Crear todos los enteros con cuatro doses

Crear todos los enteros con cuatro doses

• Introducción al rompecabezas matemático

  • Es un rompecabezas en el que se te dan cuatro doses y un número natural objetivo, y debes formar el número objetivo usando varias operaciones matemáticas sin utilizar otros dígitos.
  • Ejemplos que hasta un estudiante de primaria puede resolver:
    • 1 = (2+2) / (2+2)
    • 2 = (2/2) + (2/2)
    • 3 = 2×2 - (2/2)
    • 4 = 2 + 2 + 2 - 2
    • 5 = 2×2 + (2/2)
    • 6 = 2×2×2 - 2

• Matemáticas de nivel secundaria

  • Al aprender exponentes y factoriales, el rango se amplía:
    • 18 = 2^(2^2) + 2
    • 28 = (2+2)! + 2 + 2
    • 256 = (2+2)^(2+2)
    • 65536 = 2^(2^(2^2))

• Trucos matemáticos avanzados

  • Se pueden usar varios trucos, como considerar 22 como dos doses:
    • 26 = 22 + 2 + 2
    • 11 = 22 / √(2+2)
    • 444 = 222×2

• Uso de herramientas matemáticas avanzadas

  • Si se usan herramientas matemáticas avanzadas como la función gamma, se puede construir 7 fácilmente:
    • 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2

• Números complejos y matemáticas avanzadas

  • Ejemplo usando números complejos:
    • 12 = |2 + 2√(-2)|^2

• La solución general de Paul Dirac

  • Paul Dirac descubrió una solución general para todos los números.
  • Usando raíces cuadradas anidadas, es posible expresar cualquier número:
    • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
    • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
    • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)

• Fórmula general

  • n = -log_2(log_2(√√...√2))
  • Esta fórmula usa tres doses, pero se puede ajustar a cuatro usando 2 = √(2+2):
    • n = -log_√(2+2)(log_2(√√...√2))

• Una solución que cumple las reglas del rompecabezas

  • Este método cumple con las reglas del rompecabezas y permite representar todos los números.
  • Por ejemplo, otra manera de expresar 7:
    • 7 = -log_√(2+2)(log_2(√√√√√√√2))

• Material de referencia

  • Leí esta historia en el libro de Graham Farmelo The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius.

[GN⁺]

Comentarios en Hacker News

• Se siente como que se pierde el espíritu del juego si se permite usar funciones

  • Por ejemplo, la función gamma es (n-1)!
  • Ahora se puede hacer 7 con cuatro 2 y un 1
  • Si puedes ocultar números dentro de llamadas a funciones, siempre resulta fácil tener éxito

• Si se permite usar operaciones matemáticas

  • entonces se puede resolver fácilmente usando funciones sucesoras
  • Ejemplo: S(n) = n+1
    • 6 = 222-2
    • 7 = S(222-2)
    • 8 = S(S(222-2))

• Donald Knuth escribió a los 26 años, en 1964, un artículo llamado "Representing numbers using only one 4"

  • Usa un solo dígito 4 y tres operaciones (√x, ⌊x⌋, x!)
  • Termina con una conjetura abierta sobre si todos los enteros pueden representarse de esta manera
  • En el apéndice menciona un artículo de 1962 de J. H. Conway y M. J. T. Guy titulado "π in Four 4's"

• Parece una elección extraña escribir sqrt(2*2) o sqrt(2^2) en vez de sqrt(2+2)

  • Oculta innecesariamente la razón por la que 2=sqrt(2+2)

• Prefiero la concisión

  • Hice una máquina de pila con comandos de un solo carácter
  • Solo se podían usar los dígitos del 0 al 9
  • Para expresar el número 23 había que usar algo como 45*3+
  • Había que resolver el problema de codificar cada entero con la menor cantidad de caracteres posible

• Esto me recuerda al juego móvil Tchisla

  • Hay que construir números de hasta 1000 (o 10000) usando solo los números dados y unos pocos operadores
  • Es muy divertido y te lleva a desarrollar estrategias
  • La UX es simple y eficiente
  • Consume muchísimo tiempo

• Hay un pequeño problema al usar tres 2

  • La notación de raíz está ocultando un exponente de 1/2
  • Hay muchos doses ocultos

• Existe el clásico juego de "four fours"

  • Lo aprendí de niño en el libro "The Man Who Counted"

• Usar la raíz cuadrada de un número arbitrario casi parece hacer trampa

  • La raíz cuadrada es básicamente otro símbolo para "2"

• Realmente no parece tan difícil definir 7

  • 7 = 2/2 + 2 + 2 + 2