- El teorema de Pitágoras es una de las proposiciones más famosas de las matemáticas, pero no hay evidencia de que Pitágoras lo haya descubierto o demostrado personalmente, y unas tablillas babilónicas muestran un origen más antiguo
- La tablilla YBC 7289 de la colección babilónica de Yale University data de alrededor de 1800–1600 a. C. y registra con números sexagesimales la relación entre un lado de un cuadrado y su diagonal
- El
1;24,51,10de la tablilla equivale a 1.414213 en decimal, representando √2 con precisión hasta la quinta cifra decimal y mostrando un caso especial de la fórmula de la diagonal del cuadrado - La escuela pitagórica era una comunidad secreta dedicada a las matemáticas, la filosofía y la astronomía, y por la costumbre de atribuir los descubrimientos a Pitágoras resulta difícil distinguir las contribuciones individuales
- Desde Elements de Euclides, la recopilación de 371 demostraciones de Loomis, la demostración que Einstein hizo a los 12 años y su uso en la relatividad, hasta el último teorema de Fermat y la demostración de Wiles, este teorema enlaza distintas épocas de la historia de las matemáticas
Pitágoras y el nombre del teorema
- El teorema de Pitágoras también es conocido por varios nombres, como Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem y Euclid I 47
- Es una de las proposiciones más famosas de las matemáticas, y el libro publicado en 1927 por Elisha Scott Loomis incluye 371 demostraciones
- Entre ellas hay demostraciones de Albert Einstein a los 12 años, Leonardo da Vinci y el presidente estadounidense James A. Garfield
- Pitágoras quedó vinculado para siempre con el descubrimiento y la demostración de este teorema, pero no existe evidencia de que él mismo lo descubriera o demostrara
- Hay evidencia en tablillas de arcilla de que los matemáticos babilonios descubrieron y demostraron este teorema 1000 años antes del nacimiento de Pitágoras
Pitágoras y la escuela pitagórica
- Pythagoras of Samos nació en Samos alrededor de 569 a. C. y murió cerca de 475 a. C.; los historiadores lo consideran en general el primer matemático
- No se conservan escritos del propio Pitágoras, y la información sobre su vida mezcla registros de siglos posteriores con leyendas, por lo que resulta difícil de confiar
- Se dice que fundó una escuela llamada Semicircle of Pythagoras cerca de Crotone, en el sur de la actual Italia
- La escuela tenía un carácter mitad religioso y mitad científico, y seguía reglas secretas
- Estudiaban matemáticas, filosofía y astronomía, y tenían como lema “Number Rules the Universe”
- El conocimiento de la escuela se transmitía oralmente, y muchos descubrimientos de sus seguidores se atribuían a Pitágoras
- Por eso pudo surgir el nombre “Pythagoras’ Theorem”
- Debido a ese funcionamiento colectivista, es difícil separar las contribuciones reales de Pitágoras de las de sus seguidores
La tablilla babilónica YBC 7289
- Mesopotamia era la región entre los ríos Tigris y Éufrates, ubicada aproximadamente en la misma zona geográfica que el actual Iraq
- La civilización babilónica destacó hace 4000 años, y en los últimos dos siglos se han descubierto miles de tablillas de arcilla
- Estas tablillas muestran una civilización sobresaliente en el registro de fenómenos astronómicos, el arte y la literatura
- Muchas tablillas siguen guardadas en sótanos de museos esperando ser descifradas
- YBC 7289 es la tablilla número 7289 de la Babylonian Collection de Yale University
- Es un material del período babilónico antiguo, de alrededor de 1800–1600 a. C.
