Constante de la lemniscata (ϖ): el gemelo oscuro de π (Evil Twin)

• Al igual que π (pi), ϖ es una constante matemática importante
  • π se relaciona con el círculo y las funciones trigonométricas (sin, cos)
  • ϖ se relaciona con la lemniscata (de forma ∞) y con nuevas funciones trigonométricas (sl, cl)
• La lemniscata es un caso especial de curva de Cassini que mantiene constante el producto de las distancias a dos puntos, y tiene forma de infinito (∞)
• ϖ, llamada "constante de la lemniscata", vale aproximadamente 2.62205755

Lemniscata y ϖ

Definición de la lemniscata

• En coordenadas polares, la lemniscata se expresa mediante la fórmula de que "el cuadrado del radio es el coseno del doble del ángulo"
• Así como la circunferencia del círculo corresponde a (2\pi), la circunferencia de la lemniscata corresponde a (2\varpi)

Funciones trigonométricas de ϖ: sl y cl

• Así como en el círculo están las funciones trigonométricas (sin, cos), en la lemniscata existen las funciones sl y cl
• Por ejemplo, la fórmula trigonométrica "sen² más cos² igual a 1" se transforma de forma similar en la lemniscata:
  • sl² + cl² + sl²·cl² = 1

Conexión entre π y ϖ

• π y ϖ comparten fórmulas y patrones similares, y π es una de las constantes de la familia ϖ
• π se expresa como ϖ₂, ϖ como ϖ₄, y entre π y ϖ existe otra constante llamada ϖ₃
• Esta familia de constantes representa una estructura matemática única y se relaciona con curvas y funciones más complejas

ϖ y el descubrimiento de Gauss

• Gauss descubrió que la constante de la lemniscata está conectada con la media aritmético-geométrica (Arithmetic-Geometric Mean)
  • La media aritmético-geométrica es un proceso que itera el cálculo de la media aritmética y la media geométrica de dos valores hasta llegar a un valor de convergencia
  • Por ejemplo, la media aritmético-geométrica de 1 y √2 da la razón entre π y ϖ, lo que se conoce como la "constante de Gauss"

Constantes de orden superior ϖₙ

• ϖₙ está relacionada con funciones hiperarliculas y curvas
  • Una curva hipererítmica se define como una doble cubierta de la esfera de Riemann y tiene puntos de ramificación en las raíces n-ésimas de la unidad
  • Estas constantes reflejan la simetría y las propiedades únicas de curvas de mayor orden

Referencias y enlaces

• Constante de la lemniscata (ϖ) - Wikipedia
• Funciones elípticas de la lemniscata (sl, cl)

[GN⁺]

Comentario de Hacker News

• La ortografía de "lemniscate" me generaba dudas, así que la comprobé. Gracias a esta discusión, descubrí un nuevo mapa favorito.
  • Es la proyección Peirce Quincuncial.
• Se puede usar un amuleto de trébol de la suerte para protección.
  • Se expresa con un diagrama polar r=cos(2θ)
  • La circunferencia puede definirse como la constante 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221
• π proviene del círculo y se define por la distancia desde un punto
• ϖ proviene de la lemniscata de Bernoulli y se define por la distancia entre dos puntos
• Me preguntaba si hay constantes similares que surgen de formas definidas por tres puntos
• El cociente entre π y su gemelo es aproximadamente 1.198, y es la media aritmético-geométrica entre √2 y 1
  • Si AM converge a GM, por la desigualdad AM-GM-HM también debería converger a la media armónica
  • HM no requiere una raíz cara
• La convergencia de AM y GM es casi inmediata
  • Para que HM converja en la constante de Gauss se necesitan unas 15 iteraciones
  • Evita un operador costoso, pero requiere muchas repeticiones
• Otras constantes interesantes:
  • Euler–Mascheroni Constant: series armónicas, integrales y sumas relacionadas con la función gamma
  • Catalan’s Constant: series trigonométricas específicas, función de Green en retícula
  • Feigenbaum Constants: mapa logístico, caos en sistemas dinámicos
  • Khinchin’s Constant: cocientes parciales de fracciones continuas simples
  • Glaisher–Kinkelin Constant: expansión asintótica de la función G de Barnes, límites combinatorios y ciertas descomposiciones multiplicativas
  • Ramanujan’s Constant: multiplicación compleja de curvas elípticas
  • Omega Constant: Ω * e^Ω = 1, función Lambert W, x^x^x^... = 2
• No soy relativista cultural, pero no creo en una civilización que valore la forma ∞ por encima de la forma ◯
  • Pueden existir seres que vivan en espacios logarítmicos
  • Sus círculos podrían ser lemniscatas
• π y ϖ solo son dos de infinitos hermanos
• ¿Por qué solo dos puntos? ¿Por qué no tres?
  • ¿Se pueden encontrar curvas interesantes hechas con el producto constante de distancias de N puntos?
  • En dimensiones altas, una esfera existe para un punto
  • ¿Y para dos puntos? ¿Una gota doble tipo reloj de arena?
• Que esta forma resulte más importante para una civilización que el círculo es un interesante planteamiento de ciencia ficción