10 lecciones que ojalá hubiera aprendido antes de tomar un curso de ecuaciones diferenciales [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota, quien impartió durante mucho tiempo el curso de ecuaciones diferenciales para estudiantes de segundo año en MIT, consideraba que el curso introductorio está atado a trucos de resolución anticuados y a la inercia, por lo que es más probable que se divida de forma natural en cursos alternativos más cortos que que se reforme de manera realista
• Las técnicas iniciales para ecuaciones de primer orden, como el factor integrante y las ecuaciones exactas, son trucos aislados alejados de los problemas reales de ingeniería, y solo la separación de variables y el cambio de variables valen la pena conservar a largo plazo
• El eje que el estudiante sí debe dominar son las ecuaciones lineales y los sistemas con coeficientes constantes; en cambio, las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes no constantes o el contenido formal de Sturm-Liouville no encajan bien en un curso introductorio
• El teorema de existencia y unicidad, los problemas verbales, el método de variación de parámetros y las explicaciones centradas en la notación diferencial tienden a reforzar manipulaciones evaluables en examen más que la comprensión, por lo que deberían replantearse desde la perspectiva de trayectorias, campos vectoriales y curvas integrales
• La enseñanza introductoria de ecuaciones diferenciales no debe dejar una colección de trucos, sino una intuición conceptual sobre la universalidad de la función exponencial, la estabilidad, el plano fase y la transformada de Laplace

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Una crítica al viejo curso introductorio de ecuaciones diferenciales

• Gian-Carlo Rota recuerda como un error haber escrito de joven un libro de texto de ecuaciones diferenciales ordinarias, y dice que esa experiencia le hizo darse cuenta de que no sabía qué eran realmente las ecuaciones diferenciales
• El curso de ecuaciones diferenciales para segundo año en MIT era visto como una materia de matemáticas de licenciatura pesada tanto para docentes como para estudiantes, y a él le siguieron encargando el curso por haber escrito el libro
• Este texto reúne en 10 lecciones los errores y prejuicios que, según él, repitió en sus clases desde 1958

1. Buena parte del curso introductorio está obsoleta

• Si se comparan las notas de clase de Cauchy sobre ecuaciones diferenciales del siglo XIX con los textos introductorios modernos, casi no hay cambios en el contenido, salvo por la incorporación de sistemas
• Al inicio de los textos actuales aparecen técnicas inconexas como ecuaciones exactas, factores integrantes y ecuaciones diferenciales homogéneas, presentadas como si fueran herramientas útiles
• Rota considera que esos tipos de ecuaciones rara vez aparecen en la práctica de la ingeniería, y que los ejercicios que las acompañan también han cambiado muy poco desde Euler
• Cree que el curso introductorio de ecuaciones diferenciales probablemente no será reformado de manera profunda, sino que desaparecerá de forma natural y será reemplazado por varios cursos más cortos sobre aspectos más realistas
• Aun así, piensa que los departamentos de matemáticas dependen en gran medida de la cantidad de estudiantes de ingeniería inscritos en cursos básicos de matemáticas, por lo que sin materias como esta les sería difícil sostenerse

2. Las ecuaciones diferenciales de primer orden deben reducirse al mínimo

• El libro de ecuaciones diferenciales de Boole dedica cerca de la mitad a resolver ecuaciones de primer orden, pero Rota sostiene que las únicas técnicas que siguen teniendo valor real hoy son la separación de variables y el cambio de variables
• Dice que el factor integrante se ha vuelto casi un chiste, y que nunca ha sabido de un caso real en el que una ecuación diferencial de primer orden se resolviera encontrando un factor integrante
• Aun así, sigue la costumbre de dedicar una o dos horas de clase al tema y decirles a los estudiantes que es importante

