El arte perdido de los logaritmos — el webbook de Charles Petzold

 (lostartoflogarithms.com)
1 puntos por GN⁺ 2025-03-14 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • Un webbook que Charles Petzold está escribiendo, que conecta temas como la historia y el uso de los logaritmos con la multiplicación, las potencias, la trigonometría, la música y las gráficas
  • Su eje central son los logaritmos como herramienta de cálculo y la regla de cálculo, e incluye no solo la teoría sino también el proceso de calcular directamente y construir herramientas
  • El color de los títulos de los capítulos distingue el estado de escritura, para que el lector pueda identificar de inmediato cuáles están casi terminados y cuáles siguen cambiando o aún no han comenzado
  • Todavía no ha pasado por una edición profesional, y la meta de finalización completa está fijada para finales de 2027
  • Está optimizado principalmente para verse en computadoras de escritorio y laptops; en iPad Mini con iOS 12.5.7 y en teléfonos pueden surgir problemas de visualización

Alcance del webbook y estado de redacción

  • The Lost Art of Logarithms es un webbook que Charles Petzold está escribiendo
  • Trata los logaritmos no como un simple concepto matemático, sino como una herramienta a lo largo de la historia del cálculo y de la ciencia
    • qué son los logaritmos
    • su utilidad, historia y universalidad
    • los usos históricos de los logaritmos en la trigonometría plana y esférica
    • la teoría y el uso práctico de la regla de cálculo
  • El color de los títulos de los capítulos indica la etapa actual de redacción
    • Verde: está casi terminado y no se esperan cambios grandes, aunque pueden hacerse pequeñas ediciones, correcciones y ajustes de formato
    • Rojo: está incompleto y actualmente sigue cambiando
    • Negro: todavía no ha comenzado
  • Aún no ha pasado por edición profesional, y la fecha estimada de finalización es finales de 2027

Entorno de lectura y estructura del índice

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2025-03-14
Opiniones en Hacker News

  • Entendí mucho mejor los logaritmos siguiendo su motivación original, en lugar de la forma en que se enseñan en primaria y secundaria.
    Si uno piensa en el problema que enfrentó Napier —simplificar la multiplicación de grandes valores de observaciones astronómicas— y en cómo buscó una función de la forma f(ab) = f(a) + f(b), y por qué eso lleva a una familia específica de funciones, se entiende mejor por qué los logaritmos aparecen en todas partes.
    Contrasta con enseñarlos como la función inversa de la exponencial; de hecho, ese tipo de discusión no apareció sino hasta Euler.
    Creo que las matemáticas también son más interesantes cuando se aprenden así: siguiendo cuál era el problema que el autor original intentaba resolver y qué herramientas estaban disponibles en ese momento.

    • "Calculus: The Genetic Approach", de Toeplitz, explica las matemáticas a través de su desarrollo histórico, y este enfoque parece usarse más ampliamente como https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method.
      Felix Klein también dijo que “a pequeña escala, el aprendiz debe repetir de manera natural e inevitable el desarrollo que la ciencia atravesó a gran escala”.
    • Si te gusta este enfoque, recomiendo mucho Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning, de Kolmogorov.
      Es un libro que aplica el mismo método a muchos más conceptos matemáticos, y tiene unas 1,000 páginas.
      Creo que también conocí ese libro por aquí, así que ahora lo estoy pasando de nuevo.
      Este enfoque también estaba relacionado con la filosofía soviética del materialismo dialéctico, que sostiene que todo surge de necesidades materiales.
      No sé si estoy completamente de acuerdo con toda esa filosofía, pero el libro de Kolmogorov realmente me abrió los ojos.
    • Creo que este enfoque debería estar al frente.
      Con ese espíritu propongo "magnitude notation"[0]. La palabra “logarithm” suena a matemáticas avanzadas y aleja a la gente, pero en realidad el concepto básico hace que las matemáticas sean más fáciles y más divertidas.
      https://saul.pw/mag
    • Pienso esto a menudo.
      La educación matemática parece tender a atraer a personas muy inteligentes y abstractas como Euler, es decir, gente que entiende por intuición y no mediante procedimientos de manipulación.
      Para los demás, hay que nadar un buen rato dentro del problema original antes de que por fin se vea la luz.
    • Más bien, me parece mejor la explicación directa de que los logaritmos son la inversa de los exponentes.
      Es más intuitivo porque se puede entender automáticamente que 10^2 * 10^3 = 10^5.
      Por eso, al usar tablas de logaritmos, la suma tiene sentido. No hacía falta un texto largo.
      Tomas el logaritmo, sumas 2 + 3 = 5, y luego vuelves a elevar a potencia para obtener 10^5.