- Tiene grabados un cuadrado inclinado y sus dos diagonales, junto con números cuneiformes bajo uno de los lados y la diagonal
- Los números babilónicos usaban un sistema sexagesimal; hasta 59 se parecían al sistema decimal moderno, pero no tenían 0
- La unidad se representaba con una muesca vertical en forma de Y
- Las decenas se marcaban con una muesca similar en horizontal
√2 y un caso especial del teorema de Pitágoras
- Uno de los registros de la tablilla muestra el cálculo para hallar el ancho cuando la longitud es 4 y la diagonal es 5
4 × 4 = 165 × 5 = 2525 - 16 = 9- Como
3 × 3 = 9, el ancho es 3
- En uno de los lados del cuadrado de YBC 7289 está registrado el número 30
- El
1;24,51,10bajo la diagonal representa valores posicionales en base 60 en la notación moderna- En decimal es
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213 - Este valor representa √2 con precisión hasta una cienmilésima
- En decimal es
- La tablilla muestra que los babilonios conocían la relación entre el lado y la diagonal del cuadrado:
d = √2 × a - Por lo tanto, los babilonios conocían el teorema de Pitágoras más de 1000 años antes de Pitágoras, o al menos el caso especial de la diagonal del cuadrado:
d² = a² + a² = 2a² - La tablilla también muestra que los babilonios podían calcular raíces cuadradas con bastante precisión
- Es posible que el valor 30 del lado se eligiera porque era conveniente en el sistema sexagesimal
- Los actuales 60 segundos por minuto, 60 minutos por hora y 360 grados del círculo también están relacionados con ese sistema sexagesimal
La forma moderna del teorema y Euclides
- Hoy el teorema de Pitágoras suele entenderse como la expresión algebraica
a² + b² = c² - Para Pitágoras, este teorema era una proposición geométrica sobre áreas, y la forma algebraica familiar se consolidó después de la aparición del álgebra moderna hacia 1600
- Euclid of Alexandria fue un matemático griego activo alrededor de 300 a. C. y es conocido como el “padre de la geometría”
- Elements de Euclides es considerado el libro de texto más exitoso de la historia de las matemáticas
- Consta de 13 libros
- Incluye definiciones, axiomas, proposiciones y demostraciones
- Deriva los principios de la geometría euclidiana a partir de un pequeño conjunto de axiomas
- Euclides presentó dos demostraciones del teorema de Pitágoras en Elements
- Book I, Proposition 47 depende de la relación entre áreas y es muy sofisticada
- Book VI, Proposition 31 se basa en el concepto de proporción y es más simple
- Book I, Proposition 47 también se conoce como Euclid I 47, y más tarde Proclo y otros la llamaron el teorema de Pitágoras
- La primera demostración de Euclides no pudo haber sido la de Pitágoras, porque requería un nivel de geometría que aún no era posible en su época
- Si hubiera sido por la vía de Book VI Proposition 31, la demostración habría sido incompleta, ya que la teoría completa de las proporciones fue desarrollada por Eudoxo casi dos siglos después de Pitágoras
Afirmaciones sobre Egipto y las pirámides
- Los antiguos egipcios formaron una civilización concentrada en la parte media y baja del río Nilo, a unas 500 millas al suroeste de Mesopotamia
- Egipto y Babilonia coexistieron de manera relativamente pacífica durante más de 3000 años, desde alrededor de 3500 a. C. hasta la época griega
- No hay evidencia de que los egipcios conocieran el teorema de Pitágoras ni de que lo usaran para construir las pirámides
- En Egipto hay más de 100 pirámides, la mayoría construidas como tumbas de faraones
Loomis y las 371 demostraciones
- Elisha Scott Loomis fue un profesor de matemáticas de Ohio que dedicó su vida a recopilar demostraciones conocidas del teorema de Pitágoras
- The Pythagorean Proposition de Loomis es un libro que reúne 371 demostraciones
- El manuscrito se preparó en 1907
- Se publicó en 1927
- Tuvo una segunda edición revisada en 1940
- En 1968, el National Council of Teachers of Mathematics lo reeditó dentro de la serie “Classics in Mathematics Education”
- Loomis recibió cientos de nuevas demostraciones hasta su muerte después de la publicación del libro, pero no pudo seguir actualizando la recopilación
- El número exacto de demostraciones no es seguro
- Incluso para los geómetras es difícil decidir cuáles son realmente demostraciones distintas entre sí
