Matemáticos adolescentes encuentran todos los nudos dentro de un asombroso fractal

• Cuando Malors Espinosa era estudiante de posgrado en la Universidad de Toronto, buscaba un problema de investigación al que también pudieran enfrentarse estudiantes de preparatoria, y se preguntó si todos los nudos podían caber dentro de la Menger sponge
• La Menger sponge es un fractal que se forma vaciando repetidamente un cubo, y Karl Menger demostró en 1926 que esta estructura es una curva universal que puede contener todas las curvas
• Joshua Broden, Noah Nazareth y Niko Voth convirtieron los nudos en una cuadrícula mediante una arc presentation y desarrollaron una forma de evitar los agujeros de la sponge usando coordenadas del Cantor set
• Tras varios meses de reuniones semanales por Zoom, los tres estudiantes demostraron que todos los nudos pueden caber dentro de la Menger sponge, y el artículo fue publicado en arXiv
• En la versión tetraédrica, mostraron que también pueden colocarse el trefoil knot y la familia más amplia de pretzel knot, pero aún no se sabe si eso se extiende a todos los nudos

---

Un teorema de nudos y fractales nacido de un problema de investigación para estudiantes de preparatoria

• En el otoño de 2021, Malors Espinosa estaba buscando un problema matemático que estudiantes de preparatoria pudieran demostrar por sí mismos y que al mismo tiempo tuviera valor de investigación
• Había estado enseñando ideas básicas de investigación matemática y cómo redactar demostraciones en un taller de verano para estudiantes locales de preparatoria, y algunos ya estaban listos para abordar problemas sin hoja de respuestas
• Después de reencontrarse con la Menger sponge en un libro de teoría del caos, eso llevó a una pregunta que combinaba este fractal con la teoría de nudos

La Menger sponge y la curva universal

• La Menger sponge se construye dividiendo un cubo como si fuera un Rubik’s cube, quitando el pequeño cubo central y los pequeños cubos centrales de sus seis caras, y repitiendo infinitamente el mismo proceso en los 20 cubos restantes
• A medida que avanza la repetición, los agujeros aumentan exponencialmente, y tras una repetición infinita el volumen se reduce a 0 mientras el área superficial se vuelve infinita
• Cuando Karl Menger definió esta sponge en 1926, demostró que cualquier curva puede deformarse y colocarse en algún lugar de la sponge sin autointersecciones
  • Líneas simples y círculos
  • Estructuras que parecen árboles o copos de nieve
  • Curvas parecidas a polvo fractal
• Por esta propiedad, Menger llamó a la sponge una universal curve

¿También pueden caber todos los nudos que son homeomorfos a un círculo?

• La pregunta de Malors partía del hecho de que el teorema de Menger no distingue entre curvas homeomorfas
• Un nudo matemático es un lazo cerrado formado al unir los dos extremos de una cuerda enredada o anudada, y desde la perspectiva de una hormiga que camina sobre él, regresa a su punto de partida igual que en un círculo
• En ese sentido, todos los nudos son homeomorfos a un círculo, pero la demostración de Menger solo garantiza que un círculo cabe dentro de la sponge
• El objetivo era mostrar que todos los nudos pueden encontrarse dentro de la Menger sponge conservando sus lazos y entrelazamientos

Cuadriculando los nudos con una arc presentation

• Los tres estudiantes, Joshua Broden, Noah Nazareth y Niko Voth, abordaron el problema representando los nudos en una cuadrícula plana mediante una arc presentation
• Una arc presentation convierte la información sobre cómo los hilos del nudo pasan por delante o por detrás unos de otros en una disposición de puntos sobre una cuadrícula, con exactamente dos puntos en cada fila y en cada columna
• Los puntos se conectan con líneas horizontales y verticales, y cuando dos segmentos se cruzan, la línea vertical se dibuja pasando por delante de la horizontal
• Como cualquier nudo puede representarse con este tipo de cuadrícula, se vuelve más fácil estudiar sus propiedades importantes

Evitar los agujeros de la sponge con coordenadas del Cantor set

• Los estudiantes usaron la idea de colocar las líneas horizontales de la arc presentation sobre una cara de la Menger sponge y las verticales sobre la cara opuesta
• La parte más difícil era lograr que, al conectar las dos caras hacia el interior de la sponge en cada esquina de la arc presentation, la trayectoria no cayera en un agujero
• Para hacerlo, recurrieron al Cantor set, un fractal unidimensional
  • Se divide un segmento en tres partes y se elimina el tercio del medio
  • Se repite infinitamente el mismo procedimiento en los dos segmentos restantes
  • Como resultado queda un conjunto de puntos dispersos
• Si se considera que la Menger sponge y el Cantor set han pasado por el mismo número de etapas de eliminación, entonces en la cara de la sponge no debería haber agujeros en los puntos cuyas dos coordenadas pertenecen al Cantor set
• Debido a la estructura repetitiva de la sponge, tampoco debería haber agujeros justo detrás de esos puntos, así que el nudo puede pasar sin salirse del material de la sponge

La demostración de que todos los nudos caben en la Menger sponge

• La tarea restante era mostrar que cualquier arc presentation de un nudo puede comprimirse o estirarse para que todas sus esquinas coincidan con coordenadas del Cantor set
• Como esas compresiones y estiramientos no cambian la estructura global de la arc presentation, el nudo representado sigue siendo el mismo
• Broden, Nazareth y Voth demostraron que cualquier arc presentation puede deformarse de modo que los puntos donde se cruzan líneas verticales y horizontales queden dentro del Cantor set
• Ese resultado garantizó que un número mayor de esquinas también pudiera ajustarse al Cantor set y, al final, permitió colocar el nudo dado dentro de alguna etapa iterativa de la Menger sponge
• Los tres estudiantes mostraron que todos los nudos pueden caber dentro de la Menger sponge

