¿Qué es una variedad?

• La variedad (manifold) es un concepto matemático de espacio que localmente se ve como un plano, pero en conjunto tiene una estructura más compleja
• Este concepto, propuesto en el siglo XIX por Bernhard Riemann, amplió el espacio de un trasfondo físico a un objeto de estudio independiente
• Aprovechando la propiedad de verse como un espacio euclidiano en cada punto, los matemáticos calculan área, volumen y movimiento con herramientas tradicionales del cálculo
• Mediante cartas (chart) y un atlas (atlas), analizan espacios complejos dividiéndolos en varias partes y luego combinan los resultados para entender la estructura completa
• Hoy, las variedades se han consolidado como un lenguaje matemático fundamental con un papel clave en la relatividad general, la topología, el análisis de datos y la física

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Formación de la idea

• Desde la antigüedad, la geometría fue la disciplina que estudiaba las rectas y planos del espacio euclidiano
  • En este espacio, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta y la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados
• A comienzos del siglo XIX, los matemáticos empezaron a explorar espacios curvos y descubrieron fenómenos como líneas paralelas que se encuentran o sumas de ángulos de triángulos que cambian
• Riemann amplió los estudios de superficies de Gauss y presentó una teoría general capaz de definir la geometría incluso en espacios de dimensión arbitraria
  • Presentó esta idea en una conferencia en la Universidad de Göttingen en 1854, y después se convirtió en la base de la topología moderna y la teoría de la relatividad
• En su momento se ignoró por ser demasiado abstracta, pero tras los trabajos de Poincaré y Einstein, hacia mediados del siglo XX se estableció como un concepto estándar de las matemáticas

Definición y estructura de una variedad

• “Manifold” proviene del alemán Mannigfaltigkeit (diversidad) usado por Riemann
• Una variedad es un espacio que localmente se ve como un espacio euclidiano; por ejemplo, un círculo es una variedad de una dimensión
  • Una hormiga sobre el círculo no percibe que está sobre una curva
  • En cambio, una curva con forma de 8 no es una variedad porque en el punto de cruce no se ve como una recta
• La superficie de la Tierra es una variedad bidimensional, pero el vértice de un cono doble (double cone) no lo es
• La clave de la variedad es enfocarse en las propiedades intrínsecas
  • En vez de propiedades que cambian según la dimensión del espacio o su forma externa, se analiza usando la aproximación euclidiana en cada punto
• Para eso, los matemáticos dividen el espacio en varios parches (patches) y representan cada parche con un sistema de coordenadas (chart)
  • Definen reglas de transformación de coordenadas en las zonas donde se superponen, y al conjunto completo lo llaman atlas (atlas)
• Gracias al atlas, pueden dividir un espacio complejo en pequeñas piezas euclidianas, hacer cálculos y luego combinar los resultados para entender la estructura total
• Este enfoque se usa hoy de forma estándar en toda la matemática y la física

Aplicaciones de las variedades

• En la relatividad general, el espacio-tiempo es una variedad de cuatro dimensiones y la gravedad se expresa como su curvatura
• El espacio tridimensional que percibimos también es una variedad; localmente parece plano, pero su forma total aún no se ha determinado por completo
• Los físicos transforman problemas al lenguaje de las variedades para aprovechar sus propiedades geométricas
  • Ejemplo: si todos los estados posibles de un péndulo doble (double pendulum) se expresan con dos ángulos, su espacio de estados se convierte en una variedad con forma de dona (toro)
  • El movimiento del péndulo se representa como una trayectoria sobre ese toro, lo que permite analizar geométricamente movimientos complejos
• De forma similar, el conjunto de soluciones de ecuaciones algebraicas complejas o datos de alta dimensión (por ejemplo, la actividad de neuronas cerebrales) también pueden interpretarse como variedades para entender su estructura
• Las variedades son un lenguaje fundamental en toda la matemática y la ciencia, y se reconocen como una herramienta “tan universal como usar números”

