- El artículo de James Clerk Maxwell de 1865 abordó matemáticamente los cambios del campo electromagnético y propuso la conexión de que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es igual a la velocidad de la luz
- La teoría original no fue ampliamente comprendida durante más de 20 años debido a sus 20 ecuaciones y a su complejo lenguaje físico, y fue organizada en la forma actual de 4 ecuaciones a través de las generaciones de Oliver Heaviside, Hertz, Lorentz y Einstein
- Los campos eléctrico y magnético pueden leerse no como dispositivos mecánicos, sino como campos escalares y vectoriales a través del espacio y el tiempo; la divergencia representa fuentes y sumideros, y el rotacional representa la rotación
- Las cuatro ecuaciones expresan de forma compacta qué tipo de divergencia y circulación generan entre sí la carga, el flujo magnético, los campos que cambian con el tiempo y la corriente
- En el vacío y en espacios sin carga, los campos eléctrico y magnético satisfacen la ecuación de onda y se unifican en una sola onda electromagnética que se propaga a la velocidad de la luz
Por qué la teoría de Maxwell se volvió importante más tarde
- En 1865, James Clerk Maxwell publicó “A dynamical theory of the electromagnetic field” en Philosophical Transactions de la Royal Society
- Este artículo describía los cambios del campo electromagnético y tuvo gran relevancia física porque la mayoría de las fuerzas que experimentamos en la vida cotidiana, salvo la gravedad, tienen origen electromagnético
- Las ecuaciones de Maxwell predijeron la existencia de las ondas electromagnéticas y conectaron las ondas electromagnéticas con la luz visible al señalar que la velocidad de propagación de ambas es la misma
- Sin embargo, el trabajo de Maxwell no fue aceptado de inmediato
- La forma original no era el conjunto de 4 ecuaciones que hoy nos resulta familiar, sino 20 ecuaciones
- Para los físicos de la época, la complejidad algebraica era grande, y para los matemáticos, el lenguaje de explicación física de Maxwell era difícil de abordar
- La cosmovisión de entonces tendía a considerar más fundamentales estructuras mecánicas subyacentes, como “ruedas y engranes”, que los campos (field)
- A medida que Oliver Heaviside simplificó las ecuaciones y siguieron las generaciones de Hertz, Lorentz y Einstein, las ecuaciones de campo y las leyes matemáticas se establecieron como explicación básica del universo
Intuición básica para leer un campo
- Un campo (field) puede verse como una función que opera a través de todo el espacio y el tiempo
- Es difícil reducir por completo un campo a materia cotidiana o a analogías mecánicas
- Explicaciones como partículas de intercambio, partículas virtuales o curvatura del espacio-tiempo también pueden tratarse en última instancia como abstracciones matemáticas
- La intuición básica para entender un campo es verlo como una función matemática extendida en el espacio y el tiempo
- Un campo escalar recibe como entrada un punto del espacio y entrega un solo número como salida
- En el ejemplo de subir una montaña, donde la temperatura cambia según la altitud,
T(x, y, z)mapea una posición a un valor de temperatura - Si tratamos la distribución de temperatura de una placa metálica incluyendo también el tiempo como
T(x, y, t)o, de forma más realista,T(x, y, z, t), la ecuación del calor modela los cambios del campo de temperatura
- En el ejemplo de subir una montaña, donde la temperatura cambia según la altitud,
- Una ecuación diferencial parcial representa la relación entre varias variables y sus tasas de cambio
- La temperatura de una placa metálica debe considerar no solo el cambio según la posición
dT/dx, sino también el cambio con el tiempodT/dt - Como cada derivada representa solo una parte del cambio total, se trata de una derivada parcial, y se usa para manejar la evolución temporal de un campo
- La temperatura de una placa metálica debe considerar no solo el cambio según la posición
- Un campo vectorial recibe como entrada un punto del espacio y devuelve un vector con magnitud y dirección
- En un campo de velocidad de un fluido, el vector en cada posición representa la dirección y magnitud de la velocidad del elemento del fluido
- El campo gravitatorio y el campo magnético también pueden modelarse como campos vectoriales
- En el campo electromagnético no hay un fluido real fluyendo, pero se usan de forma analógica términos de flujo de fluidos como flujo, fuente y sumidero
