- Artículo académico que documenta en detalle la precocidad matemática de Terence Tao, nacido en 1975, mediante tres evaluaciones directas realizadas en 1983, y que recoge cómo un niño de 7 a 8 años adquirió por autodidactismo matemáticas de nivel universitario
- A los 7 años cursaba matemáticas y física de 11.º grado, y obtuvo 60/60 en el ACER Operations Test, un resultado muy por encima del puntaje esperado promedio de 53/60 para estudiantes de 12.º grado
- A los 8 años ya había aprendido por su cuenta la definición de grupo y campo, los principios y reglas del cálculo, e incluso integración por fracciones parciales; además, quedó en el puesto 19 entre unos 2,000 participantes en la competencia nacional de matemáticas de 11.º grado de Australia del Sur
- Prefería métodos de resolución analíticos y no visuales, y aunque también logró 27/30 en una prueba de visualización espacial (promedio de 12.º grado: 24/30), mostró cierta dificultad para manipular imágenes visuales complejas
- Bajo una política educativa cautelosa y flexible por parte de sus padres, se planeó su ingreso al Departamento de Matemáticas de Flinders University en 1985, a los 9 años, subrayando la importancia de un modelo educativo que equilibrara las necesidades intelectuales, sociales y emocionales de los niños superdotados
Introducción y contexto
- El 27 de abril de 1983, Terence Tao apareció en la portada del diario de Adelaide Advertiser con el titular "TINY TERENCE, 7, IS HIGH SCHOOL WHIZ"
- Pasaba 2/5 del horario escolar en Blackwood High School asistiendo a clases de matemáticas y física de 11.º grado, y el resto en Bellevue Heights Primary School
- A los 2 años aprendió a leer y escribir por sí mismo viendo Sesame Street, y sus profesores evaluaban su capacidad académica al nivel de un joven de 16 años, aunque su madurez era la de un niño de 7
- Un profesor de matemáticas de secundaria comentó que Terence se adaptaba bien a clase y terminaba las tareas dos clases antes que los demás estudiantes
- Sus pasatiempos eran la computación, los kits de electrónica y la lectura de novelas de ciencia ficción (The Restaurant at the End of the Universe, entre otras)
- Su padre, Dr Billy Tao, era un pediatra de origen chino, y su madre, Grace Tao, originaria de Hong Kong, era egresada en física y matemáticas; ambos se formaron en la University of Hong Kong y emigraron a Australia en 1972
- Debajo de Terence estaban sus dos hermanos menores, Trevor y Nigel
Primera evaluación (16 de julio de 1983)
- La evaluación comenzó con una visita al hogar un día antes de su octavo cumpleaños
- Al llegar, Terence estaba leyendo en una esquina de su habitación un libro de tapa dura titulado Calculus, y era de complexión pequeña incluso para un niño de 7 años
- Logró una puntuación perfecta de 60/60 en las 60 preguntas del ACER Operations Test
- Según ACER, el puntaje esperado promedio para estudiantes de 12.º grado era 53/60
- Entre los alumnos de primaria sobresalientes evaluados anteriormente, ninguno había superado 57/60, y Terence era el niño más pequeño en presentar la prueba
- Antes de empezar le avisaron que "las preguntas se vuelven más difíciles hacia el final", y Terence respondió: "Los problemas no se van a dar cuenta aunque yo me ría, porque no tienen orejas"
Resolución oral de problemas de Krutetskii
- Se le presentaron por escrito 8 problemas tomados de Krutetskii (1976), pero se le pidió resolverlos mentalmente y explicar oralmente su proceso de razonamiento
- Problema 1 (si dos círculos se intersectan): respondió correctamente diciendo que "si no se cruzan, la distancia entre los centros debe ser al menos 5", y lo explicó con gestos de las manos
- Problema 2 (ángulo que gira la aguja horaria en 20 minutos): "1/3 × 1/12 = 1/36; 1/36 de 360° es 10°"
- Problema 3 (peso de un bidón de queroseno): planteó una ecuación algebraica y obtuvo correctamente 7 kg para el queroseno y 1 kg para el recipiente vacío
- Problema 4 (problema de tiempo): "1 unidad + 3 unidades = 12 horas, 1 unidad = 3 horas, así que son las 3 p. m."
