Introducción al álgebra lineal explicada con líneas

• Este texto presenta los conceptos básicos del álgebra lineal junto con ilustraciones
• Al inicio se enfoca en explicar la eliminación gaussiana y los conceptos de visión por filas vs. visión por columnas
• Usa ejemplos realistas (monedas, comida) para explicar de forma sencilla las ecuaciones lineales y el proceso de encontrar sus soluciones
• Destaca el cambio de perspectiva matemática más allá de las secuencias, incluyendo vectores y notación matricial
• Subraya que la esencia del álgebra lineal está en trabajar con arreglos, vectores y matrices en lugar de solo números

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Introducción

Este texto es un material introductorio para personas que conocen el álgebra tradicional pero no el álgebra lineal.
Los dos conceptos importantes que se abordan primero son la eliminación gaussiana (Gaussian elimination) y la visión por filas (row picture) vs. la visión por columnas (column picture).

Ejemplo del dinero

• Se explica el problema de calcular cuántas monedas de cinco centavos (nickel) y cuántas monedas de un centavo (penny) se necesitan para formar 23 centavos
• x es la cantidad de monedas de cinco centavos y y es la cantidad de monedas de un centavo. Al expresarlo como ecuación, se convierte en una ecuación lineal que forma 23 con una combinación de valores de x e y
• En este ejemplo puede haber varias soluciones (por ejemplo, 4 monedas de cinco centavos y 3 de un centavo, o 23 monedas de un centavo)
• Se enfatiza que una ecuación lineal (linear equation) es una expresión matemática sin curvas ni huecos, donde todo está en un plano
• Ajustar un número con 2 variables es fácil, pero cuando aparece la situación de ajustar dos números al mismo tiempo con 2 variables, se vuelve más complejo, y ahí es donde la eliminación gaussiana resulta útil

Ejemplo de comida

• Hay dos tipos de alimentos, como pan (bread) y leche (milk), y con base en la información de carbohidratos (carbs) y proteína (protein) de cada alimento, se busca la combinación que cumpla un objetivo dado (por ejemplo, 5 g de carbohidratos y 7 g de proteína)
• En este caso hay que construir dos ecuaciones y encontrar los valores de x (cantidad de leche) e y (cantidad de pan)
• Para este tipo de problema se usa la eliminación gaussiana

Eliminación gaussiana

• Se explica el proceso de reescribir el problema como dos ecuaciones lineales y luego restar o sumar a una ecuación un múltiplo fijo de la otra para eliminar variables una por una y acotar los valores
• En el ejemplo, se elimina y, se obtiene el valor de x, y luego se sustituye de nuevo para encontrar el valor de y
• Como resultado, la respuesta correcta es 3 unidades de leche y 1 de pan
• Se menciona que la eliminación gaussiana es una técnica general con una larga historia

Forma de entenderlo con dibujos

• Si arriba se resolvió con el enfoque de visión por filas (row picture), ahora el problema se resuelve visualmente mediante dibujos/gráficas
• Cada ecuación se transforma con x (leche) como referencia y se dibuja una recta en la gráfica
• La gráfica de la primera ecuación representa todas las combinaciones de leche y pan que cumplen el objetivo de carbohidratos (los puntos sobre la línea)
• La segunda ecuación se representa de la misma manera
• Se enfatiza que, para cumplir ambos objetivos al mismo tiempo, la respuesta correcta es el único punto donde las dos rectas se cruzan
• Este método también termina dando como resultado 3 unidades de leche y 1 de pan
• Se explica que la eliminación gaussiana es una técnica muy básica pero indispensable, usada durante más de 2000 años incluso sin álgebra lineal

Visión por columnas (Column Picture)

• Antes se había puesto el foco en la visión por filas (row picture), que observa cada ecuación por separado, pero ahora se introduce la visión por columnas (column picture)
• Se combinan las dos ecuaciones en una sola expresión y los coeficientes se representan como arreglos (vectores)
• Puede pensarse en un vector como un arreglo con elementos numerados en orden (similar a un vector en ciencias de la computación)
• Graficar vectores: un vector puede representarse como un punto o como una flecha
• Si se visualiza la suma entre vectores, es posible confirmar de forma intuitiva la ruta hacia la respuesta (por ejemplo, sumar tres veces el vector de leche y una vez el vector de pan)
• También se explica que la multiplicación y la suma de vectores son operaciones aplicadas a cada elemento del vector
• El enfoque de visión por columnas usando vectores puede ser, en muchos sentidos, más intuitivo que el método anterior