El lenguaje de las ecuaciones leído con divergencia y rotacional
- La divergencia (divergence) indica si alrededor de un punto un campo sale hacia afuera como una fuente o entra hacia adentro como un sumidero
- Si al dibujar un pequeño círculo alrededor de un punto hay más flechas saliendo, la divergencia es positiva
- Si hay más flechas entrando, la divergencia es negativa
- Si no ocurre ninguna de las dos cosas, la divergencia es 0 o cercana a 0
- En el campo eléctrico, una carga positiva puede verse como fuente y una carga negativa como sumidero
- La ley de Gauss para el campo eléctrico dice que la divergencia del campo eléctrico en un punto es proporcional a la densidad de carga en ese punto
- El rotacional (curl) indica cuánto gira un campo alrededor de un punto
- Una rotación en sentido antihorario puede verse como rotacional positivo, y una en sentido horario como rotacional negativo
- La intuición de la magnitud del rotacional es cuánto de rápido giraría un pequeño molino imaginario colocado en ese punto por efecto del campo
- En 3 dimensiones, el rotacional devuelve un vector que representa la dirección de giro según una regla específica de la mano derecha
- Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse en forma diferencial e integral
- La forma diferencial expresa el campo electromagnético centrándose en la divergencia y el rotacional en cada punto
- La forma integral trata el mismo contenido mediante el flujo total y la circulación a través de superficies cerradas o trayectorias cerradas
- La integral parte del proceso de dividir el intervalo en rectángulos pequeños de ancho
Δxy sumarlos para calcular el área bajo una curva- Cuanto más se acerca
Δxa 0, más precisa es la aproximación del área - En la forma integral de las ecuaciones de Maxwell, se suman pequeños elementos de área de una superficie cerrada para calcular el flujo o la circulación total
- Cuanto más se acerca
Lo que dicen las cuatro ecuaciones de Maxwell
- La ley de Gauss para el campo eléctrico expresa con divergencia y flujo que la carga crea un campo eléctrico
- En la forma diferencial, la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga
- En la forma integral, el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga total contenida dentro de esa superficie
- Las líneas de campo eléctrico se dibujan saliendo de las cargas positivas y entrando en las negativas
- La intensidad del campo eléctrico se debilita como
1/r²al alejarse de una carga puntual, según la ley del inverso del cuadrado - La permitividad del vacío
ε0es la constante que indica cuánto deja pasar el vacío las líneas de campo eléctrico
- La ley de Gauss para el magnetismo dice que la divergencia del campo magnético es siempre 0
- Esto se interpreta como que no existen monopolos magnéticos equivalentes a la carga eléctrica
- El flujo magnético total que atraviesa una superficie cerrada es siempre 0
- Las líneas de campo magnético no comienzan ni terminan en cargas como las del campo eléctrico, sino que siempre forman bucles cerrados que regresan sobre sí mismos
- En cualquier superficie cerrada, como una esfera, un cubo o un toro, el flujo magnético que sale y el que entra se cancelan
- La ley de Faraday dice que un campo magnético que cambia con el tiempo induce un campo eléctrico circulante
- Si el flujo magnético aumenta, se genera un campo eléctrico circulante en la dirección que se opone a ese cambio
- Si el flujo magnético disminuye, se genera un campo eléctrico circulante en la dirección contraria
- Esa dirección opuesta al cambio se conoce como la ley de Lenz
- A diferencia del campo eléctrico que empieza o termina en cargas, el campo eléctrico inducido forma líneas de campo que se cierran en bucles cerrados sobre sí mismos
- Esta ley permite mover cargas en un circuito cerrado para generar corriente y hace posible los generadores y la conversión de energía mecánica en energía eléctrica
- La ley de Ampère-Maxwell dice que una corriente o un campo eléctrico que cambia con el tiempo induce un campo magnético circulante
- El término del lado izquierdo representa el rotacional del campo magnético
- El término del lado derecho incluye la densidad de corriente y la tasa de cambio temporal del campo eléctrico
- La corriente se define como la tasa de flujo de carga que atraviesa cierta área de sección transversal, pero no significa simplemente el movimiento de electrones dentro de un cable
- La densidad de corriente
Jrepresenta la cantidad de carga que pasa por una unidad de área de sección transversal perpendicular a la dirección de la corriente - Incluso si no hay corriente fluyendo, un campo eléctrico que cambia con el tiempo puede crear un campo magnético
- La forma integral de la ley de Ampère-Maxwell expresa la integral de línea de una trayectoria magnética cerrada mediante la corriente neta y la tasa de cambio del flujo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada
- La corriente que atraviesa la superficie en una dirección contribuye a la corriente neta
- Si una misma corriente atraviesa la superficie en ambas direcciones, la corriente neta puede ser 0
- La permitividad del vacío
ε0y la permeabilidad del vacíoμ0cumplen la relaciónε0 μ0 = 1/c², y en el sistema de unidades gaussianas se tratan como constantes dimensionales que desaparecen
La unificación del campo eléctrico y magnético
- El campo eléctrico y el campo magnético pueden verse no como dos campos independientes, sino como un solo campo electromagnético
- En una onda electromagnética, el vector del campo eléctrico, el vector del campo magnético y la dirección de propagación se alinean entre sí en 3 dimensiones
- Los vectores del campo eléctrico y del campo magnético son perpendiculares entre sí
- La variación de un campo tiene una estructura que complementa al otro
- El campo magnético puede explicarse como un campo eléctrico que incluye efectos relativistas
- Si se observa desde el sistema de referencia que se mueve junto con un electrón al lado de un cable con corriente, el electrón está en reposo y no aparece fuerza magnética
- Debido a la contracción de longitud de la relatividad especial, los iones en movimiento se comprimen en la dirección del movimiento y adquieren una mayor densidad de carga positiva
- En ese sistema de referencia, el cable parece tener carga positiva neta, y el electrón es atraído hacia el cable por fuerza eléctrica
- El mismo fenómeno se explica como fuerza magnética para un observador en reposo y como fuerza eléctrica para un observador que se mueve junto con el electrón
- En el vacío y en un espacio sin carga, las ecuaciones de Maxwell pueden simplificarse, y los campos eléctrico y magnético satisfacen la ecuación de onda
- Como
1 / μ0 ε0 = c², la onda electromagnética se propaga a la velocidad de la luz - Maxwell consideró la luz y los fenómenos magnéticos como estados de una misma sustancia, y relacionó la luz con una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo según las leyes electromagnéticas
- Como
- Feynman consideraba que en una sola tabla podían resumirse las leyes básicas de la física clásica conocidas hasta 1905: las ecuaciones de Maxwell, la conservación de la carga, la ley de fuerza de Lorentz, las leyes del movimiento y la ley de gravitación de Newton
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Ojalá hubiera existido un material así cuando estudiaba la carrera de Física. Los diagramas son hermosos y van directo a los conceptos clave del cálculo vectorial necesarios para electromagnetismo.
Recuerdo haber leído Jackson[1] con mucho esfuerzo, casi como un rito de iniciación, pero no hay razón para que la siguiente generación sufra lo mismo. Siento que la Web existe justamente para cosas como esta.
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
Si les resultó útil, me gustaría pedirles que lo compartan y se suscriban. También intento ofrecer guías intuitivas sobre temas complejos como la ecuación de Schrödinger, los agujeros negros y la mecánica cuántica, y al final también quiero escribir un libro que explique las matemáticas y la física de una forma mucho más clara e intuitiva. Las matemáticas no deberían ser difíciles de entender. En el fondo son muy simples, pero admito que presentarlas de manera clara e intuitiva es realmente difícil. Buena parte del material está influida por Grant Sanderson (3Blue1Brown), y la mayoría de los diagramas los hice con Vexlio: https://vexlio.com/
Jackson es un libro de texto de electromagnetismo de posgrado, así que es un libro escrito con dificultad matemática. Para cuando uno lo lee, ya debería conocer el electromagnetismo y sus bases conceptuales desde hace 3 o 4 años, y su objetivo también es resolver ecuaciones en situaciones difíciles para estudiantes de grado. Me da curiosidad saber qué estudiaste durante la licenciatura.
