Constante lemniscática (ϖ): el gemelo oscuro de π

 (mathstodon.xyz)
1 puntos por GN⁺ 2024-12-25 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • ϖ (varpi) es una constante conectada con la lemniscata y las funciones trigonométricas modificadas sl y cl, de forma análoga a como π se conecta con el círculo y las funciones trigonométricas
  • La lemniscata es un caso especial del óvalo de Cassini, donde el producto de las distancias a dos puntos es constante, y se expresa en coordenadas polares como r² = cos2θ
  • Así como la circunferencia del círculo unitario es 2π, la longitud de arco de esta lemniscata es 2ϖ, y ϖ ≈ 2.62205755...; se ha calculado con más de 1 billón de dígitos
  • sl y cl son funciones elípticas lemniscáticas que corresponden a sin y cos, y tienen identidades modificadas como sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ también se conecta con la curva elíptica gaussiana y la media aritmético-geométrica; la razón AGM(1, √2) = π/ϖ se conoce como la constante de Gauss

ϖ, una constante parecida a π

  • ϖ es como el “evil twin” de π: un número que comparte muchas propiedades y fórmulas similares con π
  • Así como π se conecta con el círculo y las funciones trigonométricas sin y cos, ϖ se conecta con la lemniscata, una curva con forma de ∞, y con las funciones sl y cl
  • ϖ se conoce como la constante lemniscática
  • El símbolo Unicode ϖ es una forma manuscrita de la letra griega pi, y también se le llama varpi o pomega

Fórmula integral y producto análogo

  • π y ϖ también pueden compararse mediante fórmulas integrales de forma similar
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Ambas constantes están conectadas con fórmulas de producto con raíces cuadradas anidadas
    • La fórmula del lado de π representa 2/π
    • La fórmula del lado de ϖ conserva una estructura similar, pero algunos términos cambian a forma de división

La lemniscata y su longitud

  • La familia de curvas donde el producto de las distancias a dos puntos es constante se llama óvalo de Cassini
  • Entre ellas, la curva especial con forma de ∞ es la lemniscata, y está conectada directamente con ϖ
  • La ecuación polar de esta lemniscata es la siguiente
    • r² = cos2θ
  • Así como la circunferencia del círculo unitario es 2π, la longitud de esta curva es 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Este número se ha calculado con más de 1 billón de dígitos

Funciones sl y cl, y trigonometría modificada

  • Así como en el círculo se pueden definir sin y cos, en la lemniscata se pueden definir las funciones sl y cl
  • Muchas identidades trigonométricas usuales tienen versiones modificadas correspondientes para sl y cl
  • Una correspondencia representativa es la siguiente
    • Trigonometría usual: sin²θ + cos²θ = 1
    • Funciones de la lemniscata: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Los gráficos de sl y cl pueden verse en Lemniscate elliptic functions

Curvas elípticas y la constante de Gauss

  • ϖ y sus funciones trigonométricas modificadas están conectadas con la curva elíptica gaussiana
  • Esta curva elíptica puede obtenerse al dividir el plano complejo en una retícula cuadrada
    • Cualquier retícula del plano complejo genera una curva elíptica y funciones elípticas
    • El cuadrado tiene más simetría que otros paralelogramos, por lo que este caso es un ejemplo especialmente bueno
  • Gauss descubrió que esta curva elíptica está conectada con la media aritmético-geométrica
  • La media aritmético-geométrica de 1 y √2 es π/ϖ, y este número se conoce como la constante de Gauss
  • Hay una explicación relacionada en Lemniscate constant
  • También existen sucesiones más generalizadas ϖₙ
    • π es ϖ₂
    • ϖ es ϖ₄
    • ϖₙ parece estar relacionado con ciertas funciones hiperelípticas simétricas
    • Hay un texto relacionado en June 2022 diary entry

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2024-12-25
Opiniones de Hacker News

  • Gracias a esta discusión encontré mi nueva proyección de mapa favorita: proyección quincuncial de Peirce
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • Hay más proyecciones cartográficas en el amable PDF “An Album of Map Projections”, y la de arriba aparece en la página 190
      Para un ejemplo más festivo, vean la proyección estrellada de Berghaus en la página 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Esto se parece bastante a un diagrama de Penrose máximamente extendido
    • Creo haber visto la misma proyección usada en un mod de Quake 3 para aumentar dramáticamente el campo de visión

  • También se puede usar un amuleto de trébol de cuatro hojas de la suerte para protegerse de eso. Es la gráfica polar r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Su perímetro también puede definirse como la constante 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • Me confundió la frase “esta curva con forma de ∞ se llama 'leminscate', y ϖ se llama 'lemniscate constant'. En el siguiente artículo mostraré la leminiscate”, así que lo revisé, y la ortografía correcta es lemniscate

  • π proviene del círculo, que se define por la distancia desde un punto, y ϖ proviene de la lemniscata de Bernoulli, que se define por la distancia desde dos puntos
    Entonces, ¿habrá una constante similar que provenga de una figura definida por la distancia desde tres puntos?