Entender el álgebra lineal

• Se recuerda que el punto central del álgebra lineal es cambiar de una forma de pensar centrada en números a una centrada en arreglos y vectores
• Tanto la visión por columnas como la visión por filas son formas clave de visualización en álgebra lineal
• Por último, se presenta brevemente la notación matricial (matrix), mostrando que todo el sistema puede organizarse en forma de matriz x vector

Avance de lo que sigue

• En capítulos futuros se abordarán con más detalle conceptos importantes del álgebra lineal, como matrices y producto punto (dot product)
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Lecturas adicionales y cierre

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Opiniones de Hacker News

• Estoy de acuerdo en que el contenido es claro y útil, pero en el ejemplo se usan los números 1 y 2 para representar al mismo tiempo pan y leche, así que al ver la forma matricial es difícil distinguir intuitivamente cuál 1 es pan y cuál 1 es leche. Creo que habría sido mucho más claro si se hubieran usado números distintos, como 1, 2, 3 y 4.

  • Estoy de acuerdo con esa observación. Al estudiar álgebra lineal aparecen muchísimos números y el orden realmente importa, así que cuando uso números de ejemplo prefiero secuencias especiales, como números primos, porque así también es más fácil ver qué número contribuyó al resultado de una multiplicación.

• Me gustó mucho la segunda mitad de la entrada del blog, pero empezar con eliminación gaussiana me parece un enfoque un poco "misterioso", aunque no encuentro la palabra exacta. Siento que primero debería aparecer el problema ("¿cómo resolvemos un sistema de ecuaciones?" "¿cómo hallamos la intersección de dos rectas?"), luego mostrarlo gráficamente, y después introducir el método o algoritmo. Hacerlo al revés se siente como enseñar primero la regla de la cadena en cálculo sin su significado geométrico.

  • Soy el autor: sí, creo que tienes razón. Escribí la parte de eliminación gaussiana como repaso porque asumí que la mayoría de los lectores ya la había visto, y quería llegar rápido al contenido principal. Si más personas sintieron dificultad en esa parte, me gustaría escuchar sus comentarios. Quizá sí haga falta explicarlo con más calma y detalle.

  • Todavía no me queda claro algo como "¿qué significa que podamos eliminar?", pero la forma en que tú (autor) introduces la perspectiva de columnas en sí me parece muy atractiva y realmente útil para principiantes como yo.<br>Además, hay muchísimos libros de álgebra lineal, pero todos difieren en contenido y en orden. Por eso siento que el álgebra lineal es difícil tanto de enseñar como de entender. Creo que hacen falta más perspectivas distintas, porque no existe un único enfoque que le funcione igual a todo el mundo.

• Me gustó mucho este artículo. Creo que sería menos confuso si, en vez de usar solo x e y como nombres de variables para pan y leche, se usaran otras letras, porque después x e y terminan cambiando a otros conceptos de x e y en gráficas, como carbohidratos y proteínas.

  • Definitivamente parece haber algo confuso con el tema de las variables. Vale la pena pensar qué parte convendría cambiar.

• Qué gusto volver a ver trabajo de Aditya Bhargava. Ya era fan desde los tiempos de Grokking Algorithms.

  • Gracias, escribir ese libro fue muy divertido.

• Está bastante bien. El álgebra lineal fue un completo misterio para mí hasta que llevé un semestre en la universidad. Está muy bien organizado.<br>Para alguien que no esté familiarizado con la idea de un vector, quizá sería mejor explicar brevemente cómo dos vectores (magnitud y dirección) representan cada uno 1 pan y 1 leche, y cómo se puede mover o sumar un vector.

• Ojalá hubiera más contenido así en el mundo. Hacer buen contenido educativo de matemáticas es realmente difícil. Está buenísimo.