Einstein y la teoría de la relatividad
- Albert Einstein recordó en su autobiografía que alrededor de los 12 años encontró un libro de geometría plana euclidiana que le causó una profunda impresión
- Einstein dijo haber elaborado una “demostración” del teorema de Pitágoras basada en la semejanza de triángulos
- Él mismo puso la palabra “proof” entre comillas
- La demostración es elegante y simple, y muestra la conexión central del teorema entre longitud y área
- Más tarde, Einstein usó el teorema de Pitágoras en una forma de cuatro dimensiones dentro de la teoría especial de la relatividad
dx² + dy² + dz² = (c dt)²conecta la distancia que recorre la luz durante el tiempodt, es decirc dt, con los diferenciales de las tres coordenadas espaciales- Esta ecuación métrica puede verse como el teorema de Pitágoras aplicado a diferenciales de coordenadas
- En la relatividad general se explica que las propiedades geométricas del espacio están determinadas por la materia, y que la idea de “empty space” pierde sentido
- Una cita relacionada con la relatividad explica que el teorema de Pitágoras conecta de forma gráfica energía, momento y masa
El último teorema de Fermat y Wiles
- Pierre de Fermat estudió en el siglo XVII el problema de las soluciones enteras de la forma
xⁿ + yⁿ = zⁿ - Cuando
n = 2, existen soluciones enteras gracias al teorema de Pitágoras - Fermat conjeturó que cuando
n > 2no existen soluciones enteras no nulas parax,yyz, pero no dejó una demostración- Escribió en el margen de Arithmetica de Diofanto que conocía una demostración, pero que no tenía espacio suficiente para escribirla
- Esta proposición se conoce como Fermat’s Last Theorem
- Andrew Wiles demostró en 1993 el último teorema de Fermat, 350 años después, y la noticia apareció en la portada del New York Times
- Wiles conoció el último teorema de Fermat a los 10 años y luego investigó teoría de números como profesor en Princeton University
- El famoso resultado de Wiles mostró que toda curva elíptica racional semiestable es modular, lo que implica el último teorema de Fermat
- La Shimura–Taniyama–Weil conjecture sostiene que toda curva elíptica racional es modular, y la proposición completa fue demostrada en 1998 por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor
Un teorema conectado a 4000 años de historia matemática
- El teorema de Pitágoras lleva el nombre de Pitágoras, pero las tablillas babilónicas muestran cálculos y conocimientos muy anteriores
- Euclides situó el teorema dentro de un sistema lógico de geometría, y Elements sigue siendo, 23 siglos después, una base del sistema riguroso de demostración matemática
- Desde la recopilación de demostraciones de Loomis, la demostración infantil de Einstein y su uso en la relatividad, hasta la demostración del teorema de Fermat por Wiles, este teorema conecta a matemáticos de distintas épocas
- Cada año, estudiantes, académicos y solucionadores de problemas intentan añadir demostraciones nuevas y originales, por lo que el teorema de Pitágoras sigue siendo un tema matemático inagotable
1 comentarios
Opiniones en Hacker News
Pitágoras era especialmente conocido como alguien que recopiló la sabiduría de varias culturas.
Según la tradición, conoció a Tales, fue iniciado como sacerdote egipcio en Hermópolis, pasó tiempo en Babilonia después de ser tomado prisionero y fue iniciado en todos los cultos mistéricos posibles. En su tierra natal, Samos, es muy probable que haya estado expuesto a la construcción del templo de Hera, el templo de piedra más grande de la antigua Grecia, y al túnel de Eupalinos, un logro de ingeniería asombroso.
“Vida de Pitágoras” de Jámblico[1] vale la pena leerse, ya que es una obra que tuvo acceso a fuentes antiguas que hoy se han perdido. En esa época, la relación entre matemáticas y espiritualidad era muy fuerte.
También hay muchas anécdotas divertidas que podrían ser ciertas, pero que nunca podremos confirmar. En “Vidas de los filósofos” de Diógenes Laercio se dice que, cuando Pitágoras descubrió lo que llamamos el teorema de Pitágoras, sacrificó 100 bueyes, es decir, una hecatombe[1]. Como dijo Charles Dodgson, es decir Lewis Carroll, “eso debió producir una cantidad de carne difícil de manejar”[3], especialmente si era vegetariano. En cambio, Jámblico dice que fue un solo buey, y además hecho de harina.