3. El núcleo son las ecuaciones lineales con coeficientes constantes

• El estudiante debe aprender necesariamente a resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, y en particular la resolución de ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes forma parte de la cultura matemática básica
• En cambio, las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes no constantes deberían recortarse sin miedo
  • Salvo la ecuación de Euler-Cauchy, considera que no hay ecuaciones lineales de segundo orden que puedan resolverse explícitamente sin introducir funciones especiales
  • Las funciones de Bessel figuraban en programas antiguos, pero cree que hoy es difícil tratarlas en un curso introductorio
• La teoría de Sturm-Liouville es matemática hermosa, pero critica que los problemas propios no singulares de Sturm-Liouville que se enseñan en cursos introductorios no aparecen realmente en matemáticas, física o ingeniería
  • Los sistemas de Sturm-Liouville que sí aparecen en la práctica son singulares
  • Además, cree que la teoría rigurosa rebasa no solo el primer curso, sino incluso el segundo curso de ecuaciones diferenciales
• No hace falta ocultar por completo las ecuaciones con coeficientes no constantes, y aun en nivel introductorio se pueden mostrar el Wronskiano y algunos resultados del álgebra diferencial
  • Aunque no exista una fórmula general para la solución de una ecuación lineal de segundo orden, sí hay una fórmula explícita para el Wronskiano de dos soluciones
  • Si se conoce una solución, puede encontrarse la segunda mediante el Wronskiano

4. Hay que enseñar cambio de variables

• La técnica que el estudiante sí va a necesitar más adelante, tanto en ecuaciones diferenciales de primer como de segundo orden, es el cambio de variables
• El cambio de variables no es un simple truco, sino una teoría coherente, pero Rota considera que los textos actuales no le dan la importancia suficiente
• Las fórmulas de transformación de la variable dependiente e independiente en ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden son conocidas, pero afirma que es difícil encontrarlas en libros escritos en el siglo XX
• Liouville descubrió invariantes que son polinomios diferenciales de los coeficientes de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, y demostró que dos ecuaciones pueden transformarse una en otra por cambio de variables si y solo si comparten los mismos invariantes
• Este teorema no suele aparecer en los textos; dice que en la primera edición de su libro figuró como ejercicio, pero desapareció en ediciones posteriores

5. Existencia y unicidad importan menos

• Rota considera que el teorema de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias no es tan importante como suele pensarse, y que se parece más a un teorema que da tranquilidad psicológica
• Si hubiera ejemplos notables de ecuaciones diferenciales ordinarias sin solución, el teorema de existencia sería más interesante, pero dice que ese tipo de problemas resalta más en ecuaciones en derivadas parciales
• El teorema de unicidad le parece un asunto más delicado, y confiesa sentir culpa cuando afirma sin demostración que toda solución de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes es combinación lineal de dos soluciones
• Incluso si se demuestra que todas las soluciones de y' = ay tienen la forma y = ce^{ax}, cree que no es fácil transmitirlo de manera realmente convincente al estudiante

6. Los sistemas lineales con coeficientes constantes son el centro del curso

• Aprender a resolver sistemas lineales con coeficientes constantes es la habilidad más importante que el estudiante adquiere en un curso de ecuaciones diferenciales
• Quienes estudian ciencia o tecnología se encontrarán más adelante con sistemas lineales grandes, y mientras más se automatice en computadora la resolución de sistemas grandes, más importante será entender la teoría
• El estudiante debe conocer la teoría relacionada: valores propios y vectores propios de matrices, exponencial de matrices y temas afines
• Señala que en los últimos 30 años han aparecido ejemplos interesantes de sistemas con coeficientes constantes en control, economía, procesamiento de señales y matemáticas, pero que no han sido incorporados a los textos introductorios
• Critica que la mayoría de los ejemplos de sistemas matriciales en los libros son sistemas en el plano o ejemplos artificiales
• El método de variación de parámetros aparece por rutina en el capítulo de sistemas, pero tiene poca utilidad práctica y hasta cuesta encontrar problemas adecuados para asignar al estudiante
• También opina que el viejo método de variación de parámetros para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes no constantes se ha repetido durante siglos en los textos, siempre con los mismos ejemplos artificiales

