- Las explicaciones deficientes en la enseñanza de matemáticas en primaria y secundaria pueden alejar a los estudiantes de la materia, dejando solo a quienes tienen una motivación fuerte
- Muchas demostraciones en textos de matemáticas avanzadas se parecen más a un esquema de alto nivel que a una demostración completa, por lo que el estudiante debe llenar por su cuenta la justificación de cada línea
- En Galois Theory de Stewart, tomó dos días desentrañar el argumento de un caso particular, y hasta para matemáticos profesionales los pasos intermedios eran ambiguos
- Si se incluyeran todos los detalles, un libro de 200 páginas podría convertirse en uno de 2000, así que las omisiones son inevitables, pero la cantidad y el tamaño de esas omisiones llegan a ser dolorosos
- Hacen falta materiales que amplíen los argumentos difíciles con demostraciones rigurosas e intuición, como las notas complementarias de buenas universidades, y hay planes de crear notas auxiliares empezando por algunos temas
Los vacíos de explicación que se evidencian en la enseñanza de las matemáticas avanzadas
- Las explicaciones deficientes en la enseñanza de matemáticas de primaria y secundaria pueden hacer que un estudiante se aleje de las matemáticas para toda la vida, y dejar solo a quienes tienen una motivación fuerte para seguir
- Las matemáticas se tratan como una disciplina que ofrece rigor en el razonamiento, claridad de pensamiento y entrenamiento para construir argumentos desde primeros principios
- En las matemáticas avanzadas continúa un problema similar, y muchas demostraciones en textos de nivel de posgrado se parecen más a un esquema de alto nivel que a una demostración completa
- Cuando un libro no muestra suficientes pasos intermedios, el estudiante debe invertir un gran esfuerzo para entender y justificar cada línea
- Un argumento de 10 líneas en cierto libro puede ocupar 10 páginas cuando se reescribe como una demostración convincente
Las omisiones en los libros y la necesidad de complementarlos
- Incluso al pulir los pasos intermedios de un libro junto con matemáticos profesionales, hubo procesos intermedios de ciertas demostraciones que seguían siendo ambiguos incluso para ellos
- En Galois Theory de Stewart, tomó dos días desentrañar un argumento complejo de un caso particular, y el resultado tenía que cumplir al mismo tiempo con exactitud, completitud y accesibilidad para estudiantes suficientemente motivados
- La razón por la que bromas como proof by obviousness y proof by intimidation funcionan es que esas situaciones aparecen con frecuencia en libros reales
- El problema no es solo omitir resultados básicos de licenciatura como teoría de grupos o teoría de cuerpos; incluso suponiendo que se domine todo el contenido de licenciatura, muchas veces no queda suficientemente claro por qué funcionan las demostraciones de los textos de posgrado
- Como los estudiantes deben aprender los temas dentro de plazos limitados, si la explicación del libro es insuficiente, puede que no tengan tiempo de desarrollar por su cuenta cada argumento de 10 líneas hasta convertirlo en una demostración de 10 páginas, y al final nunca lleguen a aprender la razón exacta
- En los artículos de investigación el problema es aún más grave, pero aquí el enfoque está en los libros
- También existen fuertes limitaciones prácticas para que los textos avanzados justifiquen todos los argumentos
- Si se incluyeran todos los detalles, un libro de 200 páginas podría convertirse en uno de 2000
- Ni estudiantes ni profesores tienen el tiempo o la paciencia para leer miles de páginas de argumentos técnicos poco interesantes
- Los autores tienden a concentrarse en las partes interesantes y a esperar que el estudiante complete lo omitido
- Aun así, la cantidad y el tamaño de las omisiones en los textos generales llegan a ser dolorosos
- Muchas buenas universidades ofrecen notas complementarias que desarrollan argumentos difíciles para ayudar con demostraciones rigurosas e intuición, y esa parece ser una buena práctica
- Los textos de nivel de posgrado son mucho mejores que no tener nada, porque presentan los temas al mundo, pero también tienen la limitación de que el material suele ser de difícil acceso
- Si hubiera tiempo ilimitado, se querría crear material complementario que desarrollara en detalle todos los argumentos de esos libros, pero en la práctica eso es imposible
- Aun así, existe el plan de empezar con notas auxiliares sobre temas donde la calidad de la explicación se siente especialmente importante, como la s-arc transitivity de grafos y temas relacionados con extensiones de cuerpos
1 comentarios
Comentarios de Lobste.rs
Ah, esto duele. Como anécdota personal y desahogo, una de las razones por las que terminé en ingeniería de software y no en matemáticas/ciencias de la computación es que la diferencia en mi comprensión de las matemáticas entre escucharlas oralmente en clase y verlas por mi cuenta en un libro era demasiado grande
Necesito una cantidad anormal de tiempo para entender un teorema escrito y, al final, cuando resulta que el contenido era fácil, me deja muy insatisfecho sentir que simplemente estaba explicado fatal para mis gustos
Pero mi diagnóstico es un poco distinto. No creo que el problema sea la falta de detalles, sino más bien la falta de motivación y visión general. Todas las demostraciones parecen escritas exactamente al revés. Se pasa mucho tiempo pensando el problema hasta encontrar la prueba, luego se borra ese proceso mental y se empieza a escribir la demostración desde el último paso
Por ejemplo, una prueba suele empezar con “tomemos ɛ = n^2 / 36”, y primero hay que leerla una vez para entender por qué ese épsilon es necesario mecánicamente, luego volver a pensar para entender la idea detrás de ese artilugio técnico, después hacer una prueba informal en la cabeza con esa idea y, por último, releer la demostración para ver si realmente es una formalización correcta teniendo esa idea en mente. La formalización es útil, pero no es lo mismo que entender
Reed-Solomon también sirve como ejemplo. La Wiki podría haber dicho “un polinomio de grado N puede interpolarse con N+1 puntos. Si transmites K puntos redundantes, puedes perder algunos y aun así recuperar los coeficientes”, pero en vez de eso sigue una explicación larga e inescrutable (previously)
Un ejemplo reciente es el teorema 1.5.8 de Analysis de Tao, o sea, que en un conjunto compacto toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Entra de inmediato con “tomemos y, tomemos V_a, hay una bola, hay un radio r...”, y aunque no está mal, cuesta ver por qué hace eso
Solo después de absorber la forma se ve la idea central. Como necesitas una subcubierta finita, lo natural es elegir codiciosamente el conjunto “más grande”, pero entonces hay que decidir qué significa más grande. Si fijas un punto, puedes elegir el conjunto más grande relativo a ese punto, y hacer crecer una bola hasta que quede un solo elemento de la cubierta. Las bolas no pueden hacerse infinitamente pequeñas, y entonces puedes usar compacidad para elegir un punto con una bola de radio 0. Por tanto, las bolas tienen ancho al menos ɛ, y basta con seguir eligiendo el conjunto más grande para los puntos que aún no estén cubiertos. Si termina en un número finito de pasos, éxito; si no, aparece una sucesión de puntos separados entre sí por ɛ, lo que contradice la compacidad
La idea central casi siempre es muchísimo más simple que la formalización y, una vez que la captas, parece obvio que alguna formalización va a funcionar si ajustas lo suficiente las desigualdades. La formalización sigue siendo necesaria. Podrías no darte cuenta de que dependiste por accidente de algo como el axioma de elección. Pero como medio para transmitir la idea, es pésima. Es como reconstruir quicksort desde código ensamblador
Creo que la manera correcta de presentar las matemáticas es poner el teorema no como punto de partida sino como resultado, y explicarlo en modo “¿cómo podría haberse descubierto esto?”
Claro, no niego que a veces sí existan argumentos de “agárralo y sacúdelo hasta que de verdad te convenzas de que esto demuestra algo”, pero dentro de las matemáticas relativamente amables con las que me he topado, eso parece ser poco común
Los teoremas de los libros de texto son como la foto del pastel terminado en un recetario, y la demostración es como la receta. El desastre que se arma mientras haces el pastel en realidad no se ve mucho
Lo que falta es que, para hornear el mismo pastel, todavía necesitas entender y dominar la repostería. La receta puede omitir cosas como la consistencia de la mezcla o cómo corregirla si sale mal. Además, conocer los “primeros principios” de la repostería no te convierte automáticamente en repostero. Puedes tener las ideas básicas, pero igual tienes que combinarlas para hornear el pastel
Creo que en matemáticas pasa como en otras disciplinas modernas. La vitrina está llena de pasteles, y a los mejores reposteros les pagan con fondos de investigación para que horneen más. Si quieres convertirte en repostero por tu cuenta, tienes que hacer de aprendiz en la panadería, aprender los trucos y empezar a hornear tus propios pasteles en vez de usar solo las recetas de tu jefe. Eso requiere tiempo, esfuerzo y un poco de suerte
https://betterexplained.com/articles/…
Una secuencia de ADN puede ser una descripción extremadamente precisa de un gato, pero no puedes formarte una imagen del animal en tu cabeza solo con eso
Con ese formato, la verificación y la corrección son más eficientes, y a esto se le llama la perspectiva BCH de R-S. Aunque BCH también es una familia completa de códigos
Aun así, después de leer muchísimo sobre esto mientras lo implementaba, coincido en que los artículos de Wikipedia sobre R-S y BCH son, en general, imposibles de entender. Siento que no habría avanzado nada sin la excelente biblioteca gf256 en estilo de literate programming, en particular gf256::rs
Dicho eso, por experiencia sé que algunos teoremas son más fáciles de demostrar que otros. En mi curso de Algebra I, uno de los exámenes consistía en demostrar cualquier teorema elegido al azar por el profesor en ese momento. Puede sonar intimidante, pero cuando pasas mucho tiempo demostrando cosas ya probadas, empiezas a ver patrones. Además, también terminas memorizando más teoremas que se usan en otras demostraciones
No digo que sea fácil, pero al estudiar matemáticas a ese nivel sientes que algo se abre en tu cabeza y se vuelve posible. La formalización puede parecer excesiva, pero también es lo que permite a los matemáticos llegar a conclusiones que otros no ven
Por experiencia personal en ciencias físicas, creo que mucho de esto viene de la forma en que se escriben, publican y evalúan los artículos académicos
El proceso de escribir y publicar artículos en realidad no incentiva a explicar la ciencia, sino a decir cosas que suenen plausibles y un poco convincentes sin “desperdiciar” demasiado tiempo en detalles. Ese sesgo que uno ve en las demostraciones me parece muy similar
Hay que sacar a las editoriales de la ciencia
Si quieres explicar “cómo se encontró esto”, tienes que hacer afirmaciones vagas y toscas que no están completamente justificadas ni son precisas. A los revisores, incluso si el lugar es autoeditado pero indexado como proceedings de conferencia o una overlay journal, no les gusta que queden frases algo falsas en la versión final aceptada
Así que incluso si había una explicación intuitiva en el primer envío, a veces termina desapareciendo
Puede ser peor todavía. Mi coautor, que es muy bueno redactando introducciones y optimizando artículos para que sean aceptados, suele explicar que normalmente hay un trade-off al elegir la versión de un enunciado. La versión más fácil de aceptar suele ser la peor para la gente a la que le va a gustar y citar el artículo. Y eso aunque todas las versiones sean verdaderas y puedan probarse con el mismo nivel de calidad
Entonces los incentivos están mal alineados. Aunque esta vez quizá no sea culpa de las editoriales, sino de la estructura donde a los académicos se les recompensa por métricas de publicación y no por el trabajo que realmente deberían hacer
En cuanto a los libros de texto, no necesariamente coincido con lo que dice el post. Una buena omisión puede hacer una prueba más legible y también empujar al lector a pensar. En el peor caso, puedes consultar otro libro o la fuente original. Pero encontrarte una demostración incompleta en un artículo de investigación puede ser muy irritante. Ahí empieza a colarse la sospecha de si alguien realmente tiene la prueba completa, y cuando te das cuenta ya pasó una semana/un mes/un año
Como estudiante de posgrado en matemáticas, creo que este problema tiene dos caras. A veces las pruebas presentadas están a un nivel bastante alto y eso frustra mucho cuando de verdad no entiendes cierto paso, pero por otro lado el proceso de rellenar los huecos a veces es más útil para mejorar que recibirlo todo servido
Si una prueba pasa de la proposición 1 a la proposición 2 y no lo entiendes de inmediato, primero, te da intuición sobre lo que el autor y, más ampliamente, la comunidad matemática de ese campo considera obvio. Eso es valioso porque te indica qué resultados necesitas interiorizar intuitivamente con más profundidad
Segundo, si rellenas los pasos intermedios y te convences por tu cuenta de que el argumento es sólido, lo recordarás mucho mejor que si simplemente hubieras leído esos pasos en la página
Para mí, el “punto ideal” es cuando justificar un paso de la prueba toma entre 30 segundos y 5 minutos. Si toma más que eso, es fácil frustrarse y aprender menos
Solo espera a ver una demostración en un paper real
Hablando un poco más en serio, claro que hay libros de matemáticas mal escritos y poco pedagógicos. Pero creo que una demostración promedio a nivel de posgrado no puede escribir todos los detalles. Se volvería pesada de leer y extremadamente aburrida
Se espera que los matemáticos rellenen en su cabeza los huecos de la demostración, y esa habilidad hay que aprenderla
Tengo algunas anécdotas personales sobre rellenar huecos
En la preparatoria, después de discutir sobre qué nivel de detalle hacía falta, una vez acordamos que yo escribiría una demostración con las omisiones al mínimo. Si yo mostraba que podía rellenar los huecos, entonces se aceptaría que muchos textos que yo había considerado más esquemáticos de lo esperado eran, en realidad, suficientes para demostrar la comprensión requerida
Recuerdo haber usado paréntesis al menos tres niveles anidados de “esto en realidad no necesita una prueba explícita, pero prometí hacerlo”. En uno de los paréntesis más internos estaba “demostremos por inducción que 2^n>0”. La proposición de nivel superior probablemente era algo sobre límites. Y, dicho sea de paso, ambos estuvimos de acuerdo en que esas pruebas del nivel más bajo sí eran excesivas
En la preparatoria y en la universidad, cuando tomaba apuntes, a veces escribía por adelantado la esencia de lo que obviamente iba a decirse a continuación, y así ganaba tiempo cuando lo siguiente requería tomar notas más detalladas. Años después, ya como posdoc, escuché a un colega explicar un problema y lo interrumpí diciendo “esa parte puedes saltártela, ya veo qué lema vas a mencionar y cómo se demuestra”
Resultó que estaba equivocado. No estaba afirmando el resultado, sino haciendo una pregunta. Eso sí, la prueba que salió del esquema que yo adiviné sí terminó apareciendo en el paper
Entre quienes hacemos matemáticas concretas existe todo un mundo que intenta arreglar el problema de los detalles con asistentes de prueba como Lean, Agda o Coq. Pero no creo que casi nadie use asistentes de prueba para enseñar matemáticas “generales”. ¿Por qué será?
En matemáticas continuas, hay cierta desalineación de representación entre la notación estándar y los asistentes de prueba de lógica de orden superior. Si quieres llegar lo bastante lejos con una formalización en teoría de conjuntos de primer orden, necesitas definiciones que, hasta donde sé, todavía no están organizadas en una colección consistente