[1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
[2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
[3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press
Pero Hippasus, miembro de ese grupo, mostró de forma convincente que √2 no puede ser un número racional. Se dice que Pitágoras intentó obligarlo a jurar silencio y, cuando eso no funcionó, lo mató. Por √2.
[1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
Los textos antiguos también dicen que Platón viajó a Egipto e Italia, pero tengo entendido que los académicos modernos en general dudan de que esos viajes hayan ocurrido realmente.
Una de las cosas que disfrutaba era excavar túneles debajo de su casa, y decía que cuando trabajaba en los túneles las “visitas de los elfos” eran el secreto de su éxito. Según se cuenta, dijo: “cuando excavas un túnel, los elfos a menudo te traen la respuesta a los problemas”[0].
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
Algunos ejemplos son el transhumanismo, el racionalismo extrapolado de forma absurda al estilo de Yudkowsky (Basilisk, etc.), la hipótesis de la simulación y la soteriología de la inteligencia artificial general.
Me pregunto cómo podremos preservar la información digital durante miles de años.
Cualquier grupo capaz de construir edificios con cimientos rectangulares habría descubierto la relación entre la longitud de los lados y la diagonal. Los egipcios medían ángulos rectos con ternas pitagóricas mucho antes de que naciera Pitágoras.
Pero eso es una observación, no un teorema. Se convierte en teorema cuando se demuestra, es decir, cuando se explica por qué esa relación siempre se cumple basándose en cosas más evidentes. La tablilla de arcilla Babylonian mencionada en el artículo no parece haber hecho eso, pero los griegos claramente sí. No sabemos si el propio Pitágoras lo hizo, porque no se conservan sus escritos, pero los griegos posteriores sabían demostrarlo y se lo atribuyeron a Pitágoras.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
Aun así, estoy de acuerdo con el segundo párrafo. Hay una gran diferencia entre algo transmitido como un procedimiento de “así se estima un proyecto de construcción” y un teorema declarado como verdad universal y base de todo tipo de otros teoremas. Incluso si ambos dicen exactamente lo mismo.
En la práctica, era una clase para ver una presentación de diapositivas de los viajes del profesor por Europa y fotos de ruinas antiguas. Luego mostraba dibujos lineales de las estructuras y, a veces, elegía puntos que parecían arbitrarios para formar triángulos 3-4-5. Entonces exclamaba: “¿Ven? ¡Ya conocían el teorema de Pitágoras antes de Pitágoras!”.
La única tarea calificada era escribir un trabajo “descubriendo” un caso parecido. Elegí la foto de una iglesia antigua cualquiera, “encontré” un triángulo rectángulo en sus cimientos y me saqué una A. Definitivamente era solo una observación, no un teorema.
Se puede llegar bastante lejos ajustando a ojo y cortando a medida las partes que haga falta.
Por eso creía que no se demostró correctamente hasta que se descubrió el álgebra, o quizá la trigonometría.
Para quienes se preguntan cómo se obtuvo la aproximación √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3, aquí va una explicación.
La idea central es simple.
Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
=> (2a+b) b < Z-a^2
Dada una estimación inicial “a”, basta encontrar el “b” más grande que haga que el término de la izquierda sea menor que el de la derecha. Así la estimación siempre queda un poco por debajo del resultado real, y repitiendo el proceso uno puede acercarse cada vez más.
En la primera iteración, Z=2 y a=1. Si tomamos b=x/60, entonces
(2+x/60)*x/60 < 2-1^2
120x + x^2 < 3600
x = 24 ... 3456 < 3600
x = 25 ... 3625 > 3600
Por eso el primer término es 24/60.
Si tomamos a=1+24/60 y b=x/60^2 y repetimos:
(2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
10080x+x^2 < 518_400
x = 51 ... 516_681 < 518_400
x = 52 ... 526_864 > 518_400
Solo hay que repetirlo varias veces.
Escribiéndolo en código, se puede obtener fácilmente 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951.
Todo este proceso puede formalizarse como el algoritmo de división larga para raíces cuadradas, y también funciona de forma bastante limpia en base 10.
