Nuevo tetraedro con forma de pirámide siempre aterriza sobre la misma cara
(quantamagazine.org)- Matemáticos fabricaron un tetraedro monoestable (monostable tetrahedron) como objeto real y confirmaron físicamente un problema de equilibrio en 3D planteado en 1966 por John Conway y Richard Guy
- La figura es un tetraedro con cuatro caras triangulares, pero su centro de masa está ajustado para que, aunque se coloque sobre cualquier otra cara, se voltee y caiga sobre una única cara estable
- En 2023, Gábor Domokos, Gergő Almádi, Krisztina Regős y Robert Dawson demostraron su posibilidad teórica, y un nuevo preprint presenta un modelo funcional de 120 g y 50 cm en su arista más larga
- Para fabricarlo se usaron una estructura hueca de fibra de carbono y carburo de tungsteno de alta densidad, y para que funcione los errores de peso y dimensiones deben mantenerse dentro de 0.1 g y 0.1 mm, respectivamente
- Muestra que la fabricación y la experimentación reales pueden abrir nuevas preguntas en el problema del equilibrio de poliedros, y también podría conectarse con el diseño de un módulo de aterrizaje lunar que se endereza solo tras volcarse
Un tetraedro estable en una sola cara
- El tetraedro (tetrahedron) es el sólido platónico más simple, con cuatro caras triangulares
- En 1966, John Conway y Richard Guy preguntaron si un tetraedro hecho de material uniforme podía sostenerse de manera estable sobre una sola cara
- Años después, ambos concluyeron que un tetraedro monoestable con distribución uniforme de masa era imposible
- Después, el problema quedó abierto para el caso en que la masa no tuviera que distribuirse de manera uniforme, y algunos matemáticos recuerdan que Conway anticipaba la existencia de ese tipo de tetraedro
- Si Conway tenía una demostración de esa conjetura en 3D, nunca la hizo pública
Del gömböc a un poliedro puntiagudo
- Gábor Domokos es un matemático de la Budapest University of Technology and Economics que durante mucho tiempo se ha interesado por los problemas de equilibrio
- En 2006, Domokos y sus colegas descubrieron una figura llamada gömböc
- El gömböc solo se equilibra en dos puntos en total: un punto estable y uno inestable
- Si se coloca en cualquier otro lugar, rueda hasta quedar sobre su punto estable
- El gömböc es una figura parcialmente redondeada, parecida a un juguete roly-poly
- Domokos quería saber si una propiedad similar también era posible en un poliedro (polyhedron) con aristas afiladas y caras planas
- Dávid Papp consideraba que poner un peso en la parte inferior funciona en formas suaves o redondeadas, pero que en poliedros con aristas puntiagudas y caras planas era difícil diseñar uno que siempre se voltee hacia la misma cara
Las condiciones encontradas por la búsqueda computacional
- En 2022, Gergő Almádi, entonces estudiante de licenciatura, tomó una clase de mecánica de Domokos y recibió como tarea crear un algoritmo simple para explorar el equilibrio de tetraedros
- Cuando Conway planteó el problema, había que apoyarse en razonamiento matemático abstracto y cálculos manuales, pero Almádi pudo usar una computadora para explorar por fuerza bruta muchas formas candidatas
- El programa de Almádi encontraba las coordenadas de los cuatro vértices de tetraedros que podían ser monoestables dada una distribución específica de masa
- El equipo identificó que, en todos los tetraedros monoestables, tres aristas consecutivas debían formar ángulos obtusos mayores de 90 grados
- Esta condición hace que una cara quede montada sobre otra, permitiendo que la figura se vuelque
- Luego, el equipo mostró que, en tetraedros con esta característica, puede lograrse un equilibrio estable en una sola cara cuando el centro de masa cae dentro de una de las cuatro pequeñas regiones tetraédricas del sólido original llamadas loading zone
La brecha entre la posibilidad matemática y la fabricación real
- En matemáticas abstractas, es fácil ajustar la distribución de masa porque se pueden definir libremente partes sin peso y partes extremadamente pesadas
- Almádi, Dawson y Domokos querían construir un tetraedro monoestable real, hecho con materiales físicos y que pudiera sostenerse en la mano
- El equipo revisó varios falling pattern en los que el tetraedro caería hacia su cara estable
- En uno de esos patrones, cierta parte tendría que estar hecha de un material con una densidad aproximadamente 1.5 veces mayor que la del centro del Sol
- Eligieron un patrón más realista, pero aun así algunas partes debían ser unas 5,000 veces más densas que otras
- También había muchas restricciones en la elección de materiales
- Los materiales ligeros y flexibles podían deformar la forma
- Si se fabricaba con formas redondeadas o suaves, sería más fácil obtener monoestabilidad como en un roly-poly, lo que iba en contra del objetivo de crear un poliedro afilado
El modelo de fibra de carbono y carburo de tungsteno
- El diseño final era mayormente una estructura hueca
- Las partes ligeras se hicieron con un marco de fibra de carbono (carbon fiber frame), y la pequeña parte de alta densidad se construyó con carburo de tungsteno (tungsten carbide), más denso que el plomo
- Para reducir al máximo el peso de la parte ligera, el marco de fibra de carbono también tenía que ser hueco
- Domokos encargó la fabricación a una empresa de ingeniería de precisión en Hungría
- El proceso de fabricación tuvo que ser tan preciso que incluso había que considerar el peso de cantidades muy pequeñas de pegamento
- El primer modelo, fabricado tras varios meses y miles de euros, no funcionó
- Domokos y el ingeniero principal encontraron un exceso de pegamento adherido a un vértice, y al retirarlo el modelo comenzó a funcionar
- El primer modelo físico funcional del nuevo preprint pesa 120 g, tiene una arista máxima de 50 cm y requería tolerancias de error de 0.1 g en peso y 0.1 mm en longitud
Investigación matemática y aplicaciones de ingeniería
- Richard Schwartz considera que la investigación sobre tetraedros monoestables no requirió matemáticas especialmente sofisticadas, pero que formular este tipo de preguntas en sí mismo es importante
- Aún no está claro qué nuevas ideas teóricas podría aportar este modelo físico
- Aun así, el proceso de experimentar en la práctica puede ayudar a encontrar nuevas preguntas que los matemáticos pueden plantear sobre los poliedros
- Domokos y Almádi están aplicando lo aprendido durante la fabricación al diseño de un módulo de aterrizaje lunar (lunar lander) que pueda enderezarse por sí solo al volcarse
- Schwartz cree que, especialmente en geometría, razonar espacialmente es difícil y pueden surgir errores, por lo que incluso en matemáticas teóricas ver las cosas físicamente puede ser importante
2 comentarios
Es sorprendente que, aunque se acueste sobre otra cara, se levante solo y vuelva a su estado original.
