La solución al problema de la cebolla de J. Kenji López-Alt (2021)

• Al modelar matemáticamente el problema del corte radial para picar una cebolla en piezas de tamaño uniforme, el resultado muestra que la punta del cuchillo no debe apuntar al inverso de la razón áurea, 0.61803398875…, sino por debajo del 55.73066% del radio
• El modelo simplifica la cebolla como un disco semicircular de radio 1, y supone infinitas capas e infinitos cortes para poder resolverlo con matemáticas continuas y cálculo multivariable
• El núcleo del cálculo usa el Jacobian de un cambio de coordenadas para obtener el área relativa de fragmentos infinitesimales, y luego busca la profundidad h que minimiza la varianza de esas áreas
• Al aplicar integración numérica y minimización numérica en Mathematica, la varianza mínima aparece cerca de h ≈ 0.55, y la “true onion constant” resulta ser 0.5573066…
• Ese valor corresponde a una cebolla idealizada con infinitas capas; en una cebolla real, con capas finitas, la profundidad óptima puede ser distinta

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Un problema que empezó con el consejo de cortar apuntando 60% hacia abajo

• En un video de YouTube del chef Kenji López-Alt se cuenta que un amigo matemático le dijo que, al cortar una cebolla, debía hacer cortes radiales apuntando por debajo del centro, hacia el 60% del radio
• Ese valor se presenta como relacionado con el inverso de la razón áurea, 0.61803398875…
• A partir de ahí, al cortar cebollas así en la práctica, surgió la pregunta de por qué ese valor aparecía matemáticamente
• Tras dos meses sin grandes avances, en dos días de cálculos se encontró un valor al que se llamó la “true onion constant”

Un modelo de cebolla que se pueda calcular

• La cebolla se simplifica como un disco semicircular de radio 1, con centro en el origen y ubicado en el semiplano superior
  • Se deja fuera la estructura tridimensional real de la cebolla y la forma de su sección transversal
  • Esta simplificación es una aproximación para volver manejable el problema
• Como el número de capas afecta la respuesta, se supone una cebolla con infinitas capas
  • Si la cebolla tuviera una sola capa, lo mejor sería cortar apuntando al centro
  • Si tuviera diez capas, habría que apuntar por debajo del centro
  • Al suponer infinitas capas, también resulta natural considerar infinitos cortes
• Gracias a esto, el problema pasa al terreno de las matemáticas continuas, donde se puede aplicar cálculo

Medir la uniformidad de los trozos con el Jacobian

• En una transformación polar común, una pequeña área dx dy pasa a r dr dθ, y allí r cumple el papel de Jacobian
• Ese valor se usa como medida para comparar qué tan grandes son entre sí los fragmentos infinitesimales de cebolla
  • Los fragmentos cercanos al centro son más pequeños porque r es menor
  • Los fragmentos cercanos al borde son más grandes porque r es mayor
• La uniformidad de los trozos se mide mediante la varianza de esos pesos de área infinitesimal
  • Si la varianza es grande, los trozos son menos uniformes
  • Si la varianza es pequeña, los trozos son más uniformes
• Primero se calculan el peso de área promedio y la varianza para el caso de cortar apuntando al centro, y luego se introduce un nuevo sistema de coordenadas para cortes que apuntan a un punto por debajo del centro

Un sistema de coordenadas que apunta a un punto bajo el centro

• Se toma como punto objetivo del corte a (0, -h) por debajo del origen, y se construye un sistema de coordenadas con h > 0
• En este sistema, el ángulo θ se mide desde (0, -h), mientras que el radio r se mide desde el origen (0, 0)
  • La parte radial modela las capas de la cebolla con respecto al origen
  • La dirección angular modela la forma en que el cuchillo entra en línea recta apuntando a (0, -h)
• Este sistema de coordenadas funciona sin problemas solo en el semiplano superior, y como toda la cebolla del modelo está allí, puede usarse
• Usando la simetría, basta con analizar la mitad derecha
  • La región es 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • El rango radial es h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Con la ley de cosenos se obtiene la relación entre (x, y) y (r, θ), y se calcula el Jacobian para una profundidad dada h
• A partir de ese Jacobian se definen el peso de área promedio A(h) y la varianza v(h)

Resultado del cálculo: true onion constant

• Como integrar v(h) a mano parece muy difícil o imposible, se usa integración numérica en Mathematica
• Al graficar la varianza respecto de h, el mínimo aparece cerca de h = .55
• Según la minimización numérica, la “true onion constant” de una cebolla idealizada con infinitas capas es 0.5573066…
• Para lograr los cortes radiales más uniformes, el cuchillo debe apuntar por debajo del centro de la cebolla, hacia el 55.73066% del radio
• Este valor es cercano al 61.803% mencionado en el video, pero no es igual
• En cebollas con un número finito de capas, como en la realidad, el valor puede cambiar
  • Con una capa, la profundidad óptima es 0
  • Con infinitas capas, es 0.5573066…
  • Para una cebolla de diez capas, se espera que la profundidad óptima quede entre 0 y 0.5573066…, aunque no se investigó a fondo

