estudió por su cuenta principalmente con Inequalities de G.H. Hardy y varios otros libros, que hoy están disponibles gratis con un clic.
Nadie impide estudiar matemáticas, y creo que si hay educación o no tiene poca relación con este asunto.
Cuando a eso se le suma la forma de medir la “calidad” docente, a veces el profesor promedio de escuela termina usando tácticas y metodologías cercanas a hostigar públicamente a los alumnos para lograr “resultados”.
Maestros y alumnos no pasan por un proceso en el que se elijan mutuamente, y tampoco hay procedimientos para manejar combinaciones especialmente malas.
Simplemente se les asigna y quedan atados unos a otros, y las fallas éticas de la docencia se muestran por todas partes.
Empezó con Why Don’t Students Like School de Daniel Willingham, devoró los artículos Ask the Cognitive Scientist de la American Federation of Teachers y los papers relacionados, conoció la teoría de la carga cognitiva a través del blog y el podcast de Greg Ashman, y siguió con las investigaciones de Dylan Wiliam y de Robert y Elizabeth Bjork.
Cuenta que, antes de darse cuenta, había leído más de 200 libros y papers, y que solía despertarse en plena noche con la cabeza hirviendo de ideas.
El verdadero MVP de la historia de Ramanujan es G.H. Hardy.
Leyó y tomó en serio la carta enviada por una persona desconocida del otro lado del mundo, que además desde la mirada de la época era tratada como “native”, y organizó incluso los recursos para llevarlo a Inglaterra.
Las otras personas a las que Ramanujan les escribió lo ignoraron todas, de manera comprensible.
Que haya muerto tan joven es una tragedia.
La corta vida de Ramanujan en sí misma fue una pérdida para el mundo, pero hace imaginar cuántos Ramanujan habrán sido ignorados por no tener un G.H. Hardy, y qué habrá pasado con los Ramanujan dentro del otro 95%.
Es interesante contrastar la actitud formativa con la que G.H. Hardy trató a Ramanujan con la actitud mezquina y traicionera con la que, décadas después, Arthur Eddington trató a Subrahmanyan Chandrasekhar.
Hay una discusión con muchos enlaces relacionados en https://news.ycombinator.com/item?id=41284239.
Él venía de una cultura con una tradición intelectual larga y rica.
Hay muchas cosas valiosas en el mundo, pero alguien tiene que encontrarlas e impulsarlas.
El pasaje “Esas proposiciones habían sido demostradas 20 años antes por L.J. Rogers, un matemático británico poco conocido… Rogers se conformaba con investigar en relativa oscuridad, tocar el piano, cuidar su jardín y dedicar su tiempo libre a diversas actividades” me resulta sagradamente inspirador.
Para muchos ingenieros de software en activo, también es un sueño de jubilación.
Las historias de matemáticos que, como Srinivasa Ramanujan, decían haber obtenido en sueños particiones e identidades complejas siempre resultan fascinantes
Es como si la mente accediera a un repositorio de conocimiento oculto
Me intriga qué impulsa estos saltos intuitivos
Me pregunto si el cerebro de Ramanujan procesaba patrones en silencio incluso durante el sueño, aprovechando una red neuronal por defecto que todavía nos cuesta entender, o si se trataba de una propiedad emergente de redes neuronales complejas, o quizá de un vistazo al inconsciente colectivo de Jung
Quisiera saber si los avances recientes en neurociencia, IA y psicología cognitiva explican cómo innovadores como Ramanujan acceden a intuiciones ocultas, o si todavía seguimos en el terreno de “el genio es misterioso”
Tanto en lo personal como en lo espiritual estaba obsesionado con las matemáticas, y las consideraba una expresión de lo divino
Por eso, es muy probable que gran parte de su memoria ya fuera matemática, y que incluso lo que le surgía al azar también fuera matemático
Incluso cuando estaba en India se comunicaba con otros matemáticos, leía artículos y enviaba trabajos a revistas; no era un ermitaño en una cueva
Creo que la afirmación de que simplemente obtenía resultados en sueños forma parte de la mitología que lo rodea
Por lo que he leído, hacía mucho trabajo arduo para derivar fórmulas, pero solo publicaba el resultado final, por lo que parecía que las invocaba de la nada
No habría podido enviarle a Hardy una carta del tamaño de un libro con todos los pasos para derivar esos resultados
En términos psicológicos estrictos, dice que cuando una persona “sabe”, eso significa que “descubre” o “revela”, y que cuando una persona “aprende”, “descubre” quitando la cubierta de su propia alma, que es una mina de conocimiento infinito
Al decir que Newton descubrió la gravedad, la explicación es que esta no estaba sentada en algún rincón esperando, sino que estaba dentro de su mente, y que llegado el momento la encontró
