Educación matemática de los 3 a los 7 años
(thepsmiths.com)- Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin, muestra, a través de registros de un círculo matemático para niños en edad preescolar, que incluso los niños pequeños pueden aferrarse durante mucho tiempo a problemas reales y explorarlos, en lugar de limitarse a ejercicios escolares
- Los círculos matemáticos de la cultura matemática rusa y soviética se parecen más a comunidades informales donde participantes de distintos niveles se reúnen a discutir problemas difíciles, que a espacios de preparación para exámenes
- Mientras que los exercises de la matemática escolar y de las olimpiadas matemáticas son entrenamientos breves con una solución intencional, los problems de los círculos son exploraciones en las que no están garantizados ni la posibilidad de solución, ni las técnicas necesarias, ni el tiempo requerido
- Zvonkin les presentó a niños de 3 a 4 años la misma estructura combinatoria con cuentas, coloreo, rutas de taxi, cajas de fósforos y pelotas, en intervalos de varios meses, para que los niños descubrieran las conexiones
- En el grupo de la edad de su segunda hija, Evgenia, el mismo método no funcionó, lo que mostró que cada niño tiene aptitudes e intereses distintos y que es difícil reutilizar tal cual los registros y técnicas educativas
La fortaleza matemática soviética y los círculos matemáticos
- Durante la Guerra Fría, la Unión Soviética mantuvo durante mucho tiempo un nivel similar al de Estados Unidos en lo militar y tecnológico, pese a tener una población menor, un PIB más bajo y un sistema económico menos eficiente
- En las décadas de 1990 y 2000, en el ajedrez, las competencias matemáticas, Wall Street, Silicon Valley y los departamentos de matemática de la Ivy League en Estados Unidos, continuó la experiencia de una sobrerrepresentación de inmigrantes de origen ruso en áreas técnicas
- También se mencionan hipótesis como la proporción de judíos, la pobreza relativa de la Unión Soviética y la asignación de capital humano, o el “maximalism” de la cultura rusa, pero el elemento que aparece repetidamente en entrevistas con matemáticos y científicos soviéticos son los mathematical circles
- Los círculos matemáticos son una práctica que comenzó incluso antes de la época del Imperio ruso y se extendió por toda la Unión Soviética: grupos informales donde adolescentes y adultos a quienes les gusta la matemática se reúnen regularmente para pensar y conversar durante largo tiempo
- Como un equipo deportivo, pueden tener una cultura interna, una inmersión intensa y un “coach” competente o famoso
- Más que ligas o competencias entre equipos, se parecen a un ensamble musical de barrio improvisando mientras resuelve problemas matemáticos en conjunto
- El nivel de los integrantes puede variar
La diferencia entre exercise y problem
- La matemática escolar y algunas competencias matemáticas de Estados Unidos están compuestas principalmente por exercises
- Un exercise es un problema creado por una persona con fines educativos
- Un estudiante inteligente normalmente puede resolverlo en menos de 5 minutos; está relacionado con la unidad actual del libro de texto y se puede suponer que existe una técnica determinada
- Se puede rastrear la respuesta hacia atrás a partir de la intención del autor, la eliminación de opciones y el reconocimiento de patrones
- En el centro de un círculo matemático hay problems que se resuelven en conjunto
- Un problem es una pregunta interesante que surge cuando alguien intenta hacer algo real
- Puede que no lo resuelvan los participantes ni el coach, ni siquiera nadie
- Aun si es resoluble, puede tomar semanas o meses, y la técnica necesaria puede no estar clara o requerir una técnica que no se conoce
- El coach a veces elige problemas apenas por encima de la capacidad de los participantes, pero otras veces todo el grupo se aferra a un problema cuya respuesta nadie conoce
- Esta experiencia muestra que incluso las personas brillantes pueden trabarse y ser derrotadas por un problema, y crea una cultura de gusto por lo difícil
- Cuando aparece el cansancio, surgen problemas famosos del pasado e historias de matemáticos, y la matemática funciona también como una cultura con relatos compartidos y chistes internos
El círculo matemático preescolar de Zvonkin
- Math from Three to Seven es un registro de la aplicación de un círculo matemático a niños en edad preescolar
- Alexander Zvonkin, quien hace el papel de coach, es matemático profesional y comenzó el círculo para su hijo Dmitry y los niños del vecindario
- La mayoría de los niños tenía 3 o 4 años
- Según los experimentos de Piaget, a esa edad algunos módulos cognitivos relacionados con el número y el volumen aún no están desarrollados
- Zvonkin conocía la investigación en psicología del desarrollo, y conectó la falta de sentido numérico de los niños con ideas profundas como el tamaño de los conjuntos y la correspondencia
- El libro se parece más a un diario casi sin editar que a un tratado ordenado de teoría educativa
- Había ideas de rompecabezas geniales, pero se repetían fracasos como niños gritando o vomitando
- En el círculo de cuatro años quedaron registrados tanto los éxitos como los fracasos