Actualización posterior: forma cerrada y nombre

• Más adelante se logró calcular v(h) en forma cerrada
• Como para minimizar una función en cálculo se iguala su derivada a 0, se calcula v'(h)
• La única raíz de esa derivada en el intervalo (0, 1) es la constante de la cebolla
  • Ese punto es un punto crítico de v(h)
  • Como el signo de v'(h) cambia de negativo a positivo, se trata de un mínimo
• Con este método se puede calcular la constante de la cebolla con precisión arbitraria, y se incluye su expansión decimal hasta 1000 dígitos
• Para nombrar esta constante matemática se eligió la letra hebrea samekh
  • La razón es que esa letra se parece a una cebolla

[GN⁺]

Comentarios de Hacker News

• Soy el autor del post del blog. Me alegra que haya generado interés, y dejé aquí unas diapositivas que cubren el planteamiento del problema, el contenido matemático e incluso la cebolla tridimensional: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  También envié a una revista de matemática recreativa un manuscrito formal que resume los detalles del problema y la solución, y con gusto recibo preguntas

  • La solución parece asumir que todos los cortes deben apuntar a un solo punto. Me pregunto si me estoy perdiendo por qué no sería posible que una solución más óptima consista en aumentar la profundidad h del objetivo de corte a medida que uno avanza hacia afuera
  • Es un método para resolver un círculo en el plano, más precisamente un semicírculo en el plano, pero hay algo relacionado con la reducción de dimensión que me viene molestando desde hace tiempo
    Un círculo puede dividirse fácilmente en arcos iguales, como 120 arcos de 3 grados en coordenadas polares, pero hacer lo mismo sobre la superficie de una esfera con coordenadas esféricas es pésimo, y tengo entendido que no es posible lograr un efecto similar de teselar la superficie de una esfera con una misma figura idéntica
    Es un problema que se me ocurrió al pensar en un sistema de coordenadas para mapas donde cada “cuadrado” sea la misma región sobre la esfera aunque esté distorsionada, y también parece relacionarse con hasta qué punto el análogo bidimensional del problema de la cebolla responde a la pregunta tridimensional original
  • Sería interesante construir a la inversa un modelo que haga que la respuesta sea 1/φ. Parece posible si se pone alguna medida no uniforme sobre la cebolla, y también me da curiosidad cómo sería si se considera la cebolla como un hemisferio. En cocina, en realidad, lo que importa principalmente es el grosor

• Me pregunto por qué modelar media cebolla como “la mitad de un disco de radio 1”. Media cebolla se parece más a un hemisferio, y no sé por qué habría que esperar que la solución sea la misma
  Si uno piensa en los dos extremos de la cebolla, es decir, las secciones exteriores cerca del talón y la punta del cuchillo, a medida que se acerca a los extremos se corta de forma más cercana a lo vertical. En la medida en que el exterior se corta verticalmente, parece que la sección central debería cortarse un poco más superficialmente, así que creo que probablemente sea incorrecto llamar a esto una verdadera constante de la cebolla

  • La solución aparece más adelante en el artículo. La idea clave viene del jacobiano, y no es un semidisco uniforme, sino una estructura con más peso cuanto más lejos se está del eje Y
    Puede pensarse como intentar recolectar la misma cantidad de tinta de una figura pintada. A diferencia de un disco uniforme, el disco ponderado del artículo es más oscuro arriba y abajo y más claro en el centro; en realidad, el sombreado cambia gradualmente, no en franjas como en el dibujo ASCII
  • También se ignora que las capas de la cebolla se vuelven mucho más delgadas cuanto más se alejan del centro. Así que, incluso para una cebolla perfectamente simétrica, creo que este análisis se desvía bastante
  • Aunque la cebolla no sea perfectamente simétrica, puede verse como una estructura que crece óptimamente alrededor de un eje o una línea que pasa por el centro, o que se extiende radialmente. Si clavas un palillo en una esfera para usarlo como eje y cortas perpendicularmente a ese eje, en la esfera obtienes un círculo, y en media cebolla obtendrías un semidisco
    Personalmente, por flojera, corto la media cebolla perpendicularmente al eje y no hago cortes radiales para lograr uniformidad
  • Por un momento pensé que el “problema de la cebolla” era un problema difícil de topología o teoría de grupos, hasta que recordé la conexión de que Kenji Lopez-Alt no es matemático sino chef, y lo entendí
  • Tengo una preocupación similar. La cebolla parece más bien un cilindro abultado cuyo grosor de capas se concentra más hacia el centro, y cada capa va de la raíz al tallo

