Todo es logaritmos
(alexkritchevsky.com)- Si el logaritmo se ve no como una función numérica sino como la razón entre objetos abstractos sin base, entonces (\log_b N = \log N / \log b) se lee como una conversión de unidades
- (\log 2) se convierte en una unidad de medida como los bits, y (\log e) en una como los nats; la fórmula de cambio de base se parece al proceso de expresar una misma cantidad en distintas unidades
- La valuación (p)-ádica, el orden de ceros y polos, y la extracción de componentes mediante derivación pueden interpretarse todos como proyecciones de componentes logarítmicos
- Se encadenan varias correspondencias: ver un vector como el logaritmo de un operador de traslación, la dimensión como el logaritmo del tamaño de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito, y una base como el objeto que devuelve el logaritmo
- Toda la discusión es menos un teorema riguroso de unificación que una exploración para rastrear redundancias de notación y estructura; una perspectiva matemática que separa coordenadas y unidades puede ayudar a ordenar estos patrones
Logaritmos sin base y conversión de unidades
- Un logaritmo usual se escribe como (\log_b x), explicitando la base (b), y representa la solución de (b^y=x)
- La fórmula de cambio de base (\log_b x = \log_a x / \log_a b) puede interpretarse como una conversión de unidades
- Tiene la misma estructura que (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
- “¿Cuántos (b) caben en (x)?” puede verse como “la cantidad de (a) dentro de (x)” dividida entre “la cantidad de (a) dentro de (b)”
- Si (\log N) se deja como un objeto abstracto y no como un número, entonces el logaritmo con base pasa a ser la razón entre dos logaritmos sin base
- (\log_2 N = \log N / \log 2)
- (\log 2) se trata como una unidad llamada “bits”
- (\log e) se trata como una unidad llamada “nats”
- Desde este punto de vista, (\log N) no tiene por sí mismo un significado numérico directo; solo al dividirlo por (\log b) se obtiene un valor numérico en una unidad específica
- Se considera que no hay una forma significativa de construir un análogo del exponente sin base, como ((*)^{\log N})
- El logaritmo habitual (\log_b N) queda ordenado como la razón entre dos objetos sin unidad, (\log N) y (\log b)
Similitud entre logaritmos y vectores
- Así como se distingue entre un vector geométrico sin coordenadas y el vector coordenado en un sistema específico, (\log N) también puede verse como un objeto previo a elegir una base concreta
- La notación no estándar de dividir un vector (\mathbf{v}) por un vector base (\mathbf{x}) para medir su componente, y la forma (\log N / \log 2) para obtener un valor en bits, comparten la misma estructura
- (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
- (\log N / \log 2=\log_2 N)
- Escribir el mismo logaritmo en distintas unidades corresponde a escribir el mismo vector en distintas bases
- (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
- (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
- La fórmula de cambio de base cumple el mismo papel que una transformación de coordenadas para vectores
- (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
- (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})
Operaciones que extraen componentes logarítmicos
- El logaritmo usual no tiene una notación de proyección parcial que saque solo una componente específica, como pasa con las derivadas parciales
- Si (N=2^a3^b), entonces (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3), de modo que todo queda medido en una sola unidad
- No existe una notación logarítmica estándar para extraer por separado la componente de (\log 2) y la de (\log 3)
- La valuación p-ádica de la teoría de números puede interpretarse como una operación que extrae el coeficiente de la componente (\log p) en la factorización prima de un número natural
- (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
- (\nu_p(n)=n_p)
- También se conservan identidades logarítmicas como (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n))
- Al extenderlo a números racionales o números con radicales, los coeficientes pasan a ser enteros o racionales, y el objeto resultante se acerca más a un espacio vectorial real