Lo que le importaba a la gente de la época no era la fórmula en sí. Esa fórmula se conocía empíricamente desde hacía siglos.
Lo que causó impacto fue que él demostró por primera vez que para “la mayoría” de los triángulos rectángulos no existen números racionales P, Q tales que, para un cateto A y la hipotenusa C, se cumpla PA = QC. Esa fue la parte que sacudió todo.
Es apropiado que el ya desaparecido “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing” haya puesto un título clickbait y engañoso a un artículo que parece totalmente fuera de tema y de muy baja calidad.
Quizá fue un precursor, patrocinado por Springer, de los engendros impulsados por optimización para buscadores de hoy.
Confundir cálculo con demostración es un error que una revista académica seria no debería tolerar.
Casi no cabe duda de que demostrar teoremas es una herramienta cognitiva que se desarrolló a partir de regularidades observadas. Pero preguntar “¿por qué?” y, más importante aún, responderlo con lógica, es un avance para nada trivial.
La cultura dominante, antes y ahora, estaba fascinada con la Antigua Grecia
La cultura occidental hizo que las raíces del vocabulario científico vinieran del griego antiguo
También tiene una genealogía filosófica que va desde la Antigua Grecia hasta el siglo XIX
Recién en el siglo XIX pudimos ver la verdad mediante la arqueología —que también es un neologismo formado con raíces del griego antiguo, lo que para la corriente dominante sugiere que los antiguos griegos tenían el concepto de arqueología, aunque por supuesto no era así—. La historia es miles de años más profunda, y los orígenes de todo son miles de años más antiguos
La capital de Hattuša se descubrió apenas hace 30 años, y recién en el siglo XX empezamos a entender las múltiples capas de la ciudad histórica llamada Troy
Hace poco entendimos el hecho de que “no empezó en la Antigua Grecia”, pero la corriente dominante sigue sin mirar más allá de la Antigua Grecia, siguiendo la tradición de las escuelas de gramática medievales
Entiendo que la razón por la que la “línea de conexión” del desarrollo de la ciencia moderna empieza en Grecia es que ahí comienza la historia registrada que los académicos modernos pueden leer con facilidad
Siempre supimos que no empezó en la Antigua Grecia. Los propios griegos lo decían. Pero como no existen abundantes fuentes primarias anteriores a la Antigua Grecia, no hay mucho que podamos hacer salvo encenderles una vela y leer, con esa luz, las ideas filtradas a través de Plato y otros
Claro, también condenaron a muerte a algunos librepensadores por no adorar a los dioses, pero eso es otro asunto
Los antiguos egipcios y los habitantes de Mesopotamia también tenían un concepto de arqueología; ¿por qué no lo habrían tenido los griegos?
El texto afirma que los babilonios “descubrieron” el teorema de Pitágoras, pero lo que muestra en realidad es solo la posibilidad de que creyeran que era verdadero
Hasta que aparezca mejor evidencia, al menos en “Occidente” —no sé mucho de cosas como la matemática china—, sigue pareciendo que los griegos fueron los primeros en crear el concepto de demostración matemática deductivamente válida, y no inductiva
Es un problema de publicación masiva
La gente suele atribuir erróneamente los descubrimientos no a quien los hizo primero, sino a quien pudo comunicarlos o publicarlos con mayor alcance
En la Antigüedad, esto era un problema especialmente difícil
El conocimiento a menudo se transmitía de forma oral, no escrita
Incluso si quedaba por escrito, es muy probable que los materiales usados se hayan corroído hace mucho
Por eso, la mayor parte del pensamiento antiguo que conocemos se basa en conocimientos tan difundidos y tan registrados que sobrevivieron varias copias, o en conocimientos grabados en materiales duros como la piedra, como los jeroglíficos egipcios. Pero eso no significa que los antiguos hayan sido los primeros en saberlo; solo significa que el registro escrito de ese conocimiento en particular fue el que más resistió la prueba del tiempo
Hace 7 años se discutió en HN una demostración paralela encontrada en un libro chino de 2600 años de antigüedad
https://news.ycombinator.com/item?id=13952265
Tengo entendido que en China se conocía al menos antes de Pitágoras
https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing