Crear todos los enteros con cuatro 2

• El rompecabezas de formar un número objetivo usando solo cuatro dígitos 2 amplía enormemente el rango que se puede expresar a medida que se permiten más operaciones matemáticas
• Solo con las cuatro operaciones básicas se pueden formar del 1 al 6, y al sumar exponentes, factoriales y raíces cuadradas también se pueden expresar valores como 18, 28, 256 y 65536
• Si se permite la notación 22 como dos 2, la función Gamma, integrales, decimales periódicos, operadores combinatorios e incluso números complejos, las soluciones se vuelven mucho más variadas
• La solución general de Paul Dirac crea cualquier número natural n con raíces cuadradas anidadas y logaritmos de base 2; n no es un número escrito en la fórmula, sino la cantidad de repeticiones de la raíz cuadrada
• La fórmula general original usa el número 2 solo tres veces, pero si se reemplaza un 2 por √(2+2), queda una forma que usa exactamente cuatro 2

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Cómo se expande el rompecabezas de los cuatro 2

• La regla consiste en usar exactamente cuatro dígitos 2 y operaciones matemáticas para crear un número natural objetivo
• Incluso solo con las cuatro operaciones básicas de nivel primario se pueden crear de inmediato números pequeños
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• Si se permiten exponentes y factoriales, el rango expresable crece mucho
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• También se puede usar la forma de ver 22 como dos 2 en la notación
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• El 7 es conocido por ser difícil de construir, pero si se permite la función Gamma, queda 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
• Con herramientas más amplias, también aparecen soluciones que incluyen integrales, decimales periódicos y operadores combinatorios, como en este hilo de Math StackExchange
• Un ejemplo que usa números complejos es 12 = |2 + 2√(-2)|²

La solución general de Dirac con raíces cuadradas anidadas

• Los matemáticos de la década de 1920 también disfrutaban este rompecabezas, y Paul Dirac encontró una solución general para todos los números
• La idea clave es aplicar repetidamente la raíz cuadrada a 2
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• Si se aplica la raíz cuadrada n veces, queda de la forma √√...√2 = 2^(2^-n)
• Si luego se aplica dos veces el logaritmo de base 2, se obtiene -n
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• Por lo tanto, la fórmula general es la siguiente
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • Aquí, la raíz cuadrada se repite n veces
• Como esta fórmula usa el número 2 solo tres veces, si se reemplaza uno de los 2 de la base por √(2+2), se usan exactamente cuatro 2
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• Por ejemplo, el 7 puede expresarse anidando siete raíces cuadradas así
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• En este método, n no es un número que aparezca directamente dentro de la fórmula, sino el valor que cuenta la cantidad de repeticiones de la raíz cuadrada; el trabajo restante es dibujar tantos símbolos de raíz cuadrada como haga falta

[GN⁺]

Comentarios de Hacker News

• Los comentarios se trasladaron a https://news.ycombinator.com/item?id=43145753, que se publicó un poco antes