- El orden de un cero o de un polo en análisis complejo también puede expresarse como un límite de una razón logarítmica semejante
- (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
- Esto extrae el orden del término dominante en una serie de Laurent
- La valuación (p)-ádica, la derivada parcial y la extracción de orden en análisis complejo se parecen entre sí, pero todavía no está clara una teoría unificada que las agrupe
Casos en los que un vector también puede verse como logaritmo
- En geometría diferencial, los vectores se usan como base de operadores de derivación parcial, y al exponentiarlos se convierten en operadores de traslación
- (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
- (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
- En espacios planos, el operador de traslación se descompone como producto de traslaciones por coordenada
- (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
- En espacios no planos, las traslaciones en distintas coordenadas pueden no conmutar, lo que vuelve el panorama más complejo
- En ese caso, un vector puede expresarse como el logaritmo de un operador de traslación
- (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
- Más que depender de la base (e) del logaritmo natural, parece más adecuado tomar una base general de traslación (T) y escribir algo como (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
- La multiplicación ordinaria también puede verse como una traslación en coordenadas (\ln a), aunque no está claro si esa interpretación resulte realmente útil
Relación entre logaritmos y derivadas
- El logaritmo natural puede definirse como (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
- Al desarrollar (x^a=e^{a\ln x}) en serie de Taylor, aparece (\ln x)
- Al sustituir ((1+x)), se reproduce la serie de Taylor de (\ln(1+x))
- (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
- Esta expresión se parece a una derivada, y puede escribirse como (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
- En varios sentidos, (\ln x) se comporta como (x^0)
- (\ln x\sim (x^0-1)/0)
- Formalmente, (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
- Esta parte no se conecta de forma directa con las demás discusiones del texto, pero añade la idea de ver el logaritmo como el cambio de primer orden alrededor de (x^0)
La dimensión actúa como un logaritmo
- En espacios vectoriales de dimensión finita, (\dim_K) satisface identidades parecidas a las del logaritmo
- (\dim_K K^n=n)
- (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
- (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
- (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
- En un espacio vectorial de dimensión finita (V\simeq K^n) sobre un cuerpo finito (K), sí existe una relación logarítmica real entre tamaño y dimensión
- Un vector puede verse como una función que asigna a cada elemento de la base un coeficiente en (K)
- (|V|=|K|^{\dim_K V})
- Por tanto, (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
- En dimensión infinita o sobre cuerpos infinitos, esta interpretación es menos sólida, y podría requerir otras nociones de tamaño como numerosity) en lugar de cardinality
- Si se usara una notación de dimensión sin base, podría escribirse (\dim K^n=n\dim K) y (\dim_K V=\dim V/\dim K)
- En el producto tensorial, multiplicar simplemente las dimensiones introduce una copia extra de (\dim K), así que se interpreta que el producto tensorial sobre (K), (\otimes_K), elimina ese factor al tomar el cociente por los coeficientes escalares
Ver la base y el span como logaritmo y exponente
- Si la dimensión es la cardinalidad de una base, entonces el logaritmo podría verse no como el retorno de una cardinalidad sino de la base misma
- Si (V\simeq K^3) tiene como base ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), podría escribirse (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
- (\dim_KV=|\log_KV|)
- Como existe el problema de elegir una base específica, quizá sea más adecuado considerar (\log_KV) como un objeto que apunta a todas las bases posibles de (V)
- Para un marco de referencia arbitrario (X_0) y (\Lambda\in GL(V)), (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
- Este objeto puede verse como un (GL(V))-torsor