    • Sí. π es la circunferencia del círculo, y ϖ es el perímetro de la lemniscata. Si usas tres puntos aparecen 3 formas de gota, y se puede calcular su perímetro
      Llamémosla por ahora trilemniscata ;)
      Aquí hay una gráfica 3D. Si miras hacia abajo desde +Z, se ve la trilemniscata donde el volumen se encuentra con el plano XY. Resté 1 del producto para visualizar la intersección con el plano, y también puedes apagar la versión de 3 puntos y encender la de 2 puntos para comparar
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Curiosamente, con 2 y 3 puntos, el área dentro de la lemniscata y la trilemniscata es la misma. También es cierto para más puntos si están distribuidos uniformemente sobre un círculo. Claro que el perímetro tiende a infinito a medida que aumentas la cantidad de puntos
    • El concepto de distancia desde tres puntos se vuelve complicado porque se mezcla con funciones de distancia e incluso con teoría de la medida
      Dos puntos siempre tienen un camino más corto que los une, así que la constante trata sobre ese hecho, pero a partir de tres puntos hay que manejar todas las formas triangulares posibles

  • Sobre la parte que dice “no soy tan relativista cultural como para creer que exista una civilización que considere más importante la forma ∞ que la forma ◯”, esos seres quizá no sean seres “lineales” como nosotros, sino seres logarítmicos
    La lemniscata se basa en la media geométrica, que en la práctica es una media multiplicativa, o una media en el espacio logarítmico. Se contrapone a la media aritmética del espacio lineal
    Si nosotros somos seres lineales, buenos para la suma intuitiva pero malos para la multiplicación intuitiva, también podrían existir seres que vivan en el espacio logarítmico y cuyo pensamiento esté basado en la multiplicación. Para ellos, un círculo sería una lemniscata

    • En realidad, los humanos tendemos a pensar intuitivamente en escala logarítmica. Las personas que no han recibido educación aritmética inicial de estilo occidental tienden a pensar más en proporciones que en diferencias, y hay teorías de que eso es evolutivamente más adaptativo
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • En los humanos hay bastantes respuestas logarítmicas, como el brillo de la luz, la intensidad del sonido, las octavas musicales y la altura relativa

  • Como señaló el profesor, la razón entre π y su gemelo malvado es aproximadamente 1.198, que es la media aritmético-geométrica de sqrt(2) y 1
    Del lado geométrico aparece una raíz cuadrada, y las raíces cuadradas son caras. Así que pensé que, si la media aritmética converge a la media geométrica, según la desigualdad de las medias aritmética-geométrica-armónica también debería converger a la media armónica, y la media armónica no necesitaría esas costosas raíces cuadradas
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    Es bastante curioso que la convergencia de la media aritmético-geométrica sea casi inmediata y baste con 2 pasos, mientras que para obtener con la media armónica una convergencia útil para la constante de Gauss se necesitan como 15 pasos. Puedes eliminar operadores caros como la raíz cuadrada, pero pagas el costo en cantidad de iteraciones

    • El valor de c calculado depende del cálculo del valor de b, así que no se está haciendo como una recursión que evita raíces cuadradas
      Simplemente se calcula la misma sucesión de medias aritmético-geométricas y luego se toma cierta media armónica ponderada sobre esa sucesión; como la sucesión original converge, esa también converge
      Como referencia, la media aritmético-armónica pretendida es simplemente la media geométrica. No la media aritmético-geométrica, sino la media geométrica pura: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • Otras constantes notables y dónde aparecen: la constante de Euler–Mascheroni aparece en integrales y sumas relacionadas con la serie armónica y la función gamma; la constante de Catalan, en ciertas series trigonométricas y funciones de Green de retículas; la constante de Feigenbaum, en el mapa logístico y el caos de los sistemas dinámicos; la constante de Khinchin, en los cocientes parciales de fracciones continuas simples; la constante de Glaisher–Kinkelin, en la expansión asintótica de la función G de Barnes, límites combinatorios y ciertos desarrollos de productos; la constante de Ramanujan, en la multiplicación compleja de curvas elípticas; y la constante Omega aparece en Ωe^Ω=1, la función W de Lambert y x^x^x^...=2

    • No entiendo qué significa x^x^x^... = 2. ¿La solución no es sqrt(2)?
    • Hace falta explicar cómo se relaciona la constante de Ramanujan con las operaciones en curvas elípticas

  • Claramente parece que estos no son gemelos. Solo puede decirse que π y ϖ son dos de infinitos hermanos ϖₙ

  • ¿Por qué solo 2? ¿Por qué no 3 puntos? ¿Se pueden encontrar figuras interesantes en curvas donde el producto de las distancias desde N puntos es constante?
    Incluso en dimensiones más altas, con un punto se obtiene una esfera; ¿qué forma aparece con dos puntos? ¿Será más bien una doble gota como un reloj de arena?

    • Hay una generalización. Antes de que Twitter se convirtiera en un bar nazi, publiqué el reto de encontrar una serie de números tipo pi, cada uno con su propio paquete de fórmulas, y @duetosymmetry lo tomó e hizo los ϖₙ
    • Sobre los 3 puntos: un punto y dos puntos son casos especiales. En esos casos, salvo traslación y escalado uniforme, solo hay una configuración
      Pero a partir de tres puntos hay tantas configuraciones como triángulos semejantes. Se podría obtener un número para cada clase de semejanza de triángulos, pero no habría que esperar que salga la misma constante para todas las clases de semejanza

  • En “esta curva con forma de ∞ se llama 'leminscate', y ϖ se llama 'lemniscate constant'. En el siguiente artículo mostraré la leminiscate”, dos de las tres grafías parecen estar mal