  • Llega en buen momento. Justo ayer aprendí a usar una regla de cálculo.
    Cuando quise comprar una, había tantas opciones que caí en una pequeña madriguera[0], y algunas reglas de cálculo parecían verdaderas obras de arte.
    En estos tiempos en que todas las interfaces son placas de vidrio, estoy redescubriendo las ventajas inesperadas que pueden ofrecer las herramientas analógicas.
    Últimamente disfruto usar pluma y papel como si fueran un editor para hacer los primeros borradores de proyectos de programación.
    Me da curiosidad si tienen alguna herramienta analógica favorita.
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • A veces, mientras tomo clases de matemáticas, pienso en comprar alguna de estas herramientas analógicas.
      Alguien en Hacker News me hizo interesarme por el soroban[1], el ábaco japonés, que todavía se usa para entrenar velocidades enormes de cálculo mental[2].
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • Tengo varias reglas de cálculo y las uso todos los días.
      En particular, en la cocina, donde se ajustan proporciones con frecuencia, son la mejor herramienta posible.
      Si la dejas ajustada a la escala que quieres, puedes leer cualquier proporción necesaria en un abrir y cerrar de ojos.
      Sinceramente, me sorprende que no sean equipo estándar en la cocina.
    • Soroban. Es el ábaco japonés.
      Cada número tiene una sola representación, y permite hacer + - * / y otros cálculos.
      http://totton.idirect.com/
    • Uso pluma/lápiz y papel punteado. Abre un espacio mental completamente distinto.
    • ¿Dónde se puede conseguir la regla de cálculo de 1 metro que sostiene el hombre en la foto del artículo original?

  • Es interesante que, al aplicar una transformación logarítmica, los datos a menudo parezcan volverse una distribución normal.
    Las leyes naturales suelen tener forma multiplicativa. Ecuaciones como F=ma y PV=nRT.
    Si multiplicas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, obtienes datos con distribución lognormal gracias al teorema central del límite. Esto se debe a que, en escala logarítmica, la multiplicación es suma, y el teorema central del límite es bastante robusto incluso cuando las variables no están idénticamente distribuidas.
    Si ves los datos como el resultado de la multiplicación de varios factores de influencia, por eso aparece la distribución lognormal.

    • El teorema central del límite no requiere variables independientes e idénticamente distribuidas.
      Basta con que sean independientes, tengan varianza y cumplan condiciones bastante débiles sobre un orden un poco más alto.
      Más allá de eso, las variables pueden ser bastante distintas entre sí.
    • Si los trazas en escala log-log con un marcador grueso, todos los datos son lineales.

  • Hay un dato sobre logaritmos que he usado con frecuencia:
    Si X es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 y 1, entonces –ln(X)/λ tiene una distribución exponencial con tasa λ.
    Es útil, por ejemplo, al tomar muestras aleatorias ponderadas o al generar tiempos de eventos en simulaciones.

    • La generalización de esto se llama muestreo por transformada inversa[0].
      Usa el hecho de que, para la función de distribución acumulada F de una variable aleatoria arbitraria X, la variable aleatoria Y = F(X) sigue una distribución uniforme estándar[1].
      Como toda función de distribución acumulada es monótonamente creciente en el intervalo unitario, puede tener una inversa[2].
      Entonces, si se aplica la función de distribución acumulada inversa a ambos lados de la expresión anterior, se obtiene F^-1(Y) = X, por lo que queda distribuida como X.
      Tomar muestras de la distribución uniforme estándar y luego usar la transformada inversa es la forma más común de generar números aleatorios de una distribución arbitraria.
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. Como no todas las funciones de distribución acumulada son uno a uno, puede hacer falta una inversa generalizada.
    • ¿Cuánta matemática habría que estudiar para entender esto?
    • También hay una forma de entenderlo sin usar funciones de distribución acumulada ni funciones de densidad de probabilidad.
      Cuando X es una variable con distribución exponencial y c es una constante, si se condiciona a que tome valores grandes, X + c tiene la misma distribución que X.
      En otras palabras, las dos variables tienen la misma distribución de cola. Esta propiedad se cumple exactamente en la distribución exponencial y suele llamarse falta de memoria.
      De forma similar, si U tiene distribución uniforme en [0, 1] y c es una constante, al condicionar a que tome valores pequeños, cU tiene la misma distribución que U.
      Si cU se distribuye cerca de 0 como U, entonces -ln(c U) se distribuye cerca de infinito como -ln(U).
      Pero como -ln(c U) = -ln(c) - ln(U), la cola de -ln(U) no cambia aunque se le sume una constante. Por lo tanto, debe tener distribución exponencial.