• Me gusta mucho el método de explicación visual y la forma de motivarlo. Ahorita estoy estudiando álgebra lineal con algunos recursos como "The No Bullshit Guide to Linear Algebra", y me parece bastante bueno. Si alguien tiene más recomendaciones de libros de álgebra lineal de este nivel, prácticos y aplicables de forma directa, estaría genial que las compartiera. La mayoría de los libros se sienten demasiado teóricos o con una barrera de entrada muy alta.

  • Yo también estoy revisando libros de texto de LinAlg en este momento. Me interesa desde la perspectiva de ML/AI, así que me estoy acercando por ese lado.<br>Ya cursé hasta álgebra lineal en KA academy y lo complemento con otros recursos y libros.<br>La gente probablemente va a recomendar 3B1B y Strang (el curso de LinAlg de MIT OCW). 3B1B es genial como introducción por lo intuitivo que es, pero para estudiar en serio por primera vez se me hace un poco rápido, y Strang es realmente excelente, aunque a veces se desvía en sus clases y cuesta seguirle el ritmo. Aun así, lo uso de todas formas como material de apoyo.<br>LADR4e (Linear Algebra Done Right) también es bueno, pero la parte de las demostraciones es difícil y todavía no logro seguirlo por completo.<br>También están 'Linear Algebra done wrong' y los libros de Hefferon, pero esos también se vuelven bastante rápido muy centrados en demostraciones. Parecen excelentes para una segunda o tercera vuelta de estudio.<br>Además, existe incluso una materia aparte llamada 'abstract linear algebra', y la diferencia de complejidad con los libros tradicionales de álgebra lineal no es tan grande.<br>Con lo que sí avancé bastante fue con el libro de ROB101 (https://github.com/michiganrobotics/rob101/blob/main/Fall%202021/Textbook/ROB_101_December_2021_Grizzle.pdf), que usé principalmente hasta independencia lineal, junto con las clases de Strang del MIT.<br>ROB101 también cubre bien la parte de programación, así que encaja bien para pensarla junto con código en ML/AI.<br>También tengo algunos libros de matemáticas de Europa del Este para practicar ejercicios.<br>Últimamente he estado repasando el curso/libro de texto de https://www.math.ucdavis.edu/~linear/ y también me han ayudado mucho las notas de https://math.berkeley.edu/~arash/54/notes/.

  • Un libro que de verdad leí con mucho interés fue "Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares". <br>https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/

  • Dijiste que tu meta era una "comprensión práctica y directamente aplicable", pero me da curiosidad saber a qué quieres aplicarlo exactamente. En mi opinión, estudiar teoría (por ejemplo, álgebra lineal) solo con una motivación práctica se siente un poco raro. En realidad, ¿por qué no leer un libro de aplicación real y llevar la teoría en paralelo? Y si de verdad llega una situación en la que la teoría sí es indispensable, entonces no queda otra que aprenderla aunque el contenido sea difícil.<br>Por ejemplo, el álgebra lineal es muy importante para estudiar mecánica cuántica, así que para ese objetivo quizá incluso convenga más empezar viendo primero un libro de mecánica cuántica.

  • Escribiste que tu meta era un nivel "práctico, directamente aplicable", y a mí me pasa lo mismo. Creo que ML es un área perfecta para usar esto en la práctica. Yo también estoy preparando una serie sobre ese tema.

• Siento que también hay que mencionar la serie de álgebra lineal de 3blue1brown. Está un poco por encima del nivel de este artículo, pero explica increíblemente bien y sigue siendo bastante accesible.<br>https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

  • Los videos de 3B1B son realmente impresionantes, pero los de álgebra lineal se me hacen un poco rápidos, y esa fue precisamente la razón por la que empecé a escribir esta serie.

  • También es increíble que el framework gráfico que usa 3B1B esté publicado como open source.<br>https://github.com/ManimCommunity/manim

• Siempre que leo este tipo de artículos, al principio pienso: "¡Wow! ¡Por fin apareció alguien que puede explicar matemáticas de una manera que yo entienda!", pero al llegar a la parte de eliminación gaussiana vuelvo a perder el hilo.

• El nombre Josh Starmer me hace pensar automáticamente en la expresión "Bam!". No sé si alguien más recuerde ese libro donde explicaba machine learning con dibujos; también veía mucho su canal de YouTube hace tiempo. Siento que este tipo de contenido explicativo de verdad hace que aprender sea más divertido.