• En cambio, el youtuber gastronómico Adam Ragusea afirma con fuerza que la heterogeneidad es importante. Optimizar la uniformidad quizá no siempre sea la mejor estrategia
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Como Ragusea, prefiero que cada bocado sea un poco nuevo y distinto
    Un tip para la ensalada Caesar: coloca una bolsa de crutones envasados plana sobre la mesa y aplástala repetidamente con el fondo de una sartén; así se mezclan trozos de crutón de distintos tamaños, migas como piedritas y polvo. Después de probarla así en un restaurante de lujo, la sigo preparando de ese modo
  • Adam resolvió otro problema. El punto de Kenji es dar una regla simple que cualquiera pueda recordar y seguir, y que permita hacer buenos cortes sin preocuparse por la precisión
    Esta regla se acerca lo suficiente a la uniformidad que se espera de ingredientes como la cebolla en la mayoría de las recetas, y parece probable que Ragusea también estaría de acuerdo como solución a ese planteamiento del problema
  • He leído que los chefs con formación clásica consideran importante la consistencia de los cortes. Adam Ragusea usa bastantes métodos de nicho y excéntricos que no encajan con un entorno profesional real; así como Bill Nye es un divulgador de la ciencia, él es más bien un divulgador de la cocina, no un chef profesional
  • La lógica que presentó en ese video es difícil de refutar
  • No es que haya una forma estrictamente correcta o incorrecta. Si uno se va demasiado a cualquiera de los extremos, es muy probable que la comida se vuelva aburrida o pierda calidad
    Dicho eso, muchas de las posturas de Ragusea no han resistido tan bien el paso del tiempo, y él mismo ha reconocido algunas de ellas

• Marco Pierre-White recomienda rallar la cebolla, con lo que esquiva inteligentemente todo el problema
  Por decirlo así, es como rallar el nudo gordiano
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Tiene sentido rallarla para salsa de tomate, pero no quisiera convertirlo en mi método básico para preparar cebolla
  • Este es el método de MPW: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    “La perfección es muchas pequeñas cosas bien hechas”
  • Sí evita el problema, salvo por el último pedazo que queda y que no puedes rallar sin poner en riesgo los dedos
    En varias recetas prefiero machacar el ajo. Queda con contornos más irregulares, se integra mejor en la comida y también se dora bien al saltearlo
  • Si vas a llegar a eso, me parece que simplemente podrías triturarla en un procesador de alimentos
  • “Puede rallar la cebolla o no rallarla. En realidad, la elección es suya”

• Me pregunto si hay algún lugar donde el problema esté explicado por escrito. Parece que el original queda a cargo del video, y el texto solo trata la solución propuesta en otro video y la nueva solución, así que no sé qué se está intentando resolver.

  • El problema es cortar una cebolla de forma que se minimice la variación en tamaño y forma de los trozos cortados. Normalmente el objetivo es que los trozos se cocinen de manera uniforme.
  • El problema es que se quiere cortar media cebolla y minimizar la varianza de volumen de los trozos. Luego se simplifica a un problema de cortes que minimiza la varianza del área de sección transversal en la parte más ancha de la cebolla.
  • Es el problema de “cómo cortar una cebolla esférica con capas uniformes en trozos de igual volumen”. Más que un problema gastronómico práctico, se parece a un experimento mental de geometría.
  • No está explicado muy bien por escrito. Hay fragmentos como “mantener los trozos lo más parecidos posible”, “el jacobiano r dr dθ mide el tamaño relativo de trozos infinitesimales” y “la varianza representa bien la uniformidad de los trozos”.
  • Es un problema sobre cómo cortar una cebolla en trozos de tamaño más o menos igual. Si se corta hacia el centro, los trozos internos quedan mucho más pequeños que los externos.

• Me sorprende que Kenji todavía haga cortes horizontales. Siento que, si haces cortes verticales en ángulo, los cortes horizontales son completamente innecesarios.
  Hace unos años, mientras hacía cortes horizontales en una cebolla, también se me desgarró la piel como en una avulsión en colgajo.

  • Lo más raro es que haga los cortes horizontales después de hacer los verticales. En la práctica, la mayoría de los cocineros que pican cebolla lo hacen así, pero a mí me parece totalmente al revés.
    En una mitad de cebolla intacta se pueden hacer cortes horizontales de forma segura y fácil, pero después de haberla cortado ya en vertical es mucho más difícil.
  • Si haces los cortes horizontales inclinándolos hacia abajo, este problema se maneja mejor. De todos modos, los cortes horizontales se necesitan principalmente solo en la parte lateral inferior de la cebolla.
  • Kenji dice en la explicación que en realidad no hace cortes en ángulo, pero que fue un problema matemático interesante.
  • Conviene invertir en guantes anticorte. Por unos pocos dólares puedes evitar perder tiempo por una lesión, y también sirven para usar una mandolina.
    Aunque quizá sea mejor probarlos primero poniendo una salchicha tipo hot dog en la parte de los dedos.

• Es sorprendente, y me alegró mucho que la integral tuviera una solución de forma cerrada. Me da mucha curiosidad cómo se vería esto en el caso discreto, y también parece bastante fácil de programar como simulación.

• Me gusta más el método de Chef Jean-Pierre. Mantiene las cosas simples y también muestra por qué los cortes horizontales no tienen mucho sentido.
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Exacto. Llevo 15 años usando ese método y no me arrepiento. Me sorprende que todavía siga haciendo videos.

• En la alta cocina también existe literalmente el concepto de cubos perfectos. Consiste en separar las capas de toda la cebolla y presionarlas para convertirlas en láminas, y luego picarlas cortando rectángulos en una cuadrícula.

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw