- Como no es posible elegir uniformemente entre todos los números naturales, se define un “entero aleatorio” eligiendo primero uniformemente entre 1 y N y luego tomando el límite cuando N → ∞
- En Those Fascinating Numbers aparece el hecho de que la probabilidad de que el segundo factor primo de un entero aleatorio sea menor que 37 es aproximadamente 1/2, y esto se confirma con cálculos de densidad y experimentos
- Como los primos pequeños aparecen con frecuencia como factores primos pequeños de los enteros, surge la intuición de que un número pequeño como 37 puede ser la mediana
- El método de De Koninck y Tenenbaum calcula λ₂(p) combinando condiciones de divisibilidad por ciertos primos, de forma parecida a la criba de Eratóstenes
- Al sumar λ₂(p) para cada primo, la densidad acumulada llega a aproximadamente 0.5002 en 37, un valor muy cercano al cálculo directo para N=10⁷, 0.5002501
De dónde sale el número 37
- En el prefacio de Those Fascinating Numbers aparece la afirmación de que 37 es la mediana del segundo factor primo de un entero
- Es decir, la probabilidad de que el segundo factor primo de un entero elegido al azar sea menor que 37 es aproximadamente 1/2
- Al principio 37 parece demasiado pequeño como para creerlo, pero resulta plausible si se considera que los primos pequeños aparecen con frecuencia como factores primos pequeños de los enteros
- Por ejemplo, cerca de la mitad de los enteros tiene 2 como su factor primo más pequeño
- El objetivo es experimentar directamente con este hecho y calcular por qué aparece 37, basándose en el artículo de De Koninck y Tenenbaum
Cómo definir un “entero aleatorio”
- Como no existe una distribución uniforme sobre todos los números naturales, primero se fija un número grande N
- Se elige al azar un entero entre 1 y N, y luego se observa el límite de la probabilidad cuando N → ∞
- Cuando N es pequeño, se puede obtener directamente el segundo factor primo de cada entero y verificar la mediana
- Al ejecutar el cálculo con N=10⁷, la aproximación de la probabilidad acumulada da 0.5002501
- En SageCell en línea, una factorización de este tamaño puede tardar mucho y exceder el tiempo límite, por lo que es necesario ejecutarla localmente
λ₂(p): densidad de que p sea el segundo factor primo
- El artículo de De Koninck y Tenenbaum Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier define como λ₂(p) la densidad de los enteros para los que p es el segundo factor primo
- La clave del cálculo es contar densidades combinando si un número es divisible o no por ciertos primos, de forma similar a la criba de Eratóstenes
- Si el segundo factor primo es 5, solo hay dos casos
2^a 3^0 5^b ...: múltiplos de 2 y 5 que no son múltiplos de 32^0 3^a 5^b ...: múltiplos de 3 y 5 que no son múltiplos de 2
- La densidad del primer caso es
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 - La densidad del segundo caso es
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 - Como los dos conjuntos no se superponen, se pueden sumar, y la densidad de los enteros cuyo segundo factor primo es 5 resulta ser 1/10
Fórmula para un primo general p
- Para que p sea el segundo factor primo más pequeño, debe incluirse uno de los primos q menores que p, y no deben incluirse los primos r menores que p distintos de q y p
- Esta condición se expresa con una factorización de la siguiente forma
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- Si se calcula la densidad para cada q < p y se suman, se obtiene la siguiente fórmula
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- La misma expresión puede reordenarse así
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]
El cálculo que hace que 37 sea la mediana
- El primo (p^) que se busca es el punto donde la suma de densidades de que el segundo factor primo sea menor o igual que (p^) se vuelve aproximadamente 1/2
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- Al implementar λ₂(p) y sumarla primo por primo, la densidad acumulada alcanza aproximadamente 1/2 en 37
- La densidad esperada real calculada es de aproximadamente 0.5002
- El valor 0.5002501 obtenido en el experimento de factorización directa con N=10⁷ también es muy cercano a ese valor
Extensión al k-ésimo factor primo
- La fórmula general para la densidad λₖ(p) de que el k-ésimo factor primo sea p es la siguiente
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]
- Aquí (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}), donde la suma se toma sobre los m que tienen exactamente j factores primos y cuyos factores primos son todos menores que p
- La expresión asintótica para la mediana (p_k^*) del k-ésimo factor primo es la siguiente
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]
- Aquí b es el siguiente valor
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]
- (\gamma) es la constante de Euler-Mascheroni
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Esto no significa que haya algo especialmente interesante en el 37 en sí.
Más bien, lo interesante es que aquí exista una mediana finita. Una vez que eso se cumple, como la mediana se definió como un elemento de la lista, no puede ser otra cosa que un número primo. En esta lista simplemente resulta ser 37 por casualidad; podría haber sido otro valor.
Para que el 37 fuera realmente interesante, habría que relajar la definición para permitir que la mediana pudiera ser un valor fuera del conjunto y aun así el límite convergiera a 37. Eso sí habría sido bastante sorprendente.
Los valores menores que 37 son solo alrededor de 49.061%, y los valores mayores que 37 son solo alrededor de 49.975%. A partir de cierto punto, para N pares siempre habrá dos 37 a ambos lados del punto del 50%, así que la mediana es exactamente 37 y no otro valor. Dejé una explicación más larga en otro comentario [0].
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
La existencia de la mediana sugiere que todos los demás percentiles también podrían tener límites. Más aún, para cualquier número, podría existir la proporción límite de enteros cuyo segundo factor primo es mayor que ese número, y en 37 esa proporción resulta ser casualmente 0.5.
Me gustó que explicara tan claramente la respuesta a la pregunta que me vino primero a la mente: “¿Cómo diablos se demuestra esto?”
Curiosamente, el 37 también aparece en el problema de parada óptima / problema de la secretaria.
Casualmente, 37 también es el primer primo irregular. Tiene relación con por qué el último teorema de Fermat es difícil.
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
Se dijo que “los números cuyo segundo primo es 2 son 0.000000000000000”, pero ¿el título del artículo sigue siendo correcto aunque no especifique sin repetición?
Porque explicitarlo por completo en inglés por lo general se vuelve verboso. Si se hubiera escrito “segundo primo sin repetición”, alguien podría decir que también habría que escribir “segundo más pequeño” o “en orden ascendente”. En los artículos, este tipo de términos normalmente se definen formalmente junto con una notación matemática más precisa, aunque no totalmente rigurosa.
No es por buscarle la quinta pata al gato, sino porque hacer que las personas infieran las partes “invisibles” en matemáticas, en vez de obligarlas a explicitarlas una por una, mejora mucho la usabilidad de los demostradores de teoremas. Esta charla relacionada de Andrej Bauer es buena: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
Me pregunto si habrá algún teorema o resultado interesante del lado de las funciones L o las formas modulares que abarque este resultado.
Estoy aprendiendo sobre eso últimamente y el tema me resulta atractivo.
Me enteré viendo el video https://www.peakmath.org/quest-for-f1, y también vale la pena explorar http://lmfdb.org.
Creo que este hecho hace que el 37 sea bastante interesante.
Al menos sin duda es más interesante que 31.
31 también es primo, así que es interesante hasta cierto punto, pero no tanto como 37, que, como acabamos de aprender, es la mediana del segundo factor primo de los enteros.
¿Habrá candidatos a enteros más interesantes? ¿Y existirá algún número que pueda llamarse el entero más interesante?
Son, respectivamente, las versiones big-endian y little-endian de la cadena ASCII “the most interesting”.
Es interesante que aparezca por primera vez tan tarde, aun cuando los primos irregulares representan alrededor del 41% de todos los primos. Referencia: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
Cuál sea el primo más interesante depende de qué te parezca más interesante. Si te gusta la mediana del segundo factor primo, 37 es el mejor; si te gusta el primer primo irregular, también 37 es el mejor. Al final es cuestión de perspectiva.
Otra razón por la que 37 es bueno es que termina en 7, así que cuando alguien te pide decir un número, “suena aleatorio”, y es mejor que 27 porque es primo. 7 es demasiado bajo y 17 tiene una connotación de mala suerte. Eso sí, 37 también es un número bastante intimidante. Solo por ser primo ya es bastante irregular, y encima es un primo irregular.
Por eso el sistema de tiempo y la trigonometría probablemente se basaron en 60. 360 = 6*60, y 360 tiene 24 divisores.
Me sorprende que la demostración sea tan simple. El 37 acaba de convertirse en mi primo favorito.
Me pregunto cuál será la tasa de crecimiento del valor promedio del segundo factor primo. Me parece que crecerá sin límite, aunque quizá bastante lentamente.
Llevo toda la vida obsesionado con este número. Cada vez que miro el reloj, cada vez que veo la placa del auto de adelante, siento que veo el 37.
También hay cosas relacionadas al azar, como Channel 37: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37