7. Hay que evitar explicaciones centradas en la notación diferencial

• Critica con dureza que la forma en que los libros explican el factor integrante desde 1800 no es rigurosa
• La explicación tradicional toma una ecuación de primer orden dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) y de pronto la convierte en la “forma diferencial” M dx + N dy = 0, diciendo que solo es otra notación
• Luego se afirma que, al multiplicar por cierta función q(x,y), la ecuación qM dx + qN dy = 0 se vuelve exacta, pero sin tratar con claridad si la ecuación original y la multiplicada son la misma o son distintas
• Una explicación mejor sería considerar junto con esa ecuación de primer orden un sistema autónomo en el plano
  • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y)
  • La solución del sistema es una trayectoria parametrizada con velocidad
  • La solución de la ecuación diferencial original es la gráfica de la curva integral, es decir, la trayectoria sin velocidad
• Si cambia q(x,y), cambia la velocidad sobre la trayectoria, pero la curva integral permanece igual
• Así, el factor integrante puede introducirse como un factor q que hace al campo vectorial más manejable desde el punto de vista geométrico y analítico
• No se opone a las formas diferenciales exteriores en sí; de hecho, cree que pronto podría hacer falta un curso introductorio de cálculo con formas diferenciales exteriores en el plan de estudios universitario

8. Hay que evitar los problemas verbales

• Considera equivocada la idea de preferir problemas verbales en exámenes y tareas solo porque facilitan producir una distribución de calificaciones
• Como en el viejo entrenamiento del Cambridge Tripos, si se forma al estudiante para ajustarse a trucos de resolución, la habilidad de manipular termina pesando más que la comprensión
• Critica que los problemas verbales de los libros de ecuaciones diferenciales son artificiales, poco realistas, repetitivos y de escasa relevancia
• Dice que no está claro que un estudiante aprenda algo valioso por resolver problemas como el de la quitanieves o el flujo de salmuera entre tanques conectados
• Los problemas reales con que se topará un estudiante de economía son muy distintos de los de un estudiante de ingeniería química, y un solo curso introductorio no puede abarcar todo eso mediante problemas verbales simplificados

9. Hay que motivar bien la transformada de Laplace

• Normalmente la transformada de Laplace se motiva a partir de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, pero como la transformada inversa no es sencilla y esos problemas pueden resolverse de otras maneras, esa motivación le parece débil
• Al hablar de “función” en este contexto, suelen mezclarse dos conceptos distintos
  • una función general con gráfica
  • una función densidad cuyo significado está dado por la integral, como una densidad de masa o de probabilidad
• En una función densidad, el valor en un punto no tiene significado; lo que representa masa o probabilidad es la integral en un intervalo [a,b]
• Si se adopta esta perspectiva, la función delta de Dirac puede tratarse de forma simple y rigurosa
  • Una masa unitaria situada en el punto c es la función densidad más simple que no tiene gráfica
  • Si un intervalo no contiene c, su integral vale 0; si sí lo contiene, vale 1
  • Así se pueden derivar sus propiedades sin hablar de una función que toma un valor infinito
• En el contexto de funciones densidad, más que la multiplicación usual, la convolución (convolution) cumple el papel de multiplicación natural
• Menciona como resultado importante el teorema de convolución de Titchmarsh, para el cual, según dice, no se conoce una demostración elemental, y la demostración de Titchmarsh usa métodos de variable compleja

10. Hay que enseñar conceptos, no trucos

• Un curso introductorio de ecuaciones diferenciales enseñado como colección de trucos no tiene valor educativo
• Al cabo de un año, el estudiante habrá olvidado la mayoría de esos trucos, y muchos de ellos de todos modos no sirven para gran cosa
• Los conceptos que sí deberían quedar en el estudiante son los siguientes
  • la aparición universal de la función exponencial
  • la estabilidad
  • la relación entre trayectorias de sistemas y curvas integrales
  • el análisis del plano fase
  • las manipulaciones con la transformada de Laplace
  • la relación entre fracciones parciales y convolución a través de la transformada de Laplace
• Más importante que ver si el estudiante resuelve con destreza problemas difíciles es que adquiera una idea de la importancia de las ecuaciones diferenciales y del poder de las matemáticas
• Considerar que el objetivo de la educación universitaria es solo transmitir información es un error; la información puede obtenerse mejor fuera del salón de clases
• Un curso universitario exitoso logra que el estudiante sienta que tomó una buena materia, aunque no pueda señalar con precisión qué aprendió en términos concretos

[excovert]

Parece que el contenido y el título no coinciden, ¿no?