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Comentarios de Hacker News

• Aprendí sobre manifolds por primera vez con Introduction to Smooth Manifolds de John M. Lee
  El libro es denso, pero está bellamente estructurado, y conecta de forma lógica la topología básica con las aplicaciones suaves y los espacios tangentes
  Requiere concentración, pero cada definición contribuye a revelar la esencia de la geometría. Lo recomiendo muchísimo
  • De verdad me parece un libro excelente. Aunque si quieres un enfoque más amable, recomiendo el libro de Loring Tu
    Topological Manifolds de Lee también es bueno, y la edición más reciente de Riemannian Manifolds conviene leerla seleccionando solo las partes necesarias
  • Sinceramente, no entiendo muy bien por qué los libros de John M. Lee están tan bien valorados
    No son malos, pero sentí que les faltaba rigor. En cambio, Manifolds and Differential Geometry de Jeffrey M. Lee me pareció mucho mejor
• Este artículo sobre la historia y la importancia de los manifolds fue muy informativo
  No se limita a una definición simple, sino que explica de forma interesante cómo evolucionó el concepto matemático
  • El sitio sí tiene RSS feed, pero como la etiqueta del encabezado está mal configurada, es difícil encontrarlo
    El feed real es https://www.quantamagazine.org/feed/
  • En lo personal, no me pareció que el artículo fuera tan sobresaliente
    Por ejemplo, describía como manifold el espacio de todos los estados posibles de un péndulo doble (double pendulum), pero no quedaba claro por qué habría que verlo específicamente como un manifold
    Además, faltó explicar mejor el concepto de atlas. Incluso una esfera simple no puede cubrirse con un solo plano, así que hay que usar varios sistemas de coordenadas, y lo esencial es cómo se tratan sus zonas de solapamiento
    Por cierto, el espaciotiempo del que habla la relatividad no es Riemannian, sino espacio de Minkowski
  • Me sorprende que tanta gente no conozca Quanta Magazine
    Creo que es uno de los medios de periodismo científico de mayor nivel en este momento.
    Es serio y sin clickbait, y la combinación de diagramas técnicos e ilustraciones artísticas es excelente
    El pódcast también está bien, pero ojalá hubiera una versión narrada de todos los artículos
    Además, no tiene paywall, pop-ups de cookies ni provocación política
  • No soy matemático, y hasta ahora solo conocía “manifold” como una pieza de motor, pero
    gracias al texto y a las imágenes entendí mucho mejor el concepto
• Cuando en el espacio de representación de una red neuronal se dice que “los datos están sobre un manifold de baja dimensión”, me pregunto si eso significa lo mismo que el manifold de la definición matemática
  O si simplemente es una forma metafórica de hablar de un subespacio intrínseco
  • A esto se le llama la hipótesis del manifold (manifold hypothesis)
    Es razonable asumir que la mayor parte de los datos realmente existen sobre un manifold
    Por ejemplo, aunque deformes suavemente el dígito manuscrito “6”, se sigue reconociendo como “6”
    Pero si usas activaciones ReLU, se rompe la suavidad y el espacio de representación de la red neuronal no es un manifold real
    En cambio, con activaciones suaves como Swish sí se puede mantener la estructura
  • Existe un campo llamado Information Geometry
    Hay investigaciones interesantes que aplican análisis geométrico al proceso de entrenamiento de redes neuronales
    Dicen haber encontrado fenómenos similares a una transición de fase (phase transition) durante el entrenamiento
    Information Geometry of Evolution of Neural Network Parameters While Training
  • En la práctica, puede pensarse como manifold + ruido
    Por ejemplo, datos como y=sin(x)+noise pueden verse como un manifold unidimensional
    Pero por la maldición de la dimensionalidad, dudo que esta definición sea útil algorítmicamente
• Vi por primera vez los manifolds de Calabi–Yau leyendo un libro de teoría de cuerdas
  Enlace de Wikipedia
  La verdad no entendí todo, pero las imágenes son realmente hermosas
  Búsqueda de imágenes en Google
  • Aprendí sobre manifolds de Calabi–Yau hace tiempo, y todavía recuerdo lo difíciles que eran
