Descubren la primera forma que no puede pasar a través de sí misma

• Matemáticos descubrieron por primera vez una forma tridimensional que no puede pasar a través de sí misma, un hallazgo que sacude la intuición geométrica existente
• La mayoría de los poliedros pueden hacer pasar una copia de sí mismos mediante una combinación específica de rotación y traslación llamada pasaje de Rupert (Rupert passage), pero se confirmó que esta nueva forma lo hace imposible en cualquier orientación
• Los investigadores generaron y verificaron algorítmicamente cientos de millones de poliedros, y aunque encontraron un pasaje en casi todos los casos, existe un número ínfimo de excepciones
• Inspirados por un video de YouTube, dos matemáticos desarrollaron su propio algoritmo y en un artículo de 2021 estimaron que cierto poliedro no podría atravesarse; este nuevo estudio refuerza esa posibilidad
• El descubrimiento abre una nueva dirección para la investigación sobre simetría geométrica y algoritmos de exploración espacial, y se considera un caso que revela límites fundamentales de las formas matemáticas

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Rareza de las formas Nopert y proceso de búsqueda

• Los investigadores confirmaron que los candidatos a Nopert (formas que no pueden atravesarse a sí mismas) son extremadamente raros
  • Murphy llevó a cabo experimentos desde 2023 generando cientos de millones de poliedros
  • Incluyó poliedros aleatorios, disposiciones de vértices sobre una esfera, poliedros con estructuras simétricas y formas con algunos vértices modificados intencionalmente
• Su algoritmo encontraba con facilidad pasajes de Rupert en casi todas las formas, pero en algunas no logró hallar ninguno
  • Aún no está claro si esas formas excepcionales son verdaderos Nopert o simplemente casos donde el pasaje es difícil de encontrar
• Estos resultados sugieren con fuerza entre los matemáticos la posibilidad de que existan Nopert reales
  • Sin embargo, antes de agosto de 2024 no había pruebas concluyentes

“No Passage” — Descubrimiento de una forma sin pasaje posible

• Steininger (30) y Yurkevich (29) son amigos y socios de investigación, exalumnos de olimpiadas matemáticas, que siguieron explorando problemas no resueltos incluso después de dejar el ámbito académico
  • Su entusiasmo quedó reflejado en una entrevista: “Hace 3 horas también estábamos comiendo pizza y hablando casi solo de matemáticas”
• Hace 5 años, ambos quedaron fascinados con el problema de Rupert tras ver un video de YouTube en el que un cubo atraviesa a otro cubo
  • Después desarrollaron su propio algoritmo para buscar pasajes de Rupert y llegaron a convencerse de que algunas formas no podían atravesarse
• En un artículo de 2021 estimaron que el rhombicosidodecahedron (rombicosidodecaedro) no sería una forma de Rupert
  • Esto se considera la primera propuesta de la hipótesis de un “sólido que no puede atravesarse”, anterior al estudio reciente de Murphy y Grimmer
• Steininger comentó: “Fue un estudio en el que por primera vez estimamos que podía existir un sólido sin esta propiedad”

Condiciones matemáticas para demostrar un Nopert

• Para demostrar que una forma es Nopert, hay que probar que no existe un pasaje de Rupert para todas las combinaciones posibles de orientación y rotación
  • Cada orientación puede expresarse como un conjunto de ángulos de rotación
  • Ese conjunto de ángulos puede representarse como un punto en un espacio de parámetros (parameter space) de alta dimensión
• Por lo tanto, el proceso de demostración se reduce a explorar todo el espacio de parámetros y confirmar la ausencia de pasajes
  • Esto es computacionalmente muy complejo y, para una demostración completa, exige considerar una cantidad infinita de combinaciones de orientaciones
• Hasta ahora, los resultados se basan en la verificación de casos finitos posibles mediante exploración computacional, y una demostración matemática completa todavía sigue en desarrollo

