Teoría de Galois
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster publicó en arXiv y en su sitio web materiales sobre teoría de Galois usados en sus clases de licenciatura en Edimburgo entre 2021 y 2023
- Los materiales incluyen apuntes de clase, unos 40 videos explicativos breves, ejercicios y casi 500 preguntas de opción múltiple, por lo que también pueden usarse para estudiar de forma autodidacta
- Estos apuntes parecen haber recibido más atención que sus materiales publicados anteriormente sobre Fourier analysis, general topology, linear algebra y category theory; los apuntes de category theory son un caso excepcional, ya que también se publicaron como libro
- La primera clase se dictó durante el confinamiento total por Covid, lo que dificultó la interacción presencial y exigió una guía y una estructura más cuidadosas de lo habitual
- Además de la solidez del contenido, la presentación visual, como el uso de colores y pequeños íconos, parece haber contribuido a mejorar la accesibilidad; los apuntes, videos y problemas quedan como materiales abiertos útiles para los estudiantes
Publicación de materiales del curso de teoría de Galois de Edimburgo
- Tom Leinster subió a arXiv los apuntes del curso de licenciatura Galois theory de Edimburgo
- El curso se impartió entre 2021 y 2023
- Los apuntes ya estaban compartidos en su sitio web, pero el registro en arXiv se demoró porque quería publicar también la mayor parte de los demás materiales del curso
- Los materiales publicados pueden verse en Galois theory course materials
- Apuntes de clase completos e independientes
- Unos 40 videos explicativos breves
- Muchos ejercicios
- Casi 500 preguntas de opción múltiple
Diferencias frente a materiales publicados anteriormente
- Leinster ya había publicado varios apuntes de cursos en el pasado
- Los apuntes de teoría de Galois parecen haber recibido más atención que esos materiales
- Como excepción, los apuntes de category theory también se convirtieron en libro
Una estructura cuidadosa nacida del confinamiento
- La primera clase se realizó durante el confinamiento total por Covid
- Los estudiantes habían perdido oportunidades de interacción presencial
- Leinster consideró que los estudiantes necesitaban más orientación de lo habitual
- Entre las razones por las que los apuntes llamaron la atención podrían estar no solo la cuidadosa organización del contenido, sino también su apariencia agradable
- Colores
- Pequeños íconos
- Una presentación visual en general más fácil de leer
Objetivo de los materiales publicados
- Leinster espera que los apuntes, videos y problemas publicados sean disfrutados por la gente
1 comentarios
Opiniones en Hacker News
Estudiaba ingeniería eléctrica, pero aprendí teoría de Galois en la universidad, y fue de casualidad, en Edinburgh. En cuarto año elegí Advanced Mathematics como una especie de penitencia; había muy poca gente en la clase y la impartía un “matemático de verdad” que venía todos los días del departamento de matemáticas.
Recibí bastante educación matemática, pero creo que esa fue la única vez que me enseñó directamente alguien que creaba matemáticas nuevas y escribía papers. Enseñó teoría de Galois usando aplicaciones de teoría de códigos como ejemplo y, sinceramente, lo veo como un punto de inflexión en mi vida.
Dejé de pensar para siempre en la construcción del heptágono regular, y también me aseguré de evitar los duelos y Montparnasse. Bromas aparte, fue como si se me prendiera un foco en la cabeza, y más adelante me ayudó mucho en mi carrera cuando conocí a gente que quería parecer inteligente diciendo que sabía ECC o ZKP. Fue todo lo contrario de quienes dicen “no usé nada de lo que aprendí en la universidad”.
Los libros de Ian Stewart son excelentes para estudiar por cuenta propia y también incluyen un contexto histórico interesante.
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Más adelante este año, quizá hacia el invierno, si avanzo bien, planeo organizar una reunión de club de lectura con este libro. Si hay alguien que quiera leer un libro así en grupo y compartir su progreso, me gustaría invitarlo al canal #bitwise en IRC y Matrix. Ambos canales están conectados por bridge, así que se puede entrar por cualquiera de los dos.
En este canal hay usuarios de HN y de otros canales como ##math, ##physics y #cs; es un espacio online para compartir avances y contenidos de libros de matemáticas y computación que estamos leyendo.
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
La forma en que se enseña la teoría hoy suele estar reconstruida tras la evolución del pensamiento matemático y la notación, pero leer los artículos originales anteriores a eso también fue muy interesante. Para ese fin recomiendo mucho The mathematical writings of Evariste Galois, de Peter Neumann (https://ems.press/books/hem/102). Tiene el original en francés y una traducción literal al inglés lado a lado, además de notas que explican el contexto y los posibles procesos de pensamiento. Como estaba aprendiendo francés, también fue divertido leer más en francés.
El capítulo 1 es excelente
Llevo años insistiendo en que a las clases de matemáticas les hace falta más contexto. Podemos demostrar X, Y y Z, y esta clase enseña eso, pero los problemas que motivaron que pudiéramos hacer X, Y y Z apenas se tratan de pasada.
Después de resolver algo, se puede rehacer en una forma más general, y esa reconstrucción se vuelve un objeto en sí misma. Es genial que el desarrollo avance de esa manera, pero para fines educativos, se queda mucho mejor en la cabeza de la gente cuando se enseña no solo el destino, sino también el recorrido. Al enseñar Cálculo I, incluir qué problemas intentaba resolver Newton y por qué habría enganchado mucho más a los estudiantes. Porque les da una historia que seguir y una razón para aprender.
Mis respetos para quien escribió el capítulo 1. El resto probablemente también sea bueno, pero por ahora solo tuve tiempo de hojear el capítulo 1. Creo que esto aplica no solo a matemáticas, sino a casi cualquier materia.
En la universidad trabajé en un centro de tutorías de matemáticas, y las clases de cálculo estaban divididas entre las de ingeniería/ciencias y las de administración/economía. Si la mecánica newtoniana te parece interesante o está relacionada con tu carrera, ese enfoque es muy bueno, pero vi a menudo que estudiantes de carreras como biología o ingeniería industrial sufrían más por las aplicaciones de física del libro.
Los estudiantes llegaban con un solo problema: “el cálculo es difícil”, pero de pronto, para entender cálculo, tenían dos problemas: también tenían que entender física. Había estudiantes que manejaban bien las derivadas e integrales en sí, pero se trababan cuando se mezclaba un problema de física. La capacidad de traducir problemas reales a matemáticas es importante, pero cuando se mete un campo específico que no les interesa, se vuelve un obstáculo mayor.
Con los estudiantes de administración pasaba algo parecido. La mayoría de los tutores venían de ingeniería, así que les costaba ayudar a estudiantes de administración que usaban libros llenos de ejemplos que requerían conocimientos financieros básicos. Además, muchas magnitudes financieras no son continuas sino discretas, lo que aumentaba la confusión de los tutores.
Si se puede encontrar una aplicación que le interese al estudiante, por supuesto que conviene usar ese enfoque. Pero en un libro de texto generalista, elegir una aplicación específica entorpece el aprendizaje de muchos estudiantes a quienes no les interesa.
Si uno aprende cómo se desarrollaron las matemáticas con el tiempo y cómo la gente del pasado resolvió problemas importantes, ¿ayuda eso a resolver otros problemas hoy? Hace unos años compré el set de 3 tomos de Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, pero no he tenido tiempo de pasar de los primeros capítulos. Me interesaría cualquier recomendación de grandes obras de historia de las matemáticas de ese estilo.
Curiosamente, después de leer Everything and More, de David Foster Wallace, lo entendí mucho mejor. Fue porque explicaba las paradojas y callejones sin salida con los que chocaron los matemáticos antes de que Cauchy y otros hicieran rigurosos esos problemas. Wallace era un novelista posmoderno; no sé por qué explicó el infinito con tanta claridad. No pude disfrutar sus otras obras.
Con mentalidad de programador, ya sea resolver t^3 = 2 o resolver numéricamente t^100 + t + 1 = 7, en ambos casos habría que usar métodos iterativos como el método de Newton. Que “exista un botón de raíz n-ésima” no es un argumento. También podrían haber puesto un botón más general de Newton.
No me parecen fundamentalmente distintos. ¿Por qué importa que se pueda resolver con radicales? Se siente tan arbitrario como preguntar si se puede resolver sin usar el número 2. Creo que me interesarían más otros sentidos de resolubilidad, como los métodos iterativos, el método de Newton o la convergencia cuadrática.
También hablé con estudiantes de algunas otras universidades y tenían experiencias parecidas. En ese entonces a nadie le gustaba. Mi profesor dedicó al menos dos clases enteras a escribir solo historia en el pizarrón, y nos aburrimos bastante. Aunque éramos estudiantes de posgrado en matemáticas, así que no necesitábamos motivación.
Creo que la teoría de Galois es una explicación y una cumbre de la matemática teórica cuya motivación y contenido se pueden conversar incluso en una cena con gente a la que no le gustan las matemáticas
Si empiezas con la fórmula general de la ecuación cuadrática, casi todo el mundo recuerda algo. Se habla de resolver x en un polinomio, y luego se pasa a si siempre se puede resolver x y qué significa eso. Si graficas un polinomio, cruza el eje x, así que hay una solución; pero ¿significa eso que se puede resolver con una fórmula en términos de los coeficientes? Esto apunta al teorema fundamental del álgebra, según el cual todo polinomio de grado n tiene n soluciones en los números complejos.
Aunque es difícil explicar cómo se conecta resolver con radicales con que eso signifique tener una fórmula para x en términos de los coeficientes del polinomio.
La conclusión es que, para un polinomio general de grado 5 o mayor, no existe una fórmula para x expresada mediante sus coeficientes y usando solo las cuatro operaciones aritméticas y la extracción de radicales. La teoría de Galois demuestra eso.
La razón por la que Galois recibe crédito por esto es que hizo falta una imaginación enorme para pensar cómo formalizar y demostrar que “no hay fórmula”. La clave es qué significa que no haya una fórmula, y cómo plantearlo y demostrarlo correctamente.
La teoría de Galois da mucha más intuición y permite entender, por ejemplo, por qué algunas ecuaciones de quinto grado sí se pueden resolver por radicales. Pero Galois no debería recibir el crédito por la demostración de la inexistencia de la fórmula de quinto grado. Al menos no fue el primero.
En la clase universitaria de álgebra abstracta, la teoría de Galois siempre la recuerdo como la parte final. Galois tenía una mente matemática brillante, y me pregunto qué más habría aportado si no hubiera muerto en un duelo a los 20 años
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Hace algunos años dirigí un grupo de estudio con A Book of Abstract Algebra, de Charles C. Pinter. El final desembocaba en la teoría de Galois, y fue uno de los mejores libros que he usado en un grupo de estudio de matemáticas.
También recuerdo la parte sobre Galois hacia el final del libro. Había una sección interesante sobre la historia de resolver raíces de ecuaciones polinómicas, especialmente la historia de resolver ecuaciones de grado arbitrario.
Como alguien que no estudió matemáticas, me pregunto si este artículo de Simple Wikipedia es más o menos correcto. Como humilde ingeniero, siempre veía la teoría de Galois en las listas de cursos de matemáticas y me daba curiosidad saber qué era.
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
La brillante intuición que descubrió Galois fue la conexión fundamental entre cuerpos y grupos, pero eso se parece más a una “técnica” para resolver problemas. El “por qué hacerlo” es un poco más complejo, pero, en pocas palabras, Galois quería establecer un criterio para decidir qué polinomios se pueden o no se pueden resolver sobre qué cuerpos.
Por ejemplo, sabemos que x^2 = -1 se resuelve en los números complejos C con x = i, pero no se resuelve en los reales. La pregunta es si se puede generalizar este tipo de prueba lo suficiente como para ejecutarla mecánicamente para cualquier cuerpo y cualquier polinomio.
Intenté motivar las preguntas que llevan a la teoría de Galois de una forma más accesible para programadores e ingenieros con una orientación más práctica en https://news.ycombinator.com/item?id=41258726.
En el segundo semestre de álgebra hubo una unidad sobre teoría de Galois, pero en ese momento me pareció pura palabrería abstracta y no la entendí. Quiero seguir este material para ver si ahora cambió mi perspectiva.
La principal motivación de la teoría de Galois fue demostrar la imposibilidad de una solución general para las ecuaciones de quinto grado. La fórmula general para resolver la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 se conocía desde hacía miles de años, y los matemáticos, tras mucho esfuerzo, también encontraron fórmulas para polinomios de tercer y cuarto grado. Pero nadie lograba encontrar una solución en forma cerrada para el quinto grado.