- Problema 5 (problema de alcance): primero respondió 35 minutos, pero se corrigió a sí mismo y lo cambió a 15 minutos
- Problema 6 (longitud de lados en triángulo rectángulo): señaló que "el tercer lado sería 1 cm... pero según el teorema de Pitágoras debería ser √8, así que es imposible"
- Problema 7 (número de triángulos): respondió correctamente 8
- Problema 8 (reparto de cuadernos): concluyó que "no se puede resolver" por falta de información y propuso varias combinaciones posibles
- Completó oralmente los 8 problemas en solo 9 minutos, siendo el primer alumno de primaria en acertarlos todos
Definiciones algebraicas y comprensión conceptual
- Al resolver el ACER Operations Test, se observó su hábito de anotar las leyes pertinentes, como la asociativa, en cada paso algebraico
- Explicó correctamente las leyes asociativa y conmutativa de la suma en los números reales
- Enunció con precisión la definición de grupo: "un conjunto que se mapea sobre sí mismo mediante una operación binaria, donde vale la asociatividad, existe un elemento identidad e y cada elemento tiene inverso"
- Respondió de inmediato que en un grupo abeliano se cumple la conmutatividad
- A la definición de campo respondió "no lo sé" (más adelante la aprendería por su cuenta antes de la segunda evaluación)
- Explicó correctamente la ley distributiva, dio ejemplos de que la multiplicación distribuye sobre la suma, y dijo que la suma distribuye sobre la multiplicación "solo en álgebra booleana"
- Resultó llamativo que un niño de 7 años usara con soltura lenguaje y símbolos matemáticos altamente sofisticados
Resolución escrita de problemas
- Hizo de inmediato un boceto de la gráfica de y = x² + x, y calculó mediante derivación el vértice (-1/2, -1/4) en unos 20 segundos
- Completó en aproximadamente 1 minuto un boceto de la gráfica de y = x³ − 2x² + x, pese a que en la escuela todavía no había aprendido cálculo
- Con preguntas adicionales se confirmó que entendía las matemáticas escolares tradicionales hasta el nivel de 11.º grado, así como los principios y reglas básicos de la diferenciación
- En general, mostró una marcada preferencia por un estilo analítico y no visual para resolver problemas
Entorno familiar y forma de aprendizaje
- Su madre, Grace Tao, tenía experiencia enseñando ciencias, física, química y matemáticas en Hong Kong y Australia
- Su papel consistía en orientar y estimular el aprendizaje matemático de Terence, pero no en enseñarle directamente, porque a Terence "no le gusta que le digan qué hacer en matemáticas"
- Una noche de 1983, mientras Terence pensaba en un problema de fracciones continuas, Grace le sugirió: "Prueba con una ecuación cuadrática"; él de inmediato lo transformó en x² − x − 2 = 0 y obtuvo x = 2 (por la condición de positividad)
- Después de la escuela leía por su cuenta materiales de matemáticas 3 a 4 horas al día
- Aprendió BASIC por su cuenta en una computadora Commodore (a partir de libros) y escribió personalmente programas matemáticos como 'Euclid's algorithm', 'Fibonacci' y 'Prime Numbers'
- Su programa sobre Fibonacci incluía un juego para adivinar el año de nacimiento de Fibonacci y la función de imprimir la sucesión, mostrando un carácter creativo y con humor
- Estos programas fueron escritos a inicios de 1982 (cuando tenía 6 años)
Segunda evaluación (20 de agosto de 1983)
- Cinco semanas después hubo una nueva visita; Terence ahora tenía 8 años
- Había obtenido el puesto 19 entre unos 2,000 participantes en la competencia nacional de matemáticas de 11.º grado de Australia del Sur (presentada cuando tenía 7 años)
- Esto resulta aún más notable considerando que la mayoría de las escuelas solo inscriben a sus mejores alumnos de matemáticas
Demostración de campo
- Al preguntarle si S = {a + b√2 : a, b ∈ R} es un grupo bajo la suma, lo demostró de inmediato
- Luego, al preguntarle si (S, +, ×) es un campo, después de que cinco semanas antes había dicho que no sabía qué era un campo, explicó tras haberlo estudiado por su cuenta lo siguiente:
- (S, +) es un grupo abeliano
- La asociatividad y conmutatividad de la multiplicación se cumplen por las propiedades de los números reales
- El elemento identidad multiplicativo es 1 + 0√2
- El inverso multiplicativo se obtiene racionalizando (excepto para 0)
- Se cumple la distributividad
- La elegancia y concisión de esta demostración eran del nivel de un estudiante universitario de matemáticas
Conocimientos de integración
- Respondió correctamente las antiderivadas de x², √x, sin x, sec²x, 1/(1+x²) y 1/√(1−x²)
- Sobre la antiderivada de 1/x, respondió: "todavía no he leído hasta allí"
- En la integral de 1/(1−x²), usó la sustitución x = cos θ para transformarla a una forma con -cosec θ, pero aún no conocía la descomposición en fracciones parciales → dijo que la aprendería por su cuenta en las semanas siguientes
- Resolviendo el área bajo la gráfica de sin x, llegó de inmediato y correctamente a la respuesta 2
- Calculó correctamente la integral impropia del área entre y = 1/x² y el eje x (x ≥ 1), obteniendo 1
Prueba de visualización espacial
- Obtuvo 27/30 en el Monash Space Visualization Test (promedio de 12.º grado: 24/30)
- Parte de sus 3 errores se atribuyó a dificultades para manipular imágenes visuales complejas
- Después de la prueba, al pedirle que explicara oralmente el método usado, se confirmó con claridad su preferencia por métodos analíticos y no visuales antes que visuales
- Por ejemplo: en vez de imaginar cómo se pliega una figura, verificaba cada forma usando la ley de la reflexión
- Según Burden and Coulson (1981), quienes prefieren métodos analíticos tienden a mostrar mejores resultados en pruebas espaciales
- Krutetskii (1976) sostenía que la capacidad de conceptos espaciales o de visualizar relaciones matemáticas abstractas no es un componente indispensable del talento matemático
Registro de lecturas y tarea abierta
- Se revisó una lista de 22 libros de matemáticas leídos en los dos años previos, incluidos Flatland, International Mathematical Olympiads 1959-1977 y Calculus: Pure and Applied
- Tendía a leer los libros completos, no solo partes, y según su padre tenía una memoria sorprendente de lo leído
- Realizó una tarea abierta sobre sucesiones formadas por suma de cuadrados de dígitos (unos 20 minutos)
- Confirmó rápidamente que 4, 5, 6, 8 y 9 generan sucesiones como las de 2 y 3
- Conjeturó que no existirían otros tipos de sucesiones, pero no ofreció una demostración
- Planteó la interesante pregunta de si aparecería un patrón similar en bases distintas de la decimal
- No consideró números naturales de dos o más cifras, por lo que el resultado quedó algo corto frente a lo que se esperaba de un análisis más profundo
Problema de combinaciones de monedas
- Dr Max Stephens le preguntó cuántas sumas distintas podían formarse con las 6 monedas australianas
- Primero respondió 720 y luego añadió que "todas darán el mismo valor"
- Al reformular la pregunta, respondió de inmediato que con 6 monedas había 2⁶ − 1 = 63 formas
- Ante la pregunta adicional de si algunas combinaciones podían producir la misma suma, argumentó al instante que era imposible porque "cada moneda vale más que la suma de todas las monedas menores"
Problema de criptosuma
- Resolvió rápida y correctamente el problema A + MERRY + XMAS = TURKEY (K=3) explicando oralmente su razonamiento
- Esto volvió a confirmar una estrategia analítica y lógica basada en plantear y resolver sistemas de ecuaciones
Horario escolar (tercer trimestre de 1983)
- Asistía tanto a Bellevue Heights Primary School (5.º grado) como a Blackwood High School
- En secundaria: cultura general de 8.º grado, física de 11.º grado y matemáticas de 12.º grado
- En primaria: ortografía, lectura, educación física, estudios sociales, deporte, teatro, arte, música y poesía
- Como ya había cubierto todo el contenido de matemáticas de 11.º grado, desde el tercer trimestre pasó a clases de matemáticas de 12.º grado
- Su madre Grace proporcionaba personalmente el transporte entre ambas escuelas
Informes de psicólogos
- A los 4 años y 7 meses (febrero de 1980): funcionamiento intelectual al nivel de 8 a 10 años, con necesidad de manejo cuidadoso en la escuela para atender sus necesidades intelectuales, sociales y emocionales
- A los 5 años y 9 meses (mayo de 1981): se ubicó en el rango del percentil 95 de niños de 11 años en la prueba Raven's Controlled Projection Matrices
- A los 6 años y 4 meses (noviembre de 1981): obtuvo puntajes máximos o cercanos al máximo en la escala de inteligencia infantil de Wechsler, sin diferencia entre inteligencia verbal y de ejecución (no verbal), y con una edad mental global de 14 años (rango más alto para un niño de 6 años)
Tercera evaluación (17 de septiembre de 1983)
- Se realizó una visita junto con Dr Tom van Dulken, tutor principal de la School of Mathematical Sciences de Flinders University, para discutir la posibilidad de ingreso anticipado
- Halló correctamente las antiderivadas de x sin x y eˣ cos x
- Resolvió la integral de sin x/(sin x + cos x) con un método original: la descompuso como ½ − (cos x − sin x)/2(sin x + cos x) y obtuvo ½x − ½ln|sin x + cos x| + C
- Se confirmó que ahora ya sabía que ln|x| es la antiderivada de 1/x, cosa que no sabía en la evaluación anterior
- Ante la pregunta de hallar el término constante de (2x − 4/x)¹⁰, como aún no había estudiado suficientemente el teorema binomial, intentó resolverlo construyendo el triángulo de Pascal; unas semanas después, tras aprenderlo por su cuenta, calculó rápidamente con la fórmula binomial el término constante de (2x − 5/x)¹⁰: 252 × (−10)⁵ = −25,200,000
Análisis de su cuaderno de estudio en casa
- En un cuaderno prestado se confirmó que resolvía por su cuenta 3 a 5 páginas diarias de problemas de matemáticas
- Ejemplos de problemas incluidos:
- Problema de valor inicial para la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden d²y/dx² − 6dy/dx + 5y = 0, resuelto con la ecuación característica para obtener y = 4eˣ − e⁵ˣ
- Integración usando la sustitución de Weierstrass (t = tan ½x)
- Integración con descomposición en fracciones parciales: 3(x+1)/x²(x²+3) → en contraste con que en la segunda evaluación no pudo hacer fracciones parciales para 1/(1−x²), lo que demuestra una velocidad de aprendizaje extraordinaria
Planes futuros de escolarización
- En 1984 no cursaría matemáticas en la escuela y estudiaría por su cuenta en casa estructuras algebraicas, probabilidad y estadística, computación y análisis
- Durante todo 1984 asistiría a Blackwood High School para: humanidades de 8.º grado, geografía de 10.º a 11.º grado, química de 11.º grado y física de 12.º grado
- Si su interés por las matemáticas continuaba y estaba social y emocionalmente preparado, se preveía su ingreso a matemáticas en Flinders University en 1985
- Dr van Dulken consideraba que, incluso empezando la universidad a los 9 años, estaría muy por delante matemáticamente de la mayoría, quizá de todos, sus compañeros de primer año
Programa de números perfectos — primera publicación
- Programa para buscar números perfectos escrito en BASIC con un algoritmo desarrollado por el propio Terence
- Aprovechaba el resultado demostrado en los Elementos de Euclides de que 2^(p-1)(2^p − 1) es un número perfecto cuando 2^p − 1 es primo
- Constaba de dos partes: un programa de prueba de primalidad y otro para calcular números perfectos
- Calculó hasta 10¹³ e imprimió 6, 28, 496, 8128, 33,550,336, etc.; para números grandes solo daba aproximaciones por los límites del rango de la computadora
- Fue aceptado para publicación en Trigon, revista de matemáticas estudiantiles de Australia del Sur, 21(3), noviembre de 1983, como la primera publicación académica de Terence