- La operación inversa del logaritmo se interpreta como el span, que reconstruye el espacio vectorial a partir de la base
- (\span_K(X)=K^X=V)
- Esta interpretación abusa bastante de la notación y no está claro si es la mejor, pero permite pensar en (\dim) y (\span) como análogos de (\log) y (\exp) en álgebra lineal
- Desde la perspectiva del logaritmo sin base, también queda abierta la posibilidad de interpretar (\log K) mismo como “una base de (K)”, aunque eso se deja para una discusión posterior más abstracta
Conjetura sobre la relación entre funciones y logaritmos
- El procedimiento de elevar operaciones aritméticas a operaciones sobre conjuntos se trata como algo cercano a una “setification”
- La suma, multiplicación y potenciación de números naturales corresponden, respectivamente, a unión disjunta, producto y conjunto de funciones entre conjuntos
- En conjuntos finitos, la cardinalidad preserva bien estas operaciones
- Por ejemplo, si (A={a,b}) y (X={x,y}), al desarrollar ((a+b)^{x+y}) pueden listarse como términos las 4 funciones (X\to A)
- (a^xb^y) se interpreta como la función con (x\mapsto a) y (y\mapsto b)
- Si algunas variables se fijan en (0) o (1), el comportamiento se parece al de evaluar o restringir funciones
- El factorial y las combinaciones también pueden enumerar permutaciones y combinaciones de forma parecida
- Normalmente una función (f:X\to A) se modela como la relación ({(x,f(x))\mid x\in X}), pero (a^xb^y) por sí mismo es una sola función, así que su cardinalidad es 1
- (\log f ? x\log a+y\log b) se parece a la representación relacional de una función, pero esta parte todavía no está explicada con suficiente claridad
Covariancia general y conclusión
- Toda la discusión se concentra en el caso simple de ver el logaritmo como un isomorfismo que transforma expresiones multiplicativas en expresiones aditivas
- Casos más complejos, como el logaritmo complejo o el logaritmo de matrices, quedan fuera del alcance de la discusión
- Varias operaciones matemáticas como (\dim), (\nu_p) y la derivada total tienen estructuras iguales o cercanas a la del logaritmo
- Estas conexiones tienen algo de “numerology”, pero la postura es que son demasiado limpias como para ignorarlas
- Estructuras parecidas también aparecen en la matemática de la física, especialmente en el formalismo de operadores de la mecánica cuántica, y la física impone restricciones sobre la notación matemática y la elección de coordenadas
- La covariancia general es la idea de que las propiedades de un objeto deben ser independientes de la elección de coordenadas, y el logaritmo sin base puede verse como un intento de separar el isomorfismo entre expresión multiplicativa y expresión aditiva de la elección de unidad
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Aquí, un logaritmo sin base es simplemente un torsor [0]
Cosas como la posición, el valor de una moneda o una fecha del calendario también pueden verse como torsors. El valor en sí es arbitrario, y no cambia funcionalmente si lo trasladas en cierta cantidad o cambias la escala. Un torsor permite hablar del objeto sin tener que fijar de antemano esas elecciones arbitrarias
En un logaritmo sin base, el conjunto subyacente es una “unidad de información”.
log 2es un bit,log ees un nat,log 10es un dígito, y así, y los factores de conversión forman el grupo del torsor. Elegir una unidad particular como especial no es más que trivializar el torsorLa notación de división de vectores también codifica un g-torsor exactamente de la misma manera que las unidades de longitud
Hasta ahora, todos los ejemplos son torsors de grupos abelianos, pero para especificar una posición hay que elegir tanto un origen como una unidad de longitud. El grupo de este torsor es un semiproducto adecuado de traslaciones y escalado, por lo que se vuelve un grupo no abeliano
La mayoría de la gente elige implícitamente una trivialización, y por eso surge la confusión de identificar el objeto con las operaciones sobre ese objeto. Por ejemplo, se mezclan ver un vector como posición y verlo como traslación. El autor también toca este punto en su texto sobre problemas con el álgebra geométrica [1]
[0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
[1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...
Por desgracia, en matemáticas existe desde hace mucho la tradición de reutilizar palabras comunes como nombres de conceptos que no tienen ninguna relación con su significado original. Por eso, incluso libros o artículos de matemáticas que dicen cosas triviales se vuelven opacos si uno no está familiarizado con la jerga especializada de ese subcampo
En otro comentario de aquí, alguien describió mi logaritmo basado como un “GL(V)-torsor”, y fue mucho más conciso que la forma forzada en que yo lo venía desarrollando a mano
Más allá de la terminología, me pareció interesante porque nunca había visto pensar los logaritmos de esa forma
Los logaritmos son increíbles. Hace un tiempo empecé a mirar libros de texto de matemáticas de los años 1920, y todos los cálculos dependían de tablas de logaritmos. La idea era convertir los números de la tabla a logaritmos para reducir el orden de las operaciones, y luego volver a la representación normal
Incluso operaciones como encontrar una raíz cúbica podían reducirse a divisiones, y si lo pasabas a log-log se podía bajar otra vez a restas antes de reconstruir la notación original. Hacerlo a mano se siente realmente genial, como usar un túnel de gusano mágico
Una o dos veces durante el examen salían problemas donde realmente hacía falta una tabla de logaritmos. Por ejemplo, la división se convertía en
lookup(a)-lookup(b), y luego ese valor se buscaba otra vez en la tabla de antilogaritmos, es decir, la tabla deexpThe Lost Art of Logarithms de Charles Petzold es una lectura agradable. Todavía es un trabajo en proceso
https://www.lostartoflogarithms.com/
La misma idea aparece también en la física. En física cuántica, la acción S aparece como una cantidad parecida a un logaritmo detrás de la amplitud e^iS/(h^bar)
En mecánica estadística, la entropía es el logaritmo del número Omega de microestados posibles: S = log(Omega)
Son conceptos surgidos en áreas distintas de la física, pero ambos reflejan el mismo principio de usar logaritmos para convertir relaciones multiplicativas en relaciones aditivas
Ante la pregunta “si existe un logaritmo
log(N)sin base, ¿también existe una ‘exponencial sin base’?”, con un álgebra ingenua parecería que sí.Si en
log(x,base)se puede quitarbase, entonces enpow(base,x)también se podría quitarbase. Comobits=log(2), entoncespow(bits)=2. Parece que también podría conectarse con conceptos inversos como la integración.Jugando con la notación por diversión:
log(freq) = pitchfreq = pow(pitch)octave = log(2)400*Hz = 100*Hz*4 // la frecuencia de 400 Hz es 4 veces la de 100 Hzlog(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octavelog(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // el tono de 400 Hz está 2 octavas por encima de 100 Hzcent = log(2)/1200A4 = log(440*Hz)B4 = A4 + 200*cent // el tono de B4 está 200 cents por encima de A4B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))pow(B4) = 493.883 Hz // la frecuencia de B4 es 493.883 HzMe gusta la intuición que da la notación de logaritmo sin base, y además evita tener que elegir un punto de referencia específico. También se puede elegir una base arbitraria y calcularlo directamente:
pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)dB_P = log(10)/10dB_F = log(10)/20log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // el nivel de 10 V está 20 dB por encima del nivel de potencia de 1 VSPL = 20*10^-6 * Pahearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // el daño auditivo ocurre por encima de SPL + 90 dB_F (ignorando la ponderación A)pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // la presión de daño auditivo es más de 31622 veces el SPLpow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // la presión de daño auditivo es mayor que 0.632 PaMuy útil. Se puede imaginar unificando la ridícula lista de sufijos de decibel con una notación uniforme. Si se escribe primero el logaritmo, la posición del
+o-también se conserva tal cual.log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
Este texto necesita un sistema de tipos. Cada vez que escribes “log”, tienes que decir el logaritmo de qué es y hacia dónde va.
Es parecido a cuando en audio la gente dice solo “dB” y actúa como si eso respondiera las siguientes preguntas: respecto a qué, cómo se midió y con qué ponderación para quién. Todo eso falta.
El autor debería volver a mirar https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory
Como el texto desarrolla de manera informal pero bastante suficiente, la fórmula de cambio de base muestra que la elección de la base en general no importa demasiado. Los logaritmos en distintas bases son equivalentes hasta un factor constante.
La expansión de Taylor de
expda una definición más intrínseca y general de la función exponencial. Por eso, cuando se cumplen condiciones apropiadas de convergencia,exppuede generalizarse estructuralmente a muchos entornos algebraicos. Por ejemplo, la exponencial compleja y sus varios logaritmos posibles, la exponencial matricial, etc.log Nsin base como un objeto abstracto, no como un número. ¿O te refieres a otra parte?Lo que pasa con el logaritmo complejo parece básicamente lo mismo que un logaritmo que devolviera todos los conjuntos de bases posibles de un espacio vectorial.
