Reflexiones sobre qué funcionó en los círculos de matemáticas

• En un círculo de matemáticas realizado durante unos 7 meses con 7 niños de 7 a 8 años, quedó clara una gran diferencia entre los temas que los adultos esperaban que fueran interesantes y los temas en los que los niños realmente se involucraron
• Las actividades visuales y manipulativas como SET, rompecabezas de doblar y cortar, teselaciones, flexagons y construcciones con regla y compás no funcionaron tan bien como se esperaba, mientras que los problemas con una historia, como los acertijos de mentirosos, generaron una reacción fuerte
• Solo con figuras geométricas o patrones numéricos, el interés se apagaba fácilmente; pero en situaciones con sospechas y pistas, como “quién es el mentiroso”, los niños empezaban a analizar casos y contradicciones, desarrollando una intuición de prueba
• El problema de los Siete Puentes empezó como una historia, pero cuando los niños intentaron encontrar por sí mismos “el problema de puentes imposible más pequeño”, experimentaron la simplificación del problema y el regreso gradual a la complejidad
• Dejar que las matemáticas hablen por sí solas puede funcionar con grupos que ya tienen interés, pero para niños sin una afición previa hace más falta un marco narrativo inmersivo

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La diferencia de interés revelada tras 7 meses de círculo de matemáticas

• El grupo estaba formado por 7 niños y niñas que pasaban de los 7 a los 8 años, y tras realizar un círculo de matemáticas durante unos 7 meses, se revisó qué había funcionado
• Había una gran brecha entre los temas matemáticos que parecen atractivos desde la perspectiva adulta y los temas en los que los niños realmente se concentraban

Actividades que, contra lo esperado, no funcionaron bien

• Se esperaba que a los niños les gustaran las siguientes actividades, pero en la práctica estuvieron cerca de fracasar
  • The game SET
  • Fold-and-cut puzzles
  • Geometry snacks
  • Cutting a Mobius strip
  • Teselaciones: Tooti Tooti
  • Prime Climb
  • Hacer flexagons
  • Construcciones con regla y compás
• La geometría tuvo una recepción especialmente mala, y los problemas sobre el área de figuras arbitrarias o regiones sombreadas eran difíciles de envolver en una historia interesante
• Las teselaciones no les parecían bonitas a los niños, y en las actividades de doblar y cortar y de flexagons les faltaba la destreza manual para cortar y doblar el papel suficientemente bien, lo que aumentó la frustración

Temas que tuvieron éxito de forma inesperada

• Hubo actividades que se esperaba que no les gustaran a los niños, pero que en realidad generaron una gran respuesta
  • Knights and Knaves puzzles y temas de lógica proposicional como los blue-eyed islanders
  • Armar directamente calendarios de partidos deportivos en formato round-robin y reducir los tiempos muertos del torneo completo
    • Al principio se planteó como un torneo de fútbol, pero como el niño al que más le gustaba el fútbol no fue esa semana, se cambió a un concurso de baile, y se volvió más divertido
  • El problema de los Siete Puentes y la búsqueda del problema de puentes “imposible” más pequeño
  • Juzgar quién es mejor a partir de la cantidad de penales acertados y fallados
  • Crear directamente patrones del tipo del triángulo de Pascal
• También hubo actividades que, tal como se esperaba, les gustaron a los niños
  • Juego Function Machine: un juego para adivinar una función que se puede consultar como si fuera una caja negra
  • Variaciones de Nim
  • The Turing Tumble
  • Reparto justo de un pastel usando galletas reales y toppings desiguales
  • Juegos de teoría de juegos como el dilema del prisionero y Chicken
  • Preparar mocktails para 3 personas a partir de una receta para 1 vaso y otra para 5 vasos
    • Era práctica de fracciones, y las unidades de medida estaban en incrementos de 1/4 de onza

La participación generada por la estructura narrativa

• En Attention spans for math and stories, escrito en 2019, se resumía la experiencia de usar storytelling para que los niños participaran en actividades y se sintieran bienvenidos en el grupo
• Al leer bibliografía sobre círculos de matemáticas, se adoptó la idea de que “las matemáticas deben hablar por sí solas”, y en algunas sesiones el storytelling no funcionó bien
• En ese enfoque, el facilitador empieza con un misterio abierto como “¿se podrá dibujar una figura perfecta?”, y luego espera en silencio hasta que los participantes hagan preguntas y exploren por su cuenta
• Este enfoque puede funcionar con estudiantes mayores o con estudiantes que ya tienen cierto interés por las matemáticas
• En la práctica, el grupo con el que se trabajó estaba formado por niños típicos de clase media alta que llegaban al círculo de matemáticas después de la práctica de fútbol, y cuando se aburrían hacían travesuras o jugaban como si estuvieran forcejeando
  • Los niños nunca habían jugado “Among Us”, pero seguían llamando “sus” a distintas cosas
  • Tampoco mostraban mucho interés por los patrones numéricos si no se los envolvía en un formato más inmersivo