- Fue escrito el 26 de agosto de 1983
Reflexiones sobre la educación, aspiraciones y rasgos de aprendizaje de Terence
- Su educación matemática no fue planificada de forma sistemática de antemano; más bien avanzaba de tema en tema según sus propios intereses y factores externos de orientación
- La guía constante más importante era su madre, Grace, graduada en matemáticas, que observaba el orden en que iban apareciendo los temas de estudio
- Su padre, Billy Tao, aunque era un pediatra muy ocupado, dedicaba mucho tiempo a buscar el mejor consejo posible sobre la educación de Terence
- No existe una única mejor forma de educar a un niño con capacidades excepcionales, y el enfoque de la familia Tao —buscar el mejor asesoramiento, pero dejar finalmente que Terence persiguiera por sí mismo los temas que le interesaban y le resultaban desafiantes— había sido exitoso
- La idea de que Terence debía pasar el horario escolar solo con niños de su misma edad era poco realista
- En noviembre de 1983 presentó de manera informal el examen de ingreso universitario Mathematics I del consejo público de exámenes de Australia del Sur (para 12.º grado, 3 horas), lo terminó en menos de 2 horas y obtuvo una calificación informal de 93%, correspondiente al rango más alto
Diez características de aprendizaje observadas en la evaluación
- Memoria de largo plazo sorprendente para definiciones, demostraciones e ideas matemáticas
- Buena capacidad espacial, pero clara preferencia por el pensamiento verbal-lógico sobre el visual al resolver problemas
- Capacidad para comprender textos matemáticos con terminología y símbolos sofisticados
- Preferencia especial por análisis (cálculo), estructuras algebraicas, teoría de números y computación
- Comprensión rápida de conceptos abstractos y capacidad de aprender sin herramientas concretas
- Capacidad para establecer estrategias adecuadas frente a problemas desafiantes y desconocidos, aunque por ahora disfrutaba más inmersarse en el mundo matemático
- Aprendizaje a una velocidad asombrosa: en 1983 adquirió la mayor parte de las matemáticas de 11.º y 12.º grado y una parte considerable de matemáticas universitarias de primer año
- Si no conoce un área de interés, busca libros y aprende por su cuenta, funcionando bien sin profesor
- No le gusta revisar sus soluciones una vez terminadas y tiende a pasar al problema siguiente
- No presta mucha atención a ordenar sus soluciones para comunicarlas a otros; solo anota lo suficiente para mostrar que puede resolver el problema
Planes futuros
- Se esperaba que en los 10 años siguientes Terence pudiera integrarse plenamente a su familia, su comunidad y la vida australiana
- Al mismo tiempo, se contemplaba desarrollar al máximo su raro talento, incluso con la posibilidad de obtener un doctorado en Flinders University alrededor de los 17 años
- El campus de Flinders University estaba muy cerca de la casa de la familia Tao, lo que permitiría trasladarse sin grandes alteraciones de la vida familiar
- Después del doctorado, podría hacer investigación posdoctoral en universidades de máximo nivel de Estados Unidos, Europa o Australia
- Este plan era provisional y reconocía que Terence tendría cada vez más voz sobre su propio futuro
- En una prueba SAT-M informal obtuvo 720 puntos a los 8 años y 6 meses
1 comentarios
Comentarios en Hacker News
Como padre de un niño de 8 años, esta historia realmente me conmueve
Está claro que Terence tenía un talento extraordinario innato, pero también creo que fue muy importante el papel de sus padres, Billy y Grace, al cultivar bien ese talento sin quitarle una infancia feliz
También tuve un compañero de preparatoria que ganó una medalla de oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, y sus padres eran parecidos en ese sentido
Me hace pensar si Terence Tao habría tenido tanto éxito como ahora si no hubiera sido alguien hecho para la escuela