Dice que todo el conocimiento que ha recibido el mundo proviene de la mente, y que la biblioteca infinita del universo está dentro de la propia mente; el mundo exterior no es más que una sugerencia y una ocasión para que la mente se estudie
Cada vez que leo la historia de que Ramanujan recibió en sueños, como revelación divina, sus fórmulas, recuerdo este pasaje de Vivekananda sobre la conciencia y la mente
Además, en Mundaka Upanishad 2.2.9 hay un pasaje en el sentido de que “el Self oculto en todos los seres no se revela ni brilla, pero es visto por quienes perciben lo sutil con un intelecto agudo y fino”
La idea es que el conocimiento o la verdad últimos están ocultos en todos los seres y se revelan mediante una percepción interior delicada; que el conocimiento está latente en la mente y no se busca afuera, sino que se descubre
No es un fenómeno tan raro
Claro que esa solución podría ser un bucle
for, así que no lo estoy comparando con Ramanujan, pero no es algo extremadamente infrecuenteSi una persona accedió a ese tipo de conocimiento en sueños, también es una señal de que es posible
Ahora me pregunto cómo hacer que esto sea el valor predeterminado para todos
Como cuando en México se encontró una variedad de trigo resistente a bacterias y se la replicó por todo el mundo, me hace pensar si podría hacerse algo similar con los humanos
No me gusta del todo la expresión, pero espero que se entienda la idea
Para quienes quieran saber más sobre Ramanujan y su trabajo, hay varios recursos
Por cierto, en el artículo enviado George Andrews lleva puesta una corbata de Ramanujan
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Knew_Infinity
El artículo dice que un paper reciente[1] de una de las personas entrevistadas usa la función de partición de McMahon para pruebas de primalidad
Me pregunto cómo se compara su tiempo de ejecución con la prueba de primalidad AKS o con la más práctica BPSW[2]
También me pregunto si podría aplicarse a la criptografía práctica
La historia de Ramanujan es muy interesante, pero ojalá se conociera más ampliamente a más matemáticos y científicos indios.
Hay matemáticos como Harish Chandra, C. R. Rao, Manjul Bhargava y Narendra Karmakar; físicos como C. V. Raman, Satyendra Nath Bose y Meghnad Saha; y también figuras como Har Gobind Khorana y Venkatraman Ramakrishnan.
Algunos indios no reciben el reconocimiento que merecen, pero, si sirve de consuelo, tampoco hay muchos matemáticos o científicos “occidentales” que sean ampliamente conocidos.
No soy matemático ni físico, y a los demás no los conozco bien, pero sí sé que los indios hicieron grandes aportes a las matemáticas y la física, y probablemente también a otros campos.
La generación actual casi no conoce a estas grandes figuras indias.
Para corregir la situación actual: 1) todos deberían suscribirse a Science Reporter, la revista mensual publicada por NIScPR, dependiente del CSIR en Nueva Delhi, India, para acercarse a la ciencia india en general - https://sciencereporter.niscpr.res.in/
2) Los dos volúmenes de The Mind of an Engineer, de Purnendu Ghosh y otros, publicados por Springer, incluyen textos de científicos, investigadores e ingenieros recientes - https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-0119-2
3) En Amazon India hay libros de varios autores sobre la ciencia y los científicos de la India, y vale la pena conseguirlos.
4) También conviene leer los libros del gran astrofísico y cosmólogo Jayant Narlikar (https://en.wikipedia.org/wiki/Jayant_Narlikar), en especial The Scientific Edge: The Indian Scientist From Vedic To Modern Times - https://www.penguin.co.in/book/the-scientific-edge/ y Science and Mathematics: From Primitive to Modern Times - https://www.routledge.com/Science-and-Mathematics-From-Primi...
Pero todos han oído hablar de los bosones, así que de algún modo quedó inmortalizado y perduró más que la mayoría.
https://universitiespress.com/books?id=0&sid=161
National Book Trust también tiene varios libros sobre científicos indios.
Ramanujan fue una persona que inspiró a varias generaciones de matemáticos de todo el mundo.
Su vida fue una hermosa tragedia, y deja a la vez asombro y una profunda tristeza.
Si venías de una familia brahmán estrictamente tradicional, el solo hecho de subir a un barco y cruzar el mar podía ponerte en riesgo de excomunión.
El contexto cultural del que venía vuelve toda la historia aún más legendaria.
Desde cortarse la coleta hasta abandonar el dhoti para usar un traje occidental, no alcanzamos a entender por lo que pasó y lo que tuvo que dejar atrás para entregarnos sus matemáticas.
Hubo sacrificios que tuvo que asumir para practicar su arte y existir.
Recomiendo mucho leer A Mathematician's Apology, de G.H. Hardy.
Creo que es uno de los mejores textos no matemáticos para entender cómo funciona el cerebro de un matemático.
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
Es bastante breve y está escrito de forma hermosa.