Cómo Knights and Knaves sembró una intuición de prueba

• El planteamiento de que “una de dos personas es un mentiroso podrido, y hay que descubrir quién es el mentiroso a partir de las pistas de lo que dicen” funcionó muy bien
• El primer acertijo de Knights and Knaves se hizo escribiendo las frases de Alice y Bob en papel, pegándolas a popotes de plástico y levantándolas como carteles
  • Alice: Bob is a liar!
  • Bob: Neither of us are liars
• Los niños dijeron de inmediato quién era el más “sus”, y al principio sospecharon de Alice, que había acusado a Bob
• A través de la discusión, entendieron que las frases de Alice y Bob se contradecían, así que ambos no podían estar diciendo la verdad
  • Los niños no conocían la palabra “contradicción” y solían llamarlo “opposites”
• Al analizar los casos posibles, al principio pensaron que eran 2, pero terminaron llegando a que eran 4
  • Ambos son mentirosos
  • Alice es mentirosa y Bob dice la verdad
  • Alice dice la verdad y Bob es mentiroso
  • Ambos dicen la verdad
• Tras revisar cada caso, acordaron que la única posibilidad era que Alice dijera la verdad y Bob mintiera
• Cuando se intentó pasar al siguiente acertijo, los niños preguntaron si habían acertado el primero, y después de la pregunta “¿ustedes creen que acertaron?”, reaccionaron mostrando falta de certeza
• A partir de ahí, decidieron seguir pensando hasta que todos tuvieran certeza mediante una prueba, y más tarde un niño dijo: “¡No, ese caso ya lo probamos!”

Cambios posteriores observados con Seven Bridges y flexagon

• El problema de los Seven Bridges of Königsberg empezó como una historia, pero los niños dejaron rápidamente la historia de lado y se concentraron en el desafío en sí
• En una sesión posterior, los niños quisieron volver a intentar este problema y dijeron que querían encontrar “el problema de puentes imposible más pequeño”
• No lograron resolver el problema original, pero quedó claro el proceso de simplificarlo, hacerlo más pequeño y luego volver a agregar complejidad desde el punto donde ya podían resolverlo
• Aunque no les gustó la actividad de hacer flexagons, como regalo al final de la sesión se les preparó un hexaflexagon basado en una plantilla con dibujos brillantes y distinguibles en cada cara
  • La plantilla usada fue printed template
• Unas semanas después, el padre de uno de los niños contó que su hijo estaba fascinado con ese hexaflexagon y que recién había descubierto la sexta cara
• Si el movimiento de un flexagon también se dibuja como un mapa, igual que el mapa de Seven Bridges, se puede ver con más claridad todo el espacio de configuración

El enfoque necesario si se empieza con un grupo nuevo

• Este grupo también, con el paso del tiempo, se está acostumbrando poco a poco a apreciar las matemáticas por las matemáticas mismas
• Si se volviera a empezar con un nuevo grupo de niños sin una afición previa por las matemáticas, haría falta diseñar de forma más intencional cómo envolver los problemas en historias inmersivas

[GN⁺]

Opiniones de Hacker News

• Estos niños tienen una suerte enorme de poder exponerse a conceptos y problemas como estos, a una edad tan temprana, con un maestro tan motivado.
  Probablemente no haya muchas personas que trabajen como docentes de matemáticas K-12 que puedan enseñar bien un plan de estudios así; viendo el blog del autor, parece que no lo hizo cobrando mucho dinero, sino gratis, y que más bien intentó convencer a otros padres de que sus hijos participaran: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
  En la educación matemática hay una gran brecha de privilegio que no es muy conocida fuera del ámbito de las matemáticas. Un estudiante que solo siguió el currículo estándar o acelerado suele estar menos preparado para una carrera en matemáticas que uno que, desde pequeño, tuvo contacto con estos conceptos no estándar mediante clases particulares, escuelas para alumnos dotados o padres matemáticos.
  El currículo estándar se concentra casi por completo en cálculos de memoria hasta más o menos el segundo año de universidad, y luego de pronto cambia hacia problemas abiertos y demostraciones; pero el mundo en el que viven los matemáticos profesionales exige la capacidad de aplicar la lógica de forma creativa. Para los estudiantes que reciben esta exposición desde pequeños, esa transición es mucho más fácil, y también empiezan antes a acumular activos para una carrera matemática, como publicaciones o resultados en competencias.
  Otros padres quizá no lo sepan, pero el OP está ofreciendo un servicio muy valioso, difícil de conseguir en algunas zonas y por el que algunos padres estarían dispuestos a pagar mucho dinero.