Por otro lado, seguro hay muchos niños con talento que no pudieron desarrollarlo porque no encajaban en el sistema escolar
Me recordó a la infancia de John Stuart Mill
Dicen que aprendió griego a los tres años, estudió a Platón a los seis y empezó con latín a los ocho
Hay más detalles en su biografía de Wikipedia
También es interesante que Jeremy Bentham frecuentara su casa desde que era pequeño
Los logros fueron impresionantes, pero el costo también fue grande
Se habla de eso en el texto original de la autobiografía de Mill
Él dice que no era un niño excepcional, y que todos sus logros se debieron al empuje de su padre
También cuenta que lo mantuvieron alejado de convivir con niños de su edad, así que no sabía que sus logros fueran fuera de lo común
Libros de matemáticas, de química, etc.; no los entendía, pero tenía una curiosidad por el conocimiento muy fuerte
Por eso me deja algo escéptico la historia de que estudiara a Platón a tan corta edad
Lo único particular es que los idiomas que aprendió Mill eran poco comunes
Enlace al programa
Hablan de su infancia y de la relación afectuosa que tenía con su padre
Fomentar la pasión por las matemáticas en un niño es casi un arte
Una herramienta moderna que uso con mis hijos es un juego llamado Prodigy Math
Resuelves problemas de matemáticas y ganas habilidades mágicas, así que es divertido, y además a los padres les manda por correo los ejercicios que el niño falló y prácticas de refuerzo
Era un juego de cartas donde sumabas, restabas, multiplicabas y dividías cuatro números para llegar a un número objetivo
Nada más pensar en esas cartas me saca una sonrisa
Yo había puesto a mi hijo con Dragon Box, pero le faltaban funciones de reportes para padres
También probé Khan Academy Kids, pero mi hijo ya iba demasiado adelantado y no le sirvió mucho
Leí Conversations with Walter Murch, y hubo una parte que me recordó a cómo Tao siente las matemáticas
Me impactó la idea de que “si sigues toda tu vida lo que más amaste entre los 9 y 11 años, es más probable que seas feliz”
Hay excepciones, como en el arte, pero la mayoría descubre mucho después lo que realmente le gusta
Tal vez exista algún estudio longitudinal que compare lo que a la gente le gustaba en la infancia con lo que termina haciendo de adulta
Yo por casualidad me enganché a la programación viendo archivos BAT a través de XtreeGold, y sigo dedicándome a eso hasta hoy
Como padre, me parece un buen consejo exponer a tus hijos a experiencias diversas sin obligarlos
Es la clásica historia de un genio matemático: hace cálculo a los 7 años y lee libros de matemáticas de nivel universitario a los 8
Yo también prefiero una forma lógica y analítica de resolver problemas
Se siente mucho más clara que el pensamiento visual
De niño jugaba construyendo estructuras con Lego
Estoy pensando cómo entrenar el pensamiento analítico para poder terminar una carrera de ingeniería
Al leer esto me vino a la mente el inicio de Flowers for Algernon
Es la historia de un protagonista que recibe un tratamiento para aumentar su inteligencia y va escribiendo un diario con una prosa cada vez más fluida
Me impresionó el programa que Terence hizo por su cuenta a los seis años, aprendiendo de un libro de BASIC
Tenía una línea de salida como “(brmmmm-brmmmm-putt-putt-vraow-chatter-chatter bye mr. fibonacci!)”
Yo también aprendí Applesoft BASIC por mi cuenta a los seis años y solía meter mensajes de salida graciosos
Eso sí, no sabía qué era la sucesión de Fibonacci
A los 8 años yo sabía desarmar radios con bastante habilidad
Me tomó varios años más aprender a volver a armarlos
No sabía cómo crear una carpeta nueva
Mi madre incluso lo mencionó en su lecho de muerte
Es interesante que la inteligencia esté mucho más influida por factores ambientales de lo que uno imagina
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