6174: número natural conocido como la constante de Kaprekar
(en.wikipedia.org)- 6174 es un número natural entre 6173 y 6175, y matemáticamente se clasifica como Kaprekar's Constant
- Su factorización prima es 2 × 3² × 7³, y es un 7-smooth number, ya que todos sus factores primos son 7 o menores
- 6174 se expresa como 18³ + 18² + 18¹, y la suma de sus dígitos también es 18
- Si se elevan al cuadrado sus factores primos, incluyendo repeticiones, y luego se suman, el resultado es 169 = 13², nuevamente un cuadrado perfecto
- Hay enlaces a un video de Numberphile y a código de ejemplo en Perl, Python y C para ver ejemplos de cálculo de Kaprekar's Constant
Definición básica de 6174
- 6174 es el número natural que viene después de 6173 y antes de 6175
- Su forma cardinal es “six thousand one hundred seventy-four”, y su forma ordinal es 6174th
- Su factorización prima es 2 × 3² × 7³
- Sus divisores son 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174
Representación en varios sistemas numéricos
- Binario: 1100000011110₂
- Ternario: 22110200₃
- Base 6: 44330₆
- Octal: 14036₈
- Base 12: 36A6₁₂
- Hexadecimal: 181E₁₆
- La notación en numerales griegos es ,ϚΡΟΔ´, y la notación en numerales romanos es V MCLXXIV o VI CLXXIV
Propiedades matemáticas
- 6174 es Kaprekar's Constant
- Es un 7-smooth number, ya que entre sus factores primos no hay ningún número mayor que 7
- 6174 puede formarse con la suma de las tres primeras potencias de 18
- 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
- 6 + 1 + 7 + 4 = 18, por lo que la suma de sus dígitos también es 18
- La suma de los cuadrados de sus factores primos da un cuadrado perfecto
- 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²
Recursos externos relacionados
- 6174 is Kaprekar's Constant: video de Numberphile
- Sample (Perl) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: código de ejemplo en Perl
- Sample (Python) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: código de ejemplo en Python
- Sample (C) code to walk the first 10000 numbers and their steps to Kaprekar’s Constant: código de ejemplo en C que trata los primeros 10000 números y la cantidad de pasos hasta Kaprekar’s Constant
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Parece claramente relacionado con un truco contable manual estándar que se usa para encontrar errores en libros de contabilidad de partida doble. Primero se verifica si el monto del error es divisible por 9 y, si lo es, se asume que en algún lugar se invirtieron dos o más dígitos
La razón se puede demostrar así: para dos dígitos x, y, el valor correcto es 10x + y, y el valor invertido es x + 10y. La diferencia es (10x - x) + (y - 10y), que se reduce a 9x - 9y y, finalmente, se factoriza como 9(x - y)
La suma de dígitos a ambos lados de la ecuación a - rev_a = b se va acercando con cada iteración. A veces se mantiene a la misma distancia, pero no se aleja más. Y esa convergencia solo ocurre en 18
Ejemplos:
5200 (suma 7) - 0025 = 5175 (suma 18, diferencia 11)
7551 (suma 18) - 1557 = 5994 (suma 27, diferencia 9)
9954 (suma 27) - 4599 = 5355 (suma 18, diferencia 9)
5553 (suma 18) - 3555 = 1998 (suma 27, diferencia 9)
9981 (suma 27) - 1899 = 8082 (suma 18, diferencia 9)
8820 (suma 18) - 0288 = 8532 (suma 18, diferencia 0)
8532 (suma 18) - 2358 = 6174 (suma 18, diferencia 0)
7641 (suma 18) - 1467 = 6174 (suma 18, diferencia 0)
Esto parece ser la primera pista. El único momento en que las sumas de dígitos de ambos lados pueden igualarse es cuando ambas son 18, y las sumas de ambos lados se van acercando hasta que finalmente deben igualarse, y ese punto tiene que ser 18. Si uno profundiza, probablemente sea una variación de la regla clásica de la suma de dígitos mod 9
Luego, una vez que las sumas de dígitos de ambos lados son 18, parece que desde ahí debe converger a 6174
Es decir, primero la suma de dígitos siempre converge hasta ser igual en ambos lados, y esa convergencia siempre ocurre cuando la suma de dígitos de ambos lados de la ecuación es 18. Creo que esta propiedad se puede demostrar con la regla clásica de mod 9, aunque requiere algo de trabajo
Después entra en juego una segunda propiedad: todos los números de cuatro dígitos de esta ecuación cuyas sumas de dígitos en ambos lados son 18 convergen a 6174. Ese es un conjunto de números más restringido. Como la convergencia a 18 se puede analizar por separado, basta considerar números de la forma a - a_rev = b en los que tanto a como b tienen suma de dígitos 18
No tengo idea de por qué esto es importante, pero es de lo más genial que he visto últimamente en HN
Estoy muy lejos de ser fanático de las matemáticas y las evité todo lo posible en la escuela, pero cosas como esta son realmente fascinantes y raras. ¿Cómo demonios, y por qué motivo, alguien descubrió algo así? Las propiedades de este número ya son bastante interesantes, pero el proceso de descubrimiento en sí es realmente extraño
Al final, este proceso lleva a un número capicúa que permanece igual al invertir sus dígitos. Pero números como 196 parecen no generar nunca un capicúa. Nadie sabe si eso es realmente así, o si el capicúa es tan grande que las computadoras aún no lo han encontrado
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Otro número de cuatro dígitos interesante relacionado con un matemático indio es 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
Sorprendente. ¿Existe alguna intuición informal sobre por qué existe siquiera una constante de cuatro dígitos con esta propiedad? Intuitivamente esperaría que este grafo tuviera varios ciclos
Lo revisé y, al aplicar este proceso a todos los números de cuatro dígitos, solo hay 55 resultados distintos; 54 si se excluye 0000. Así que queda menos espacio para que aparezcan muchos ciclos
A grandes rasgos hay algunos patrones. Por ejemplo, en las bases donde existe un número de Kaprekar de dos dígitos, la suma de sus dígitos es base-1. Probablemente haya una explicación de teoría de números detrás de esto
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
Me acordé de un dispositivo cilíndrico que vi en el Exploratorium de San Francisco hace más de 10 años. Creo que también se había presentado antes en la columna Mathematical Recreations o Computer Recreations de Scientific American.
Creo que era un gran cilindro horizontal cubierto de números, y tal vez tenía algún aro o una especie de cursor. Al girarlo se realizaba alguna operación matemática y, como este 6174, parecía converger a un único número después de varias iteraciones sin importar el estado inicial.
Me gustaría recordar qué era.
Intenté encontrar el artículo original de Kaprekar, pero no pude. ¿Alguien tiene el PDF?
Como nota al margen, me pregunto cuántas investigaciones se habrán desvanecido en la nada por no haber sido lo suficientemente interesantes.
6174 solo es especial cuando contamos en base 10. Como esto es HackerNews, todos usamos base 16, ¿no? Lamentablemente, según https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php, en hexadecimal no hay una constante de Kaprekar simple.
Para 5 dígitos es 98532. Interesante.
74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
53955 -> 59994 -> repeat
https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php
El artículo dice que funciona para todos los números y que los repdigits son la única excepción, pero ¿no falla también con todos los palíndromos?