Una coincidencia misteriosa
- La pregunta de por qué π² es casi igual a g
- π es un número adimensional y g es una magnitud física
- Los dos valores no son exactamente iguales
Un problema nada simple
- El valor de g se expresa en unidades de m/s²
- Si se expresa en otras unidades, esta coincidencia desaparece
- Hay que entender la definición del metro y del segundo
La definición del metro
- El metro es la distancia que recorre la luz en el vacío durante 1/299,792,458 de segundo
- Esta definición no incluye π
La historia de los estándares
- En el pasado, la longitud se medía tomando como referencia partes del cuerpo humano
- A medida que surgió la necesidad de estandarización, se propusieron definiciones basadas en constantes naturales
El sueño de la estandarización y la gravedad
- En el siglo XVII, Christiaan Huygens propuso definir el metro usando la longitud de un péndulo
- Surgió el problema de que la longitud del péndulo varía según la ubicación en la Tierra
Una ecuación sorprendente
- π aparece en la fórmula para calcular el período de un péndulo
- Al sustituir los parámetros del péndulo de Huygens, se obtiene π² = g
La Revolución Francesa y el cambio del metro
- En 1791, la Academia de Ciencias de Francia cambió la definición del metro
- Se definió como la cuarenta millonésima parte del meridiano de París
El verdadero metro
- El metro se definió midiendo realmente el meridiano de París
- Al no considerar el achatamiento de la Tierra, se produjo un pequeño error
Conclusión
- La diferencia entre π² y g es de aproximadamente 0.06
- Si la definición del metro no hubiera cambiado, se habría cumplido la elegante ecuación π² = g
# Resumen de GN⁺
- Este artículo explora la relación entre π² y g, y explica el contexto histórico y los principios científicos
- Trata el error generado por los múltiples cambios en la definición del metro
- Ayuda a entender una interesante conexión entre las matemáticas y la física
- Como tema relacionado, se recomienda 'La historia de las constantes naturales y las unidades'
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Interesante, pero quiero objetar esta parte: “Si lo expresas en otras unidades, la magia desaparece de inmediato. Así que no es una coincidencia”.
Normalmente, eso se acerca más a una señal fuerte de coincidencia. Si buscas una heurística para determinar si algo no es coincidencia, el criterio correcto es “¿se mantiene al cambiar de unidades?”.
Sin embargo, este caso parece ser uno particular en el que esa heurística falla.
Si π² fuera exactamente igual a g, y en otras unidades la “magia” desapareciera, entonces sí se podría decir “así que no es una coincidencia” y concluir que está relacionado con las unidades mismas.
Pero π² solo es aproximadamente igual a g, y en otras unidades la magia desaparece, así que antes de leer el artículo probablemente lo habría considerado una coincidencia.
Como físico, tiene sentido. π = 3, π² = 10, eso es g.
No sé por qué todos se sorprenden.
Ah, y recuerdo que un año era π*10e9 segundos.
Otra “bonita coincidencia” es que la conversión entre millas y kilómetros usa la constante 1.609344: kilometers = miles * 1.609344. Llamemos a 1.609344 la constante “km”.
Resulta que km está muy cerca de la proporción áurea (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... La diferencia es de apenas alrededor de 0.5% (100 * (gr/km - 1) = 0.54%). Como dice el autor original: “Si lo expresas en otras unidades, la magia desaparece de inmediato. Así que no es una coincidencia...”, eh... ¿un momento?
Hay otra más. π(3.141592654...) es casi igual a 4 / sqrt(gr)(3.144605511...), y llamemos a esta última “ap”, de “almost pi”. Esto conecta π con la proporción áurea, y la diferencia es de solo 0.096% (100 * (pi/ap - 1)). Seguro que significa algo, ¿no?
Por último, mi favorita: 111111111^2 = 12345678987654321. Esto es... eh... esperen...
Si la longitud del metro se hubiera definido como la longitud de un péndulo de segundos, g habría sido exactamente π². A partir de la ecuación del péndulo:
T = 2π√(L/g)Sustituyendo T = 2 s, L = 1 m:
2 s = 2π√(1 m / g)Despejando g:
g = π² m/s²Esto se cumpliría sin importar qué tan intensa fuera la gravedad, pero la longitud del metro habría cambiado en consecuencia.
[1]. De hecho, Talleyrand lo propuso en 1790. Imaginen un mundo en el que eso se hubiera vuelto realidad.
Hay algo relacionado que me gusta. ¿Por qué el número de Avogadro y la constante de Boltzmann se parecen a recíprocos, N ~ 1/k? Como las unidades no coinciden, la frase en sí no tiene sentido, pero en el sistema MKS es cierta.