- El objetivo inicial se parecía a una desprogramación de la matemática escolar
- A Zvonkin le molestaba que la escuela presentara la matemática como un conjunto de fórmulas que había que seguir
- Rechazaba con fuerza el método de descontar puntos por no escribir la respuesta en el formato establecido o por usar una técnica que “todavía no se debería haber aprendido”
- Sin embargo, después de enseñar más tarde un currículo experimental de matemática en una escuela pública de Moscú, llegó a comprender mejor las restricciones que enfrentan docentes y administradores
Repetir un mismo problema combinatorio con distintos disfraces
- Aproximadamente un año después de iniciar el círculo, Zvonkin les presentó a los niños su primer problem real
- Era un problema de combinatoria que preguntaba de cuántas maneras se pueden elegir 2 objetos de entre 5 sin considerar el orden
- Zvonkin consideraba que este tema antes se enseñaba a estudiantes de secundaria, pero se había eliminado por ser demasiado difícil
- Quería que los niños en edad preescolar lo descubrieran por sí solos, casi sin pistas
- El enfoque consistía en presentar repetidamente el mismo problema durante varios meses en distintas formas disfrazadas
- Como los niños aún no contaban con herramientas de razonamiento formal y simbólico, se abordaba de una manera táctil y concreta
- La primera forma fue el problema de las cuentas
- Les pidió a los niños hacer cadenas posibles con 2 cuentas rojas y 3 cuentas azules
- Surgió una discusión sobre si una cadena debía considerarse igual o distinta al girarla 180 grados
- Zvonkin respondió que se podía fijar una regla y que, al hacerlo, un solo problema se dividía en dos problems
- Luego les dio una hoja con cinco círculos y les pidió encontrar maneras de colorear solo dos de ellos
- Los niños percibían vagamente la similitud con el problema anterior de las cuentas, pero todavía no podían conectarlos con claridad
- Unos meses más tarde, presentó un problema en el que una cuadrícula de 4x3 se describía como un mapa de ciudad y se preguntaba cuántas rutas podía tomar un taxi para ir de la esquina inferior izquierda a la superior derecha sin retroceder
- Zvonkin indicaba el movimiento hacia la derecha en la ruta con un círculo rojo y el movimiento hacia arriba con un círculo azul, dando a los niños una pista para conectarlo con el problema de las cuentas
- Los niños descubrieron el isomorfismo: que problemas aparentemente distintos tenían la misma estructura
- Por último, puso cinco cajas de fósforos vacías y dos pelotas, y preguntó por las distintas maneras de poner las pelotas en las cajas
- Los niños reconocieron rápidamente que era igual al problema de las cuentas
- La respuesta a todos estos problemas es 10, pero cómo demostrar que no hay más, y cómo cambia la respuesta si el conjunto original tiene 4 o 6 elementos, quedó como otra montaña por escalar
El pensamiento infantil y los límites del método educativo
- La homunculus theory, que ve al niño como un “adulto pequeño”, parte de una premisa equivocada
- Un niño no es simplemente alguien menos inteligente y con menos conocimientos que un adulto; se parece más a alguien con una inteligencia situada en un lugar distinto a la del adulto
- Los niños pequeños piensan de forma más concreta, y no se debe concluir que su capacidad general de pensamiento sea baja solo porque no pueden razonar de manera simbólica o proposicional
- El método que Zvonkin usó con eficacia tanto en niños como en adultos fue la repetición espaciada
- Presentar de nuevo el mismo problema varias veces, con intervalos largos y desde un ángulo distinto cada vez
- Es una forma de aprovechar la interacción entre el pensamiento concentrado y el pensamiento difuso
- El autor añade que, con este método, logró que un niño de 5 o 6 años entendiera por qué la suma de una fila del Pascal’s triangle es una potencia de 2
- La lección final del libro es que el mismo método no siempre se puede reproducir
- Zvonkin registró éxitos y fracasos durante los cuatro años del primer círculo, y luego inició un segundo círculo con niños de la edad de su segunda hija, Evgenia
- Creía que ya sabía qué funcionaba y qué no, pero el segundo grupo tenía aptitudes e intereses distintos, y sus notas anteriores fueron casi inútiles
- Aproximadamente un año después se rindió, y el diario termina de forma abrupta
- Esta experiencia muestra de manera extrema una vivencia común de quienes tienen varios hijos
- Aunque se los críe de la misma manera, las diferencias entre los niños aparecen muy temprano
- Las acciones de los padres solo pueden influir de manera periférica en qué tipo de persona llegará a ser un niño
- Educar y criar no consiste en programar a un niño, sino más bien en observar el proceso por el cual un nuevo ser va revelando qué será
- Al mismo tiempo, los padres pueden soltar un poco la carga y compartir actividades mutuamente placenteras, como libros, películas, deportes, senderismo o pensar
- En algunos casos, esa actividad puede ser el pensamiento arduo de forcejear con un problem
1 comentarios
Opiniones en Hacker News
El artículo es sorprendentemente interesante y está bien escrito, así que no se queden solo con los comentarios de aquí; valdría la pena leer el texto completo.