Galois y Abel finalmente demostraron que no existe una fórmula para el quinto grado. Al menos no una que pueda expresarse con suma, resta, multiplicación, división, potencias y radicales. Por ejemplo, también se pueden identificar ecuaciones concretas como x^5 - x + 1 cuyas raíces no pueden expresarse de esa forma.
Tomé un curso completo que trataba esta demostración y de hecho fue muy interesante. Se establece una correspondencia profunda entre grupos y cuerpos, hasta el punto de poder trasladar teorías sobre grupos a teorías sobre cuerpos, y viceversa. También ofrece una herramienta muy poderosa para analizar simetrías.
La demostración en sí resulta casi anticlimática. Después de acumular muchas demostraciones profundas sobre la estructura de las raíces de ecuaciones polinómicas, al final se ve que la estructura de simetría de un polinomio específico de quinto grado, como x^5 - x + 1, no encaja con las simetrías que tienen las operaciones matemáticas básicas. Literalmente, el cuerpo de descomposición de ese polinomio no corresponde a un grupo soluble: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Casi con la misma línea de razonamiento, también se demuestra que es imposible trisecar un ángulo usando solo compás y regla. Era un problema que había atormentado a los matemáticos durante miles de años. De forma un poco decepcionante, después de pasar todo un semestre definiendo “palabrería abstracta” como grupos, cuerpos y extensiones de cuerpos, la demostración de la imposibilidad de la solución general del quinto grado toma 10 minutos, y la demostración de la imposibilidad de trisecar un ángulo también.
Hay algunos puntos interesantes en los que la teoría de Galois toca los compiladores y la programación.
La interpretación abstracta mapea un conjunto potencialmente infinito de comportamientos de un programa a un modelo más simple, a menudo finito, aproximado de forma sólida y más fácil de razonar. Aquí se usan conexiones de Galois, lo que se puede comparar con la teoría de Galois, que conecta cuerpos infinitos y grupos finitos. Pienso mucho en esta idea cuando trabajo en numeración de valores.
Además, aunque puede ser una analogía un poco forzada, también es interesante pensar en extender un dominio de cálculo como los enteros con valores adicionales, como valores de error, como una especie de extensión de cuerpos. Igual que en las extensiones de cuerpos, a veces aparecen complejidades inesperadas. Por ejemplo, la pérdida de la factorización única,
poisonyundefen LLVM, oNaN.En esencia, permite aproximar de forma sólida el conjunto de estados alcanzables en un programa, y con eso verificar que no se pueda llegar a estados malos, o determinar si alguna comprobación es inútil y puede eliminarse. Otra aplicación es el nuevo verificador de préstamos de Rust, que se basa en varios pases de flujo de datos que determinan qué variables están vivas y prestadas en cada punto del programa.
En relación con la frase “no hay forma de distinguir entre i y -i”, todavía no sé cómo distinguir de manera puramente algebraica entre un sistema de coordenadas zurdo y uno diestro
¿La base [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] es zurda o diestra? Sin un dibujo, no lo sé. Me pregunto si alguien lo sabe
“Izquierda” y “derecha” son un dipolo. Una no puede existir sin la otra, y son simétricas entre sí. Es el mismo problema que los conjugados que se discuten en la teoría de Galois
De hecho, desde un punto de vista algebraico, es decir, no basado en orden, aritmética ni análisis, marcar los conjugados de extensiones de cuerpos como sqrt2 o i con + y - puede prestarse a malentendidos. Para estos pares conjugados, Left y Right son mejores nombres que + y -. Solo tiene sentido usar + y - cuando se introduce un orden aritmético. Por ejemplo, cuando x es un número real positivo, se puede decir que -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x)
Si x es un número real negativo, el problema con - aparece de inmediato. -i e i no se pueden separar por su orden respecto de 0
Los números complejos son, en esencia, una teoría de un espacio bidimensional. La pregunta trata sobre un espacio tridimensional. La frase citada nos dice que, en teoría, no se puede distinguir entre arriba y abajo
Dentro de todo espacio tridimensional hay un espacio bidimensional. Hay varias formas de verlo, pero la más sencilla es descartar la coordenada z
Si suponemos que en un espacio tridimensional se puede distinguir entre zurdo y diestro, entonces obtenemos una forma de distinguir entre arriba y abajo en el espacio bidimensional contenido en él. Pero como en un espacio bidimensional no se puede hacer esa distinción, tampoco se puede distinguir entre zurdo y diestro en tres dimensiones