[GN⁺]

Opiniones de Hacker News

• Pasa algo parecido en otras áreas de las matemáticas, o incluso en varias disciplinas. Cuando aprendí la transformada de Fourier en clase de matemáticas, parecía álgebra manejada mecánicamente con integrales de funciones exponenciales complejas, y no entendía nada; pero en cuanto vi el espectro de amplitud de una forma de onda en análisis de señales de audio, capté de inmediato qué estaba pasando, y después de eso la fase tampoco fue difícil.
  En las matemáticas universitarias, estos ejemplos prácticos parecen estar casi prohibidos; da la impresión de que la intención es hacer que todo sea muy abstracto y riguroso. Una vez que adquirí intuición, también empecé a entender la matemática formal, y al estar del lado de quien enseña también se ve por qué ocurre esto. Para el docente es tan obvio que le cuesta imaginar el estado previo del estudiante, antes de que entienda la notación y el vocabulario. Por eso, si se encuentra un concepto de otra área que el estudiante ya conoce y se lo conecta con un ejemplo simple del nuevo tema, mostrando que “esto es lo mismo, solo cambia la notación y la abstracción”, muchas veces todo hace clic. Pero esto es difícil en libros de texto o clases masivas, y por eso hace falta que enseñe una persona en lugar de solo tirar materiales

  • Si no conoces ejemplos prácticos, es difícil. Cuando enseñé matemáticas universitarias por un tiempo, como tenía formación en física y experiencia en la industria, dije que me gustaría que en la clase de ecuaciones diferenciales hubiera aplicaciones de ingeniería; entonces un estudiante de posgrado muy listo, que era ayudante de ecuaciones diferenciales, me respondió muy serio: “las ecuaciones diferenciales no tienen aplicaciones de ingeniería”
  • Como alguien que estudió matemática teórica y también hace electrónica como hobby, realmente existía cierto ambiente en el que los estudiantes y docentes de matemática teórica miraban un poco por encima del hombro a otras áreas. Donde yo estaba, incluso hacían bromas sobre estudiantes de física o matemática aplicada diciendo “eso ni siquiera es matemática, solo son fórmulas y memorización”, y a los estudiantes de ciencias de la computación los veían aún peor.
    Pero muchos conceptos matemáticos fueron inventados para resolver problemas físicos reales, o después resultó que eran muy útiles para problemas físicos. Históricamente, física y matemática no estaban tan separadas y se influyeron muchísimo entre sí. También es interesante la historia de que, cuando Einstein desarrolló la teoría de la relatividad general, no era fuerte en matemáticas y tuvo que recibir ayuda de amigos y pasar por un proceso casi de tutoría privada para entenderlas. Yo ya entendía el análisis de Fourier antes de hacer electrónica, pero su utilidad recién me quedó clara cuando empecé a usar el dominio de la frecuencia en trabajos de circuitos al tratar problemas de alta frecuencia
  • Creo que la transformada de Fourier no debería meterse en cálculo, sino enseñarse en álgebra lineal. En álgebra lineal tiene mucho sentido y sirve como un ejemplo de aplicación no trivial que suele faltar en los libros de texto

• La introducción a las ecuaciones diferenciales más intuitiva que he visto hasta ahora fue https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t...
  Empieza explicando las ecuaciones diferenciales desde cero, cubre su significado físico y uno o dos métodos tradicionales de resolución, y luego pasa a métodos numéricos. Si quieres aprender ecuaciones diferenciales, la recomiendo mucho porque es breve y buena, pero no es un material para prepararse para un curso formal ni cubre todo

  • Si quieres material de nivel de curso formal de parte de algunos de los pioneros tempranos del enfoque educativo que usa métodos numéricos para entender ecuaciones diferenciales, recomiendo muchísimo el libro de Blanchard, Devaney y Hall (http://math.bu.edu/odes)

• Cuando aprendí cálculo por primera vez a los 14 o 15 años, creo que me habría sentido mucho menos confundido si alguien me hubiera explicado por qué hacíamos eso. Ahora, si se explica con ejemplos como velocidad, distancia y aceleración, todo tiene perfecto sentido, pero aprenderlo solo como funciones, fragmentos infinitesimales, cantidades delta, ecuaciones y listas de demostraciones era demasiado seco y aburrido. Hasta que apareció en clase de física unos años después, no tenía idea de para qué servía el cálculo

  • Las clases de cálculo que tomé y que enseñé estaban llenas de ejemplos del mundo físico. Pero creo que, cuando uno lo aprende por primera vez, todavía no tiene suficiente terreno preparado en la cabeza para que esas explicaciones y ejemplos echen raíces.
    Cuando volví a ver el contenido básico ya como estudiante de posgrado y pensé “esto tiene todo el sentido, ¿por qué no me lo enseñaron así en la secundaria?”, me di cuenta de que probablemente sí me lo habían enseñado, pero no me quedó porque me faltaba madurez matemática. También me jugó en contra que era bueno manipulando álgebra, así que podía resolver la mayoría de las tareas sin entender en profundidad las bases conceptuales. La habilidad para manipular álgebra es importante, pero sería bueno reestructurar las clases para que sea difícil aprobar sin comprensión conceptual
  • Aprendí cálculo desde una perspectiva de matemática pura, pero tenía cierto conocimiento de física, así que pude conectar ambos conceptos y eso ayudó. Aun así, durante la mayor parte de los primeros tres semestres bastaba con saber “integral = área bajo la curva” y “derivada = calcular la pendiente en un punto de la curva” para entender.
    Sin embargo, los ejemplos de física solo funcionan bien con estudiantes interesados en física. Cuando trabajaba en una academia de matemáticas, vi que ejemplos de física como los del libro de Stewart confundían mucho más a los estudiantes que no estaban interesados en física. Además de aprender matemáticas, tenían que aprender conceptos de física para entender los ejemplos. Con el cálculo separado para estudiantes de finanzas/economía pasaba algo parecido: los tutores tenían que aprender conceptos financieros básicos para ayudar con los problemas, y a veces los estudiantes terminaban pudiendo resolver solo problemas que mezclaban conceptos financieros
  • Que la física sea la que, en la práctica, termina enseñando matemáticas debería ser una vergüenza generalizada para los departamentos de matemáticas
  • A mí me pasó lo mismo. Pasé la mayor parte del primer semestre con promedio C porque no entendía qué estaba haciendo ni por qué.
    En la biblioteca de la escuela, resolviendo problemas sobre agua que se drenaba por un agujero cada vez más grande junto a una piscina, tuve un momento eureka, y después de eso todo tuvo sentido. Luego saqué casi puras A, y ese año fui el único de mi clase que obtuvo 5 en el examen AP. Al final estudié ingeniería eléctrica con foco en procesamiento de señales y llegué hasta posgrado, así que es irónico que, desde ese estado de no entender, terminara haciendo cálculo durante casi 8 años
  • Los chicos con padres ingenieros tienen ventaja en esto. Esos padres pueden dar ejemplos de cómo se usan las matemáticas en el mundo real.
    Cuando aparece la relevancia, se puede explicar que, aunque estas matemáticas estén enterradas dentro del software y uno no las use directamente, alguien las convirtió en código y nosotros nos beneficiamos de ello. Decir “quizá tú no las uses directamente, pero las herramientas que usas sí las usan internamente” puede motivar a un estudiante que las siente como una tarea absurda

• El primer curso de matemáticas que tomé en la universidad fue su Cálculo del segundo semestre, y todavía siento que escucho esa voz en mi cabeza. Era una voz inolvidable y un gran profesor.
  Otra cosa interesante es que, a los 50 años, decidí convertirme en ingeniero, y para entonces la ingeniería ya había cambiado mucho; lo importante era saber manejar con soltura programas de computadora caros. Esos programas resolvían ecuaciones diferenciales numéricamente, y casi nadie pensaba en resolverlas de otra forma. No había tiempo para eso.