  • No pensé que mi entorno de crecimiento me hubiera puesto en desventaja hasta que fui a la universidad y luego hice un doctorado en un campo cercano a las matemáticas, y me encontré rodeado de gente que durante toda su infancia había hecho actividades de profundización al estilo de círculos matemáticos.
    No era malo en matemáticas, pero tampoco especialmente precoz; fui algunas veces como representante de mi secundaria a competencias regionales de matemáticas, pero sin grandes resultados. Viéndolo en retrospectiva, se siente un poco raro que no hubiera absolutamente nadie que me ayudara a prepararme.
    En el último año o dos he pensado más en esto, y trasladé una parte importante de mis donaciones a programas tipo círculos matemáticos. Su verificabilidad es menor que la de las causas de altruismo efectivo previas al largoplacismo, pero creo que ese tipo de pensamiento matemático es muy valioso y difícil de adquirir sin programas como estos.
  • Que un estudiante que solo siguió el currículo estándar o acelerado esté menos preparado para una carrera en matemáticas puede depender de la cultura.
    Me viene a la mente la historia de que, en Francia, al preguntarle a un alumno de segundo grado cuánto era 2×3, como solo conocía la propiedad conmutativa de la multiplicación, respondió “3×2”.

• Si quieres participar como padre o como instructor potencial en un círculo matemático en línea, puedes ver https://theglobalmathcircle.org.
  Jeremy, el autor de este artículo, también se graduó de su programa de formación.

• El juego de la máquina de funciones lo vi en HN y lo probé cuando mi hijo tenía 6 años, y le encantó.
  A medida que aprendía operaciones matemáticas más avanzadas, las agregábamos a la caja de herramientas, y cuando cambiábamos roles y mi hijo podía responder correctamente a mis consultas, sabía que había asimilado el concepto.

• Si este tipo de actividades te despertó interés, hay algunas opciones pagas similares, aunque no muchas.
  Equipo de matemáticas extracurricular para niños de 7 a 11 años en San Francisco: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
  Círculos matemáticos extracurriculares en algunas escuelas de SFUSD: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
  Organización remota sin fines de lucro 501(c)(3) que ofrece sesiones semanales en línea de matemáticas competitivas para estudiantes de primaria y secundaria: https://mrmathonline.com/
  Si buscas algo a medio camino entre una clase y un círculo, también vale la pena ver Engaging Math Circles(https://emc.school) o Russian School of Math(RSM).

• Si quieres saber más sobre los círculos matemáticos, existe este recurso: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf

  • https://web.archive.org/web/20141231040717/https://www.msri....
  • El autor dijo en una entrada anterior del blog que, al preparar el círculo, había leído el libro de Zvonkin.

• Como comentario aparte, puedo recomendar Mammoth Math para niños.
  https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...

• Aunque era para otra edad, alguna vez logré captar el interés de estudiantes de preparatoria usando la minería de Bitcoin como tema.
  Fue una actividad de unos 15 minutos después de una clase sobre blockchain en un seminario de criptografía.
  Originalmente, el algoritmo de prueba de trabajo de Bitcoin consiste en cambiar una entrada intermedia del hash para que el resultado empiece con varios ceros binarios; es decir, encontrar un x tal que sha256(sha256(a || x || b)) < H. Lo simplifiqué a x^2 % N < 10^H, permití usar calculadoras y computadoras, y dejé que N y H se pudieran cambiar libremente.
  Los estudiantes se divirtieron mucho; creo que fue porque, comparado con los acertijos viejos, era un tema más actual, competían entre sí, la recompensa era parcialmente aleatoria, lo que daba ventaja a los equipos más rápidos o más inteligentes, la recompensa eran “Bitcoins físicos” en forma de monedas de chocolate, y aunque casi se podía ganar por fuerza bruta, había muchos atajos por descubrir.