¿Será por la diferencia en el centro de gravedad?
Comentarios de Hacker News
El artículo dice que la implementación física fue un desafío, y que un modelo hecho por el segundo autor con lámina de plomo y bambú cortado en trocitos rodaba secuencialmente desde una cara, pasando por dos caras, hasta su posición estable final.
Yo tengo ese modelo. Lo hice junto con Bob Dawson cuando estábamos en Cambridge, y probablemente debería contactarlo.
Artículo: https://arxiv.org/abs/2506.19244
HTML: https://arxiv.org/html/2506.19244v1
En realidad, lo que hace el trabajo es un centro de masa fuertemente manipulado, así que llamarlo "forma" es medio dudoso. Me parece más correcto llamarlo objeto o cuerpo rígido.
Si no, el peso lo presiona contra la base y lo fija ahí, en vez de hacerlo volcar. La razón por la que, en una dirección, primero se inclina hacia atrás antes de caer de lado es que el centro de masa está dentro de la huella del borde derecho del tetraedro, pero fuera respecto del borde trasero. Por eso se inclina hacia atrás y, como resultado, la base se estrecha, cae hacia la derecha y se estabiliza.
Esto está en otra categoría que el Gömböc. No tiene densidad uniforme, y la mayor parte de la masa está concentrada en la placa inferior.
Si logras que la posición del centro de masa sea la misma, se moverá de la misma manera.
Que Conway haya soltado una idea al pasar y que 60 años después alguien la haya construido de verdad me parece la cumbre de las historias matemáticas.
¡Es el peor D-4! Hablando más en serio, me pregunto qué tan cerca se podría llegar, con un poliedro de masa no uniforme, a un estado de tipo "equilibrio sobre el filo de una navaja".
Es decir, crear un poliedro con distribución de peso no uniforme que sea estable exactamente sobre dos caras, y hacer que una de ellas sea mucho más estable, de modo que, cuando esté apoyado sobre la cara de estabilidad limitada, al tocarlo pase a la cara de alta estabilidad. Una estructura así podría ser útil como detector de manipulación.
Curiosamente, no le gustó mi sugerencia de comprarse una bola de billar #1.
https://www.uline.com/Cls_10/Damage-Indicators
https://www.youtube.com/watch?v=M9hHHt-S9kY
También existe un poliedro mono-monostatic de 21 caras: https://arxiv.org/pdf/2103.13727v2
Aunque al caerse haría mucho ruido y rebotaría varias veces. Me pregunto si existirá un poliedro biestable cuya transición sea lo bastante suave como para no rebotar. El Gömböc original parecía tener un cambio del centro de masa lo suficientemente suave como para no rebotar bajo gravedad normal.
Buen artículo.
Al principio, al ver el video y notar que una cara tenía una placa o algún peso añadido, perdí un poco el interés. Fue por el planteamiento de "unos años después, los dos llegaron por su cuenta a la respuesta de que un tetraedro monoestable uniforme era imposible. Entonces, ¿qué pasaría si no fuera necesario distribuir el peso de manera uniforme?". Pero más adelante, cuando apareció John Conway, volví a engancharme.
¿No bastaría con hacer el módulo lunar con esta forma? :-)
De hecho, quizá sería más útil como exoesqueleto para tortugas. Las tortugas de patas cortas necesitan que la parte inferior del caparazón sea completamente plana, pero el Gömböc no tiene ninguna cara plana. Los vehículos que circulan por rampas también podrían beneficiarse de esta propiedad.
Entonces, ¿como mis Vans?
https://en.wikipedia.org/wiki/Vans_challenge
Lo más impresionante es que un objeto que parece desequilibrado sea, en realidad, muy estable. Esta forma te hace replantearte el significado del equilibrio.
No se trata simplemente de que las fuerzas se igualen; se siente casi como si supiera dónde quiere aterrizar cada vez.