Lógica
Qué es la lógica
- La lógica es la ciencia de lo posible y el fundamento de todas las demás ciencias.
- Si la ciencia explica cómo funciona el universo, la lógica es la parte de esa explicación que puede aplicarse a cualquier universo.
- La lógica estudia las reglas para concluir que otro hecho es verdadero cuando se conoce un hecho.
Lógica y matemáticas
- La lógica es similar a la teoría de conjuntos y la teoría de categorías, y las teorías matemáticas son lógica con definiciones adicionales.
- La teoría de conjuntos puede definirse añadiendo una relación primitiva a los axiomas estándar de la lógica.
Proposiciones básicas
- Como la lógica es la ciencia de lo posible, se necesita un conjunto inicial de proposiciones aceptadas como verdaderas o falsas.
- Estas proposiciones se llaman "premisas", "proposiciones básicas" o "proposiciones atómicas".
Construcción de proposiciones
- El núcleo de la lógica es el concepto de construcción, y varias proposiciones pueden combinarse usando operadores lógicos.
- Los operadores lógicos incluyen "y", "o" y "por lo tanto", entre otros.
Equivalencia entre proposiciones básicas y compuestas
- Una proposición formada por varias premisas no es distinta de una proposición básica y se construye del mismo modo.
Prueba por contradicción
- La prueba por contradicción es una de las proposiciones lógicas más antiguas, y muestra que si A es verdadera y A implica B, entonces B también es verdadera.
Verdades evidentes
- Una verdad evidente es una proposición que siempre es verdadera, y su opuesto es una contradicción que siempre es falsa.
- Las verdades evidentes se usan como base para los esquemas de axiomas y las reglas de inferencia.
Sistema lógico
- Usando esquemas de axiomas y reglas de inferencia, se pueden generar nuevas proposiciones.
- Un sistema lógico está compuesto por una pequeña colección de estos esquemas y reglas.
Conclusión
- Para comprender los componentes principales de la lógica (axiomas y reglas de inferencia), es necesario demostrarlos mediante una interpretación específica.
Lógica clásica: interpretación veritativo-funcional
- La lógica clásica se basa en la teoría de las Ideas de Platón, y toda proposición es verdadera o falsa.
- Los operadores lógicos se representan como funciones que reciben valores booleanos y devuelven otros valores booleanos.
Lógica intuicionista: interpretación BHK
- La lógica intuicionista considera que una proposición consiste en construir una prueba y rechaza la dicotomía de que toda proposición sea verdadera o falsa.
- En la interpretación BHK, que una proposición sea verdadera significa que existe una prueba de ella.
Interpretar la lógica como categoría
- La interpretación BHK ofrece una perspectiva de orden superior para interpretar la lógica con base en la teoría de categorías.
- El isomorfismo de Curry-Howard explica la similitud entre la lógica y los lenguajes de programación.
Teorema de GN⁺
- La lógica es una parte fundamental de las matemáticas y la ciencia, y cumple un papel importante en diversos campos.
- La lógica clásica y la lógica intuicionista tienen trasfondos filosóficos distintos, y según su interpretación pueden producir resultados diferentes.
- Los sistemas lógicos son herramientas poderosas que pueden generar nuevas proposiciones mediante axiomas y reglas de inferencia.
- La interpretación de la lógica puede conectarse con la teoría de categorías, lo que la hace aún más interesante a través de su similitud con los lenguajes de programación.
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