Porque al multiplicarlos se obtiene la constante de los gases, que es aproximadamente 1. Ambos son números que trasladan de unidades microscópicas a unidades de escala humana, y en la constante de los gases que describe los gases que experimentamos a escala humana, se cancelan entre sí.
El rango de temperaturas es relativamente estrecho (100~1000), y si se hubieran definido de otra manera el metro, el segundo y el kilogramo, no habría razón para que el rango de P*V no se alejara de ahí, por ejemplo a 0.01~0.1.
Parece difícil explicarlo peor que esto.
¿Para qué lector es este artículo? Para alguien que no sabe física, es una explicación demasiado larga y confusa. Es mucho más importante explicar que una unidad depende de otra, y por qué es importante la capacidad de reproducir por cuenta propia el sistema métrico, que una larga prehistoria del estándar de longitud.
También deja muchas preguntas sin responder. ¿Cómo se definía el segundo? ¿No se mide el tiempo con un péndulo? ¿Por qué era más confiable una definición astronómica?
Para alguien que sabe física, podría escribirse de forma mucho más breve y clara. Por ejemplo: “Una definición universal del metro necesita una constante que aparezca en la naturaleza, como la gravedad. Se podría medir la distancia que cae un objeto durante cierto tiempo, pero es más fácil usar un péndulo. Un péndulo oscila de forma regular con un período de aproximadamente 2πsqrt(longitud de la cuerda/gravedad). Si se fija la gravedad en π², la π se cancela después de la raíz cuadrada y queda T = 2*sqrt(Longitud). Un péndulo de 1 metro tarda 2 segundos en ir y volver, y 1 segundo en una oscilación, así que es útil. Los relojes de la época eran bastante precisos, y el segundo se podía reproducir mediante observaciones astronómicas. Entonces podían tomar un péndulo, ajustar su longitud para que oscilara exactamente una vez por segundo, y luego medir cualquier cosa con esa cuerda o vara. Como se veía bien, cambiaron la constante de gravedad para que fuera π² (9.87 m/s²). Si acortas el metro, todo se vuelve más largo. Más tarde se dieron cuenta de que la gravedad varía en la superficie de la Tierra y de que es difícil reproducir un péndulo matemático perfecto, así que cambiaron a una definición basada en la astronomía y en el tamaño de la Tierra. Eso también tuvo problemas, así que guardaron una vara física de 1 metro en París. Desde hace algunos años, los físicos empezaron a usar la constante de Planck, la distancia más pequeña que se puede medir”.
Ahora la velocidad de la luz no es un valor medido, sino un valor definido. Esto es bastante profundo, porque nuestro sistema de unidades ahora se basa en la validez de la teoría de la relatividad especial.
1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre
Fue un giro genial de la historia de la definición del metro y un excelente texto.
Mientras leía, me vinieron a la mente matemáticos como Ramanujan, gente que dedicaba bastante tiempo a jugar con números aleatorios y encontrar conexiones. Aunque en este caso sospecho que el autor conocía la historia desde el principio.
En cualquier caso, siento que una licenciatura en matemáticas mató hasta cierto punto esa diversión de explorar relaciones numéricas. De niño me encantaba crear y encontrar conexiones como si fueran garabatos raros, pero para cuando terminé la carrera ya quería pensar en conexiones entre los elementos básicos más abstractos que había aprendido.
Aun así, parece que todavía hay muchos matemáticos exitosos que trabajan de esta manera: notan una conexión extraña, luego completan la teoría de por qué ocurre, y a veces eso lleva a resultados realmente interesantes.
Relacionado con esto, recomiendo The Measure of All Things, de Ken Alder, sobre los orígenes del sistema métrico y la primera conferencia científica. Resulta ser una lectura sorprendentemente atrapante.
https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...
Esto no tiene nada que ver con el contenido, sino con el sitio web en sí.
Al entrar al sitio, se rompe por completo. Investigando, descubrí que si Stylus (la extensión de inyección de CSS) está activado con cualquier regla, incluso solo reglas globales, el sitio queda inutilizable. Como está hecho con un framework React, no es que simplemente se vea raro: directamente se rompe.
Abrí un ticket y recibí una respuesta rápida del desarrollador de Stylus; parece que este sitio web y todos los sitios creados con caseme.io detectan nodos inyectados dentro de `` y lanzan un error, rompiéndose.
[1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803
Dudo mucho que la estrategia de “si necesitabas comprar más tela, llamabas a la persona más alta del pueblo para que midiera la tela con su codo” le hubiera funcionado a un vendedor de telas real.
Puede que no existieran pesos y medidas oficiales, pero no eran tontos.