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Comentarios en Hacker News

• Como no se pueden probar todos los casos, me parece interesante elegir uno y descartar muchas posibilidades a su alrededor.
  Hace poco vi un excelente video sobre Rupert/Nopert, y me pareció una coincidencia curiosa que saliera casi al mismo tiempo que esta investigación.
  • En realidad no es tanta coincidencia. En el artículo también mencionan a tom7, y al final de su video menciona directamente este artículo. O sea, tom7 también estaba tratando de demostrar el mismo problema.
• El título es algo engañoso. Más específicamente, ya se sabía desde hace mucho que otras formas como la esfera no pueden pasar a través de sí mismas; la novedad aquí es que se trata del primer poliedro que no puede pasar a través de sí mismo.
  • Más precisamente, se refiere a un poliedro convexo. Aun así, la observación sobre el título sigue siendo válida.
  • Una esfera puede aproximarse con poliedros. En general, esos poliedros parecerían tener la propiedad de Rupert, pero este Nopert se diferencia en que los vértices cerca de los planos superior e inferior tienen ángulos más suaves respecto del eje vertical.
    Me pregunto si un tetrominó en forma de T podría pasar a través de sí mismo.
  • Desde la perspectiva de alguien no especializado, quizá habría sido más claro titularlo como “descubren la primera forma sin curvas”.
  • No entiendo por qué una esfera no podría pasar a través de sí misma. Al proyectarla como sombra, parecería posible porque tiene el mismo tamaño que su diámetro.
• Tiene dos caras planas, así que no serviría como dado de D&D. Yo sigo apoyando al rhombicosidodecahedron.
• Me gustó el nivel de detalle del artículo. Sin meterse demasiado en los detalles matemáticos, explicaba lo suficiente como para realmente entender la investigación.
• Yo solo conocía a Prince Rupert por las “Prince Rupert’s drops” que llevan su nombre, pero resulta que fue una figura activa en muchos ámbitos.
  Se puede ver más en Wikipedia.
• No puedo creer que todavía no exista un término como anisotransient para describir esta propiedad.
• Si encontrar uno ya fue tan difícil, supongo que el siguiente resultado será algo como “casi todos los poliedros convexos no pueden pasar a través de sí mismos”.
• ¿De verdad tiene que pasar en línea recta? También puedo imaginar que pase mientras gira, como en un rompecabezas de bloques o al mover un sofá en una esquina.
  El artículo lo limita al paso en línea recta, y la mayor parte del análisis también usa técnicas de proyección de sombras, así que el criterio es lineal. Pero la apuesta original solo hablaba de “hacer pasar una copia a través de sí misma”, así que me parece que permitir la rotación también podría ser un enfoque válido.
  • Pero como este problema está limitado a poliedros convexos, no parece que rotar vaya a ayudar.
• Me pregunto por qué se invierte tiempo en una investigación así. No sé si es simple curiosidad o si al final tendrá algún valor práctico. Se siente más cercano al arte.
  • Puede que el problema en sí no sea práctico, pero las técnicas desarrolladas para resolverlo podrían aplicarse en otras áreas.
    Además, investigar movido solo por la curiosidad también es algo plenamente valioso.
  • Por ejemplo, durante décadas se estudiaron matemáticas abstractas como las transformaciones de matrices y las normales de superficie, y en los años 80 terminaron convirtiéndose en tecnologías clave para los gráficos por computadora.
  • A veces investigaciones así también terminan derivando en inventos prácticos, como el velcro o los mecanismos de autobloqueo. Si alguien encuentra la conexión, puede ir cambiando el mundo poco a poco.
• Desde la perspectiva de una persona común, da la impresión de que los candidatos Nopert son formas cada vez más parecidas a una esfera. Y una esfera no puede tener un túnel de Rupert.
  • Sí. A medida que aumenta el número de caras, visualmente se parecen más a una esfera. Pero la esfera es trivialmente non-Rupert, y la pregunta más interesante es si un poliedro convexo puede ser non-Rupert.
  • Me da curiosidad saber hasta qué punto se puede seguir pasando a través de sí mismo si se siguen agregando caras. Podría ser posible indefinidamente, podrían aparecer Noperts de vez en cuando, o quizá cada vez haya más Noperts y se vuelvan más difíciles de encontrar. Me gustaría probarlo por mi cuenta.
  • Pero lo importante es que no son lo mismo que una esfera.