    Son espacios especiales, suaves y simétricos que localmente son planos, pero globalmente están curvados de forma compleja
    Su curvatura está perfectamente equilibrada, así que en conjunto no se expanden ni se contraen
    En teoría de cuerdas, estos manifolds se usan para explicar las dimensiones ocultas, y su forma influye en las propiedades de las partículas y las fuerzas
• Esto me recuerda cómo los físicos definen los tensores como “objetos que se transforman de cierta manera cuando cambia el sistema de coordenadas”
  A primera vista parece una lógica circular, pero en realidad esa propiedad de transformación es lo que distingue a un tensor de otros arreglos de números
  Visto de forma abstracta, es útil porque no obliga a depender de una visualización
  • A veces cuesta leer a los físicos porque tienden a enfocarse en transformaciones de coordenadas
    Pero la esencia es una estructura geométrica independiente del sistema de coordenadas
    Por ejemplo, el espacio de Minkowski de la relatividad especial puede definirse sin coordenadas
    Los tensores se entienden mucho más claramente como aplicaciones multilineales que reciben vectores y covectores y devuelven números reales
  • La definición al estilo de la física me resultó más bien confusa
    Uno aprende solo la regla de transformación, sin que expliquen bien por qué es así
    En cambio, la definición matemática permite entenderlo de manera mucho más fundamental a través de formas diferenciales y covectores
  • La frase “un tensor de segundo rango es un objeto que se transforma como un tensor de segundo rango” sí es claramente una definición circular
    Porque incluye el propio concepto dentro de la definición
• Un manifold puede pensarse como “un espacio donde, en cualquier punto de la superficie, se puede colocar un disco con forma de CD”
  El radio solo necesita ser mayor que 0
  • Al principio me parecía rara la analogía por la rigidez del CD, pero para un manifold bidimensional es una comparación exacta
  • “Colocar un objeto con forma de CD” en realidad se refiere a un conjunto abierto (open set)
• Me vino a la mente la frase de Lobachevsky: “topología analítica y algebraica de la métrica euclidiana local de una variedad riemanniana infinitamente diferenciable”
  • Me acordé del chiste “¡Plagiarize!”
• Me pareció curioso que el concepto de manifold casi no se aplique a la proyección cartográfica
  En los hechos parece un ejemplo claro de manifold, así que me pregunto por qué
  • Si solo se trata del problema de desplegar una esfera sobre un plano, la teoría de manifolds es una herramienta demasiado pesada
    Los cartógrafos trabajan sobre todo con la distorsión (distortion), así que ya tienen una metodología adecuada
    Además, los manifolds se definen mediante coordenadas locales (local charts) y no por coordenadas globales (global coordinates), por lo que las coordenadas de distintas regiones no coinciden entre sí
    Históricamente, la cartografía existe desde mucho antes que el concepto de manifold
• Es interesante que en la terminología matemática en inglés, lo que “localmente se ve como Rⁿ” se distingue como manifold, mientras que el “conjunto de ceros de un polinomio” se llama variety
  En otros idiomas a veces se usa la misma palabra para ambos. Por ejemplo, en italiano ambos son varietà
  • “manifold” proviene de la Mannigfaltigkeit de Riemann, que en alemán significa “variety” o “multiplicity”
  • En inglés, no toda variety es un manifold
    Para una explicación relacionada, ver respuesta de math.stackexchange
• Me parece interesante que el manifold del automóvil y el manifold matemático usen la misma palabra, pero tengan etimologías distintas
  • Buscando un poco, vi que ambos provienen del antiguo inglés/germánico “many + fold”
  • Esta superposición de nombres genera confusión al aprender un concepto nuevo
    El significado que uno ya conocía se queda rondando en la mente y dificulta entender el nuevo concepto
    Creo que ayudaría mucho explicar también la etimología del término
  • En automoción, un manifold se refiere a una estructura donde un espacio rodeado por paredes delgadas está conectado a varios puertos (ports)
    Muchas veces se trata de dos espacios entrelazados, como la admisión y el escape