No me queda claro si con “ejercicios escolares triviales” quiere decir que son innecesarios, o que son necesarios pero no suficientes.
Mi hijo, que se acerca a la adolescencia, antes disfrutaba las matemáticas y hablar de problemas matemáticos, pero ahora parece aburrirse con los ejercicios de la escuela y estar perdiendo el interés; me pregunto si habrá alguna forma de reavivar esa chispa.
Buenos docentes me mostraron no solo el “qué”, sino el cómo y el porqué; el momento en que recorrimos el círculo unitario en incrementos de 10 grados, graficando la razón cateto opuesto/hipotenusa de un triángulo rectángulo, y vimos cómo la función seno aparecía ante nuestros ojos, fue mágico.
Otro docente nos hizo construir una caja de papel, calcular su volumen y luego nos mostró con cálculo cómo encontrar las dimensiones de la caja de mayor volumen posible con la misma área de papel; fue la primera vez que sentí que las matemáticas no eran una pérdida de tiempo, sino algo útil.
3Blue1Brown en YouTube es muy bueno, aunque puede ser un poco largo y difícil; Numberphile tiene muchos videos cortos y además muestra pequeñas demostraciones, lo cual está muy bien.
También sirven los libros de historias matemáticas interesantes o de acertijos, como los de Martin Gardner o Ian Stewart, y ayuda más que los padres parezcan genuinamente interesados en las matemáticas que adoptar la actitud de intentar hacer que el niño haga lo que uno quiere.
Creo que el problema de las escuelas aquí es que se enfocan más en las calificaciones que en el interés del niño. Si la presión es excesiva, la diversión desaparece.
En especial, penalizar a alguien por usar una “técnica que todavía no se supone que haya aprendido” es realmente malo; aunque haga falta repetición, si el niño siente que está mejorando, puede mantener el interés.
Aunque haya cierta repetición difícil, hay que darles suficiente material para que la materia en sí les parezca interesante, y tener padres interesados que puedan responder preguntas ayuda muchísimo.
Antes de octavo grado, las matemáticas me aburrían, pero no sabía por qué; lo descubrí cuando, por un error administrativo, terminé en una clase de álgebra en lugar de preálgebra.
Tuve que comprimir un año de contenidos en un mes de repaso para ponerme al día, por primera vez tuve que esforzarme y saqué un promedio de C, pero cuando después el ritmo volvió a hacerse lento, me di cuenta de que sí me gustaban las matemáticas en sí y que lo que odiaba eran las clases lentas diseñadas para que todos fueran al mismo paso.
Siguiendo mi curiosidad y creando distintas cosas, terminé “descubriendo” bastantes partes útiles de trigonometría, álgebra lineal y estadística, y la intuición que obtuve entonces definitivamente me ayudó después con las matemáticas universitarias.
Axiom Maths intenta llevar al Reino Unido el concepto de círculos matemáticos, y ofrece apoyo y materiales para que las escuelas puedan organizar sus propios círculos.
Lo dirige un equipo con mucha experiencia en educación matemática, como el director fundador de King’s Maths School, una de las sixth forms públicas con mejores resultados del Reino Unido.
https://axiommaths.com/how-we-work/
https://nrich.maths.org/about-nrich
También está https://parallel.org.uk/ de Simon Singh, aunque está orientado aproximadamente a mayores de 10 años.
El libro de Rozhkovskaya tiene actividades muy buenas: https://www.amazon.co.uk/gp/product/1470416956
El libro de Zvonkin tratado en el artículo es motivador por sus relatos honestos de clases que salieron completamente mal o de recortar papelitos tarde por la noche, pero creo que es bastante difícil usarlo como material educativo real.
La diferencia cultural clave es que en EE. UU. se valora más el derecho y los negocios que las matemáticas y la física.
El lugar al que sigue aspirando un niño inteligente es Harvard Law School; MIT se vuelve objetivo cuando le va bien y además está realmente metido en ese mundo.
En Francia, entrar a Polytechnique, la escuela de ingeniería creada por Napoleon, se considera el camino más prestigioso, y eso empuja culturalmente a los niños hacia el aprendizaje de las matemáticas.
Si un niño no tiene ni aptitud ni gusto por las matemáticas, supongo que lo empujan hacia la ENA.
El mayor problema de la educación matemática es que, después de aprender la teoría, no se vuelve a enseñar cómo planear la resolución práctica de problemas.
Por ejemplo, aunque se aprendan varias técnicas para resolver integrales, no se construyen al mismo tiempo estrategias prácticas para decidir qué herramienta usar al enfrentar un problema.
Por eso, la emoción principal que los estudiantes asocian con los problemas de matemáticas no es la confianza, sino el miedo. Cada problema se siente como “¿saldrá, o pasaré horas dando vueltas sin siquiera encontrar la respuesta?”.
Si el profesor tiene que sentarte y explicarte, caso por caso y fórmula por fórmula, cómo aplicar técnicas básicas de integración, entonces creo que no aprendiste de verdad.
Salvo trucos grandes como la sustitución en u, enseñar directamente procedimientos mecánicos específicos de integración habría sido, para mí, una forma de aprendizaje incómoda.
Cuando mi hijo tenía tres años descubrí este libro maravilloso y, aunque el autor advierte varias veces que es “un diario, no una guía”, empecé a leerlo para intentar hacer algo parecido.
Por desgracia, no por culpa del libro en sí, sino porque me distraje con otras cosas, no llegué a terminarlo, y ahora mi hijo ya tiene más de siete años.
Aun así, la parte que alcancé a leer me pareció realmente disfrutable.
Otros currículos de círculos de matemáticas, aunque inspiren menos, son mucho más fáciles de seguir.
Creo que la suposición básica de que cualquier cosa era mejor en la Unión Soviética está equivocada.
Dedicaban una proporción mucho mayor del PIB al ejército y al espacio, y la vida en Rusia era miserable.
Tenían tanques, armas nucleares y cohetes, pero no tenían empresas que mejoraran la vida de la gente; eso sostuvo la Guerra Fría y, al final, se vino abajo.
Si la premisa básica está mal, no sirve de nada buscar pistas en ningún lado.
Ya había aparecido hace 6 y 10 años, con algunos comentarios.
https://hn.algolia.com/?q=Math+from+Three+to+Seven
Este libro y la cultura que lo rodea son muy influyentes, así que quienes hayan hecho actividades de “profundización” probablemente ya se hayan topado con muchas de las actividades del libro.
El ejemplo más conocido quizá sea hacer en papel y lápiz la programación introductoria de Scratch JR / code.org.
Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=17018583 - May 2018 (20 comments)
Math from Three to Seven: Chapters One and Three [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=8811334 - Dec 2014 (21 comments)
La Unión Soviética fue, de hecho, el país donde más se leía en el mundo.
Según una encuesta mundial de 1966, los ciudadanos soviéticos leían libros, periódicos y revistas unas 11 horas por semana en promedio, más o menos el doble que las personas de Reino Unido, Norteamérica y Francia.
Para el objetivo de formar talento científico, leer novelas podría ayudar tanto como ver televisión.
A veces comparo entrevistas callejeras antiguas con entrevistas callejeras actuales y son completamente distintas.
Incluso los borrachos de clase trabajadora en los bares durante el colapso de fines de los 80 hablaban mejor y parecían más intelectuales que la gente de hoy.
Ya sea por Putin, por la emigración o por el capitalismo, creo que hay una regresión grave de la población general.
El final del texto compensa bastante el resto del contenido.
En el segundo círculo de matemáticas, los niños eran distintos y también lo eran sus aptitudes e intereses, así que todas las notas anteriores dejaron de servir, y las primeras clases que intentó fracasaron.
Zvonkin, que había crecido en una sociedad comunista y creía en la maleabilidad absoluta de la naturaleza humana, parece haberse sorprendido bastante de que las diferencias aparecieran desde edades muy tempranas.
Leyendo entre líneas, el primer grupo de niños tuvo bastante suerte, el segundo fue mucho más difícil de enseñar, y aproximadamente un año después él abandonó el intento y el diario termina de golpe.
Eso de “un maestro común y corriente que baja puntos por no escribir la respuesta en el formato establecido” me frustra muchísimo, porque el profesor de matemáticas de mis hijos es exactamente así.
Pero en la práctica los obligan a usar cada uno de los métodos establecidos incluso cuando no encajan para nada con la tarea.
Si te apartas del método indicado para ese problema, está mal, y no se permite crear una variante propia del método.
Al final, parece que los docentes aprendieron que los niños deben usar métodos diferentes, pero no aprendieron por qué deberían hacerlo.