Extender el problema a la sponge tetraédrica

• Después de resolver la pregunta original, los estudiantes empezaron a investigar si todos los nudos también pueden caber dentro de la versión tetrahedral de la Menger sponge
• En este caso, el método anterior, que usaba caras exactamente opuestas entre sí, ya no funciona, así que el problema se vuelve más complicado
• Malors llegó a pensar por un tiempo que el trefoil knot no podía caber dentro de un tetraedro, pero los tres estudiantes no estuvieron de acuerdo y encontraron una nueva forma de acomodarlo
• Después demostraron que lo mismo era posible para toda la familia más general de nudos a la que pertenece el trefoil, los pretzel knot
• Sigue siendo un problema abierto si otros tipos de nudos pueden caber dentro de la sponge tetraédrica

La posibilidad de ver la complejidad fractal a través de los nudos

• Malors cree que el método de los estudiantes podría convertirse en una forma más amplia de medir la complejidad de los fractales
• No todos los fractales pueden contener todos los tipos de nudos, así que qué nudos pueden contener y cuáles no podría convertirse en un criterio para entender la estructura fractal
• En 2014, aficionados a las matemáticas construyeron un Menger sponge finito de 200 libras usando tarjetas de presentación como parte de un proyecto mundial llamado MegaMenger
• Allison Moore cree que este resultado podría dar lugar a una nueva forma de arte matemático creada con materiales físicos
• Los tres estudiantes ya se graduaron de la preparatoria; solo Broden sigue trabajando en el problema del tetraedro mientras lo compagina con cursos universitarios, y los tres están considerando dedicarse a las matemáticas

[GN⁺]

Opiniones en Hacker News

• Es un rompecabezas de navegador basado en la teoría de nudos; no sé qué aprendí jugando, pero fue divertido.
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • Por alguna razón me recordó a https://www.jasondavies.com/planarity/

• Quanta me parece una revista realmente excelente. La acabo de descubrir

  • También tiene algunos podcasts buenos, y en lo personal me gusta bastante Joy of Wh(y)

• Aquí hay una explicación de “todos los nudos son homeomorfos (homeomorphic) a un círculo”
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • Eso no es exacto. Un nudo no es un espacio topológico sino una incrustación (embedding), es decir K:S^1 -> S^3, y más generalmente S^n -> S^n+2. Por eso la noción de homeomorfismo no se aplica directamente.
    Lo que señala el texto original es que, al restringirse a la imagen, se obtiene un homeomorfismo del círculo a esa imagen. Esto se debe a que es una incrustación del círculo.
    Si se ve como una aplicación entre espacios topológicos —y normalmente se elige dentro de la categoría suave o lineal por partes, lo que añade más restricciones—, la interpretación más naturalmente cercana a “isomorfismo” es un par de homeomorfismos f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 que satisfacen Kf=gK. Es decir, corresponde a una transformación natural o a un cuadrado conmutativo.
    Con esto se obtiene casi lo que se quiere, pero un homeomorfismo puede invertir la orientación del espacio o la orientación del nudo, y eso no coincide con el fenómeno físico de los nudos. Por eso hay que dotar al espacio de una orientación, y para ello se pasa a la categoría lineal por partes/suave o se usa homotopía/isotopía.
  • Intuitivamente, puedes pensar que eliges un punto de partida en el círculo y otro en el nudo, y caminas a distintas velocidades para volver al punto inicial al mismo tiempo.
    En realidad, un nudo es una aplicación continua biyectiva desde el círculo hacia la imagen de esa aplicación, es decir, el nudo. La respuesta enlazada también lo explica así.
    Edit: al volver a mirar el artículo, vi que ya incluía esta explicación intuitiva con la analogía de la hormiga.

• Me encanta Quanta. Ojalá tuviera una edición impresa

  • De acuerdo. Con gusto pagaría una suscripción impresa, e incluso podría donar un ejemplar extra a una preparatoria cercana.
    Aunque quizá los adolescentes de hoy no vayan a la biblioteca, así que tal vez habría que repartir la revista en baños, pasillos y cafeterías.
  • Me recordó a Leonardo de MIT. Fue una de las cosas con las que me obsesioné brevemente en segundo año: https://direct.mit.edu/leon
  • En cambio, yo prefiero más los medios modernos porque permiten incluir animaciones y cosas por el estilo.

• La “versión tetraédrica de la esponja de Menger” suele conocerse más como tetraedro de Sierpiński, y es la versión tridimensional del triángulo de Sierpiński.

• No entiendo por qué usaron necesariamente un fractal. ¿No bastaba con una cuadrícula tridimensional? ¿Una cuadrícula de resolución adecuada no cumpliría la misma función?
  ¿O se trata de demostrar que incluso dentro de este subconjunto restringido de una cuadrícula 3D se puede hacer todo?

  • El resultado para una cuadrícula 3D es bien conocido y casi podría decirse que es trivial. En una dimensión, basta con dejar solo 2 capas y descartar el resto.
    Como dices, la esponja de Menger es un subconjunto de una cuadrícula 3D, así que los estudiantes tuvieron que encontrar una construcción que evitara los agujeros. Personalmente, el resultado no me sorprende, pero se ve bonito.
    Dicho eso, para mí la parte realmente interesante del artículo es el problema abierto del final: ¿se pueden incrustar todos los nudos dentro del tetraedro de Sierpiński?

• Me gusta que la demostración sea elemental y fácil de entender. Casi recuerda a las demostraciones del teorema de Pitágoras, pero parece que podría ser bastante significativa.

• Muy genial. Me habría gustado que también mostraran con una visualización similar cómo lo resolvieron para la junta de Sierpiński.