  • Sospecho que la mayoría de las ecuaciones diferenciales no se pueden resolver analíticamente. Las que salen limpias son un subconjunto muy pequeño, como rompecabezas cuidadosamente diseñados, y en los problemas reales muchas veces los métodos numéricos son el único camino para encontrar una solución aproximada.
    Aun así, entiendo que la teoría de ecuaciones diferenciales sigue siendo útil para diseñar el marco en el que esos métodos numéricos pueden funcionar.
  • Yo también asistí al seminario de Rota, “exploring higher mathematics”, y era alguien realmente extraordinario. Todavía me queda la emoción por la jerarquía de los infinitos.
    Estoy de acuerdo con la segunda historia. Los programas resuelven ecuaciones diferenciales numéricamente, pero me parece que sigue estando bien saber un poco cómo se resolvían antes.

• Escribí un artículo donde derivo, en una forma matricial concisa y fácil de implementar en código, todas las soluciones generales de una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, un sistema masa-resorte-amortiguador: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  También presenté la solución completa en Lua, que calcula la evolución temporal de la posición y la velocidad eligiendo sin/cos o sinh/cosh según el amortiguamiento, la frecuencia angular natural y el residuo.

  • Es un buen ejemplo. La explicación matemática me resultó pesada y tardé bastante en llegar a una comprensión básica; ni siquiera estoy seguro de haberla entendido bien. En cambio, el código Lua fue fácil de entender, aunque los nombres de variables obligan a leerlo todo e inferir bastante.
    Hace mucho que no trabajo con ecuaciones diferenciales, pero estoy de acuerdo con la frase del PDF de que “cuanto más sabía, menos entendía”. No sé muy bien por qué las matemáticas puras tienen que contaminarse con esa cosa impura llamada realidad para poder entenderse, ni si eso más bien dificulta la comprensión.
  • En la práctica, el posgrado consistió en extender F=Ma-Cv-Kx de todas las maneras posibles hasta llegar finalmente al análisis de elementos finitos. Al final, lo esencial se reduce a elegir las funciones base más convenientes para la pregunta que quieres responder.

• Cuando entré a un posgrado en ingeniería química hace 10 años, lo que me frustraba de las clases era que la matemática, más bien, no era lo suficientemente rigurosa. Cuando pedía aclaraciones, las inconsistencias se pasaban por alto sin mucho detalle.
  Las formas diferenciales mencionadas en el texto son un buen ejemplo. En las clases de ingeniería aparecen de repente como una forma de reescribir ecuaciones, sin rigor ni formalismo. Nadie explica qué es una “diferencial” ni si existe una base axiomática para manipular esos símbolos de manera consistente; simplemente te dan los pasos de resolución para el examen. En una clase de química cuántica también pregunté por el colapso de la función de onda y la posibilidad de transmitir información más rápido que la luz, pero lo descartaron con un “eso no entra en esta materia”. En una clase de posgrado de mecánica estadística, ante la explicación de que la función de onda de todo el sistema era el determinante de Slater de las funciones de onda individuales, objeté que un punto central de la mecánica cuántica es que la función de estado de un sistema completo, en general, no es separable, y que de otro modo tampoco habría entrelazamiento. El profesor lo desestimó diciendo que un alumno no debía desafiar a un profesor sobre un tema que no conocía. La carrera investigadora de ese profesor dependía en gran medida de artículos de química computacional en los que metía archivos con coordenadas y tipos de átomos en software de DFT, lo ejecutaba y publicaba los resultados.

  • Hasta qué tamaño de sistema se puede mantener el entrelazamiento cuántico o la coherencia cuántica sigue siendo una pregunta abierta. Es muy importante porque afecta a las computadoras cuánticas.
    Experimentalmente, parece que los sistemas suficientemente grandes no mantienen la coherencia cuántica por mucho tiempo. Si quieres saber cómo se trata matemáticamente este proceso, busca “quantum decoherence”; si quieres conocer posibles interpretaciones físicas, busca “objective collapse theory”.
  • Como matemático, sentí que muchos no matemáticos, incluidos profesores de ingeniería, química y física, entienden las matemáticas a un nivel operativo, pero no profundizan demasiado.
    La respuesta a “¿existe una base axiomática para manipular estos símbolos de manera consistente?” es sí. Además, una gran parte de la academia publica dentro de su pequeño subcampo y casi no piensa en implicaciones más amplias. Por eso, nuevos entrantes con un trasfondo un poco distinto a veces hacen muchos descubrimientos.
  • DFT usa la aproximación de Kohn-Sham, que es una aproximación de partícula única, y es una teoría del estado fundamental. En química cuántica sin duda hay investigación en la dirección que mencionas, pero eso no es DFT. Vale la pena ver la densidad de Levy-Lieb y los artículos de Mazziotti.
  • Para quienes no lo sepan, DFT es la teoría del funcional de la densidad.

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• Estoy totalmente de acuerdo con que “las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son la clave”. Si pones constantes sencillas en las variables, puedes hacerte una idea de cómo funcionan; me cuesta creer que no se enseñen primero los coeficientes constantes.

  • Entonces espera a encontrarte con estudiantes que aprobaron Álgebra II y aun así no entienden la diferencia entre coeficientes constantes y coeficientes variables.

• Casi todos los educadores de los que he aprendido hasta ahora insistían inconscientemente en que los materiales de aprendizaje debían permanecer en estado estéril, y no permitían que fueran graciosos ni que tuvieran una postura marcada como este texto. Para la mayoría de los estudiantes, “aprender” es absurdamente aburrido hasta que salen de la universidad o entran al posgrado y empiezan a aprender mediante ensayos y memorias.
  Durante 12 a 16 años, cosas presentadas como verdades establecidas en un formato seco como hueso fueron, en realidad, a veces el trabajo de toda una vida de decenas a miles de personas, que se jugaron sus carreras, pelearon, construyeron visiones sociales, hicieron bromas, se casaron, se divorciaron, murieron, discutieron y se atacaron, destilando una pasión enorme en libros de texto. Mucha de la información que uno aprende como estudiante fue extremadamente polémica en el momento de su descubrimiento. Incluso en el museo de arte en vidrio de Sandwich, Massachusetts, las placas de las exhibiciones lo pulían con frases como “los vidrieros existentes se opusieron por la intrusión industrial”, pero las citas reales eran mucho más humanas, del tipo que el inventor se escondió en una habitación durante semanas para evitar una reacción violenta. Si pudiera cambiar una cosa de la educación moderna, querría que los estudiantes supieran que el desarrollo y la preservación de la información nunca fueron ordenados ni libres de sesgos, y que estuvieran suficientemente expuestos al ingenio y la sabiduría de autores del pasado. Además, salvo los artistas y escritores dedicados a la comedia, muchas veces los matemáticos e ingenieros eran mucho más graciosos que los artistas y escritores.

  • Como exdocente, creo que la razón es que el sistema educativo que conocemos existe para producir resultados de aprendizaje reproducibles a gran escala. Es un intento de transmitir a la mente de adolescentes conocimientos que los genios de siglos obtuvieron con dificultad, lo cual, si uno lo piensa, es bastante extraño.
    Visto así, aunque se queda corto a la hora de transmitir una verdadera intuición, es sorprendentemente exitoso. Una mejor educación probablemente sería un enfoque guiado por el estudiante y centrado en el descubrimiento, pero es más difícil de escalar y sus resultados son menos deterministas. Por eso seguimos repitiendo una educación aburrida, pero hasta cierto punto efectiva.

• Discusión anterior de 2022: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • En esa discusión se trató cómo las matemáticas reemplazaron los números infinitamente pequeños, aunque no fueran 0, por límites. Los infinitesimales fueron reintroducidos más tarde de forma rigurosa mediante https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html.
    Desde hace tiempo he pensado que este enfoque sería más manejable en las computadoras modernas.