  • Empecé a usar LMAX Disruptor en algunos proyectos.
    Una particularidad de Disruptor es que el tamaño de la cola siempre debe ser una potencia de 2.
    Quería asegurarme de que, para cualquier tamaño, hubiera al menos espacio suficiente, y no quería calcularlo manualmente, así que escribí esto:
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    Es un poco excesivo para una sola línea, pero solo usa reglas básicas de logaritmos para obtener el exponente correcto.
    Es algo que se aprende en la secundaria, pero algunos colegas lo veían como si estuviera usando una matemática misteriosa y sin precedentes.
    Supongo que no usan logaritmos fuera de la notación Big O.

    • Claro que así también funciona perfectamente, pero yo probablemente escribiría algo como esto:
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      Solo para evitar el terror oculto bajo los humildes pow() y log().
      Integer.highestOneBit también se conoce como “aislar el bit más a la izquierda” o “el 1 más significativo”, y para implementarlo eficientemente prácticamente tendría que ser una operación primitiva.
      No es lo mismo que x&-x para el bit menos significativo.
      La instrucción real de la CPU normalmente se parece más a Integer.numberOfLeadingZeros, pero desde ahí basta con hacer un desplazamiento de bits.
    • Si desplazas el tamaño 1 bit a la derecha repetidamente y cuentas cuántas veces hasta que el valor llegue a 0, puedes obtener el exponente de 2 para ese tamaño.

  • Recomiendo mucho memorizar algunos logaritmos para hacer cálculo mental.
    Me dio una habilidad inesperada.
    El texto con el que empecé está aquí: https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • El blog es bueno.
      Curiosamente, la decadencia de la memoria en sí misma también es esencialmente logarítmica/exponencial.
      Aprender logaritmos con repetición espaciada es bastante meta.
    • Me da curiosidad saber qué reflexiones surgieron después de aplicarlo de verdad durante el año posterior a ese artículo.
      Además, ese blog es uno de mis blogs favoritos.

  • La diferenciación logarítmica también es un concepto sorprendentemente fundamental.
    (ln(f))' = f'/f
    En teoría de funciones se usa todo el tiempo, pero la gente no suele notar que está relacionada con los logaritmos.
    Las funciones en las que la diferenciación logarítmica sale de forma elegante también son mucho más interesantes de lo que uno esperaría.
    La naturaleza está llena de funciones de Gompertz, y una vez que te familiarizas con ellas, las ves por todas partes.

  • Antes tenía valor práctico poder hacer en la cabeza aproximaciones básicas con logaritmos.
    En la época sin calculadoras, así se hacían multiplicaciones, divisiones o potencias rápidas.
    En "Surely You're Joking" de Feynman hay una historia sobre científicos de Los Alamos compitiendo para ver quién calculaba logaritmos mentalmente más rápido.

  • John Napier, el padre de los logaritmos, es decir, la N de ln, prácticamente dirigía un taller de calculadoras humanas para que elaboraran tablas de logaritmos durante unos 20 años.
    Esto fue muy importante para la navegación astronómica.
    Había un gran premio para quien desarrollara una forma de cruzar el mar de manera segura, y eso también condujo a la invención del reloj de bolsillo.

    • ¿La n de ln no viene de “natural”, es decir, “logarithm natural”?

  • En una clase dictada por Huffman, famoso por la compresión Huffman, aprendí cómo multiplicar usando sumas y tablas de consulta.
    En los exámenes no se podía usar calculadora.
    Pero mi truco favorito es el cambio de base: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    Con un poco de práctica, puedes hacer mentalmente cambios de base aproximados entre potencias de 2, potencias de 10 y e.