El logaritmo complejo produce un
Z-torsor, y el logaritmo de bases produce unGL(V)-torsor. Parece que podría haber una forma de expresar la elección de un corte de rama como parte de la elección de base del logaritmo complejo, y de la misma manera elegir una base específica también podría verse como parte de la elección de base en el logaritmo de bases de un espacio vectorial.El término "logaritmo sin base" realmente no tiene sentido, y usarlo es un gran error
Aun así, en lo que sí acierta el autor original es en que el logaritmo es una magnitud física única, como la longitud, el área o el volumen, y elegir la llamada "base" equivale a elegir la unidad de medida del logaritmo
El logaritmo aparece en la fórmula dimensional de varias magnitudes físicas derivadas. Por ejemplo, para describir la atenuación o la amplificación cuando una onda se propaga, se usan magnitudes como logaritmo por longitud o logaritmo por tiempo
Si se cambia la "base" del logaritmo, los valores numéricos de todas las magnitudes derivadas cambian exactamente de la misma manera que cuando se cambian unidades básicas de medida como la longitud o el tiempo
El valor completo de cualquier magnitud logarítmica es independiente de la unidad de medida. Esto se debe a que es el producto del valor numérico y la unidad de medida. Si se cambia la unidad de medida, el número y la unidad cambian juntos, y el producto permanece igual. Es decir, sin importar con qué base se calcule el valor numérico, el logaritmo corresponde a la misma razón
Hoy en día, las unidades del logaritmo suelen elegirse entre octava (logaritmo binario), neper (logaritmo hiperbólico) y bel (logaritmo común)
La unidad de medida del logaritmo no es la base misma, sino el logaritmo de la base. Por eso, por ejemplo, el valor del número
e, que es la base del logaritmo hiperbólico, no se necesita en ningún cálculo. Los únicos valores necesarios sonln 2o su inversolog2 e, y estos se usan para convertir valores logarítmicos entre las unidades de medida correspondientes al logaritmo binario y al logaritmo hiperbólico (también llamado logaritmo natural, aunque el logaritmo hiperbólico no es más "natural" que otros logaritmos)d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
un logaritmo sin base no es más que una familia de funciones con propiedades similares. Si el autor hubiera usado una expresión como "propiedad logarítmica" en vez de "logaritmo sin base", quizá habría sido más claro, pero eso ya suena más a buscarle tres pies al gato y resulta discutible
Sobre la idea de que al cambiar la base cambia el número, me pregunto si estudiaste álgebra lineal avanzada o, más específicamente, tensores. La idea central de los tensores es que actúan sobre un objeto de la misma manera independientemente de la base. Dicho de otro modo, si a y b representan el mismo objeto en bases distintas, entonces cuando T(x) es un tensor, T(a) y T(b) son equivalentes
El punto es que cualquier número es una elección arbitraria, y eso no define la estructura subyacente. Aquí el autor está hablando de la estructura logarítmica
Por eso en álgebra lineal se estudian distintas bases y sus transformaciones. Por la misma razón, las coordenadas polares y cartesianas que se enseñan en la preparatoria funcionan igual. Es parte del proceso de prepararte para aprender estructura. Cuando llegas a grupos, aprendes que si los grupos A y B son isomorfos, entonces tienen la misma estructura matemática
Eso sigue siendo cierto aunque cambien los números
No puedo creer que le hayan dicho "based" al logaritmo común
Todo esto sería mucho más interesante si realmente ayudara a mostrar algún hecho matemático nuevo. Tal como está, se parece más a un juego de notación
No digo necesariamente que este texto sea eso, pero me parece que la situación actual se inclina más hacia tener demasiados hechos y muy pocas perspectivas simples que los vuelvan útiles y accesibles
Claro, es solo una opinión personal
Al hacer públicos esos patrones, el proceso de pensamiento puede distribuirse. Puede que otra persona vea una intuición ahí mismo