• Es una lástima que las construcciones con regla y compás no hayan logrado despertar el interés de los niños.
  Como ahora estoy digitalizando una traducción al hebreo de los Elements de Euclides, esperaba que el aspecto físico, casi como una clase de arte, resultara más interesante que el contenido teórico, y que el hecho de ser independiente de los números lo hiciera sentir menos intimidante que una clase normal de matemáticas.
  Creo que los Elements de Euclides tienen valor educativo además de su importancia histórica, pero quizá me equivoqué al pensar que a la mayoría de los niños les parecerían más divertidos en un contexto educativo.
  Si hay niños interesados en algún deporte en particular, una actividad para decidir quién patea mejor los penales usando la cantidad de goles y fallos es una buena forma de enseñar álgebra lineal. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' trata en detalle varios métodos de evaluación y ranking, y fue una de las lecturas obligatorias de mi maestría en ciencia de datos.

  • Si te interesa y no lo conoces todavía, hay una digitalización visualmente muy atractiva de los Elements de Euclides: https://www.c82.net/euclid/#books
    Aunque no sé si sea la mejor para estudiar. Por lo general, la clave es interactuar activamente con el material, por ejemplo haciendo las construcciones uno mismo sin modelos, pero las reglas eficaces para niños pueden ser distintas.
    En cambio, me alegra que los niños hayan mostrado interés por la lógica proposicional, porque puede ser una base para el pensamiento coherente. Yo también habría esperado, como el autor, que prefirieran las actividades manuales.
  • Según la explicación del artículo enlazado, parece que a la geometría euclidiana le falta una “historia” matemática.
    Para empezar, ¿cuál habrá sido la motivación original de las construcciones con regla y compás? Ideas como completitud, simetría y constructibilidad son todas bastante abstractas.
    https://www.euclidea.xyz/ me pareció divertido, pero a mí también me divierte dibujar patrones Girih y no tengo 8 años.
  • Recién empecé a apreciar la belleza de las construcciones con regla y compás al inicio de la secundaria, y creo que a los 7 años no habría entendido del todo la belleza de derivar un sistema enorme a partir de axiomas.
    Recuerdo que, para mostrar Euclides a los niños de una forma divertida, el juego Euclidea funcionaba bien: https://www.euclidea.xyz/
  • Recuerdo haber aprendido geometría hiperbólica y geometría esférica en la secundaria, y fue bastante genial.
    No tanto por el aspecto axiomático, sino por las preguntas que sacudían los supuestos matemáticos, como “¿cuántas rectas que pasen por dos puntos se pueden trazar? ¡Las que quieras!”, y por los diagramas divertidos. También me interesaron el modelo del plano proyectivo de Fano y el modelo del disco de Poincaré, y había animaciones y software interactivo.
    Aun así, después de una semana más o menos me aburrí. Me parece adecuado dedicar una sola sesión de unas 2 horas a varias geometrías y construcciones.
    La geometría axiomática al estilo de los Elements de Euclides es interesante y puede encajar en el plan de estudios de la preparatoria. Antes de que los estudiantes aprendan álgebra, es difícil que desarrollen bien la intuición de derivar ecuaciones o demostraciones a partir de pequeños puntos de partida, y la geometría analítica es mucho más práctica. Además, con regla y compás hay cosas que, para empezar, no se pueden construir.
  • No sé de qué manera se hicieron las construcciones con regla y compás, pero un juego llamado Euclidea podría resultar interesante.
    La progresión por niveles, el sistema de puntuación y la forma de resolver demostraciones para desbloquear nuevas “herramientas” estaban muy bien logrados.
    https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...

• Quisiera agregar contar hasta 1000 con los dedos como actividad para enseñar a niños de edades similares.
  Para un programador es algo natural, pero contiene elementos clave que ayudan en la educación matemática.
  La pregunta “¿sabes contar hasta 1000 con los dedos?” les parece a los niños algo de magia o un superpoder, así que les divierte. Al principio muestro cómo contar hasta alrededor de 20 y paso rápido por el 4 y el 6. Luego les pido que predigan una posición específica de los dedos que no pueden ver y, si fallan, se la muestro otra vez.
  Cuando aprenden el patrón, les planteo un acertijo: ¿qué número es tener todos los dedos extendidos? Normalmente se traban, pero si les doy una pista como “si tuvieras un dedo más y solo ese dedo estuviera extendido, con todos los demás doblados, ¿qué número sería? ¿Puedes averiguar otro número a partir de eso?”, casi siempre lo resuelven aunque les tome tiempo.
  Lo bello es que la barrera de entrada es baja. El niño solo necesita saber multiplicar por 2 y conocer los nombres de los números hasta 1024. Al mismo tiempo, permite enseñar múltiples representaciones, formalización orientada a un objetivo y la sensación de obtener un “superpoder” al salirse de las expectativas de la gente común.
  El acertijo anterior también muestra que encontrar patrones ayuda a resolver mejor los problemas. En lugar de usar un enfoque de fuerza bruta sumando el valor de cada dedo, se puede usar un punto de referencia: la posición de la pista está a solo una unidad de la posición deseada. Los puntos de referencia son un concepto muy importante en matemáticas y están en la raíz de muchas soluciones famosas.
  Si se profundiza más, también se puede hablar de demostraciones y diseño de algoritmos. Se puede explicar el algoritmo como una demostración por inducción. En el paso inicial, la palma mira hacia el usuario y todos los dedos están doblados; se empieza por la derecha y se incrementa el dedo más a la derecha. En el paso n, comenzando por el extremo derecho, si el dedo está doblado se extiende, y si está extendido se dobla y luego se incrementa recursivamente el siguiente dedo hacia la derecha bajo la misma condición.
  Con cualquier “juego”, funcionaba bien tomar como centro lo que más le gustara al niño. Si tenía dificultades con un juego, usaba otro juego en el que fuera bueno para enseñarle el difícil. Al final, las matemáticas son un lenguaje y muchas cosas se pueden reformular.
  Creo que una de las dificultades es que mucha gente interioriza las matemáticas como algo demasiado rígido. Si se enseña como “esta es la forma correcta” y no se reconocen otros métodos, baja la capacidad de generalizar conceptos. Los problemas de texto intentan resolver esto, pero se sienten como un enfoque de fuerza bruta más parecido a enseñar a una máquina que a una persona.
  A eso se suma que, a edades tempranas, muchas veces uno aprende de personas que no sienten pasión por las matemáticas. Esa indiferencia se transmite del maestro al estudiante. Mucha gente recordará lo refrescante que fue tener la suerte de encontrar a un profesor que amaba las matemáticas y fomentaba su lado creativo. Yo también era bueno en matemáticas y estaba en el grupo avanzado, pero las odiaba hasta que tuve una clase así en segundo año de preparatoria.

  • Hay que tener cuidado al jugar este juego con niños. Los míos empezaron a gritarse “645!” entre ellos.

• El año pasado, con mi hija, enseñé SET en su clase de primer grado. Yo hice la mayor parte del diseño pedagógico, pero los niños pudieron aprenderlo y también mostraron interés.
  No era un entorno de círculo matemático, sino una clase para todo el grupo, así que sería interesante analizar cuál es la diferencia.

  • SET es un juego que me gusta desde que tenía unos 5 años, y recuerdo haberlo llevado al salón en primer grado para el “día de tu juego de mesa favorito”. Por eso me sorprendió mucho que a los niños no les haya gustado.
    También hay mucha matemática que se puede hacer con este juego. Se puede empezar con aritmética modular simple y abordar la idea de abstraer atributos como 0, 1 y 2. Si se va un poco más allá, también se puede hablar de teoría de grupos y de que el juego corresponde a Z3^4, es decir, a cuatro copias de Z3.
    Si muestran interés por la teoría de grupos, se pueden imprimir y usar juegos de cartas similares que representen otros grupos, y abordar los axiomas de grupo, cómo el juego representa un grupo y por qué eso tiene sentido.
    También se puede introducir un poco de programación. Usando la propiedad invariante de que la definición de un conjunto es sum c_i = 0 para todo i, se puede explicar cómo enseñarle este juego a una computadora. La duración del juego también se puede generalizar fácilmente agregando o quitando características, como el color de fondo de las cartas.
    En fin, este juego es lo máximo.
  • Cuando mi hijo tenía unos 6 años y medio, jugué Set con él y le gustó de inmediato.
    Después de unas cuantas partidas ya encontraba sets tan rápido como nosotros, aunque su habilidad e interés variaban según qué tan distraído o cansado estuviera.
    Si quieres un juego de Set para jugar en solitario, hay una buena versión open source: https://playset.netlify.app/
    Ahí, la “IA” encuentra soluciones al azar. En modo fácil, cada 2 segundos elige al azar dos cartas visibles y revisa si la carta necesaria para completar el set está en la pantalla.
    Si un niño está conociendo Set por primera vez, puede convenir ajustar la demora a unos 5 segundos. Claro que Set es más divertido cuando se compite contra otras personas.