Por eso existe el dicho de que, sobre cualquier tema, el mejor libro es “el segundo libro que lees”. Al verlo por segunda vez, parece mucho más intuitivo.
El examen final de esa materia tuvo el enunciado más corto que he visto hasta ahora en un examen: “Derive Maxwell’s Equations”. El libro de Kraus me pareció satisfactorio.
Una de las mejores partes del plan de estudios fue pasar por el electromagnetismo hasta llegar a la belleza de las ecuaciones de Maxwell.
Más adelante también descubrí que, al comprimirlas más con geometría diferencial, se puede extraer aún más esa belleza.
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
“La teoría de Maxwell solo se vuelve simple y elegante cuando se considera que el campo, es decir, una función matemática, es lo fundamental, y que las tensiones electromagnéticas y las fuerzas mecánicas son consecuencias de ese campo. No al revés.”
Hay muchas discusiones interesantes sobre si los campos existen realmente, y esa conversación se remonta a hace siglos: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
Cuando habla de campos, a menudo termina derivando hacia su trabajo “seudocientífico” sobre telepatía; de esas charlas, mi favorita es esta: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
La explicación es realmente excelente. Todo es simple, pero con muchos detalles; memorizarlo y entenderlo exige esfuerzo y concentración.
Al estar explicado de una forma que tiene sentido, todo el conjunto se vuelve fascinante. En segundo año de ingeniería me peleé con este tema, pero en ese momento no entendía bien ni la mitad. Si hubiera existido una explicación así, creo que lo habría estudiado con mucho más gusto. Como no fui lo bastante listo para entender los resultados del libro de texto y de las fórmulas, siento que perdí la oportunidad de fascinarme con el tema en sí.
Me gustan este tipo de textos, pero todos cometen el mismo error de empezar con álgebra vectorial en vez de álgebra geométrica.
En el espacio tridimensional, el álgebra vectorial funciona bien, pero en situaciones de 2 y 4 dimensiones se derrumba por completo. Es intuitiva hasta que, de pronto, deja de serlo totalmente. Estaría bueno ver un texto del mismo estilo, pero que use cosas como bivectores donde corresponda, de modo que todo se generalice de forma limpia no solo al espacio tridimensional, sino al espaciotiempo de 4 dimensiones.
El cálculo vectorial es bastante intuitivo y fácil de aprender, además de estar completamente instalado en el mundo de la ingeniería y la física. Después de 100 años, quienes lo usan en el trabajo real no van a cambiar la notación para reemplazar las 4 ecuaciones de Maxwell por 1 ecuación de álgebra geométrica. El cálculo vectorial de Gibbs también se usa en dinámica de fluidos y otras áreas de ingeniería, y casi no he visto una corriente que promueva las ventajas del álgebra geométrica entre investigadores de dinámica de fluidos. Alguien podría traer a colación a algún investigador solitario que haya expresado las ecuaciones de Navier-Stokes con el producto geométrico, pero no veo qué cambiaría con eso. El cálculo vectorial tradicional es un lenguaje que todos saben hablar, y el álgebra geométrica no es más que otra forma de decir lo mismo; entonces, ¿por qué cambiar?
Si alguien tiene ideas para presentar este contenido al público general, me gustaría escucharlas, y con gusto modificaría el enfoque.
En resumen, el producto geométrico del álgebra geométrica es bastante raro porque es una forma diferencial con grados mezclados. ¿No bastaría con pensarlo simplemente como formas diferenciales? Las ecuaciones de Maxwell se resumen de manera muy elegante como dF=0, d*F = J.
Todo docente de cálculo vectorial debería enseñar a sus estudiantes el significado intuitivo, es decir, visual y físico, del gradiente, la divergencia y el rotacional.
Lo mismo vale para la intuición detrás de resultados como el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. Incluso los estudiantes de ingeniería que no estén interesados en las demostraciones deberían poder entender esa intuición.
Las ecuaciones originales de Maxwell conectaban la luz y la electricidad. Las 20 ecuaciones originales tenían 20 incógnitas y usaban una notación basada en cuaterniones que nadie entendía
Heaviside reescribió las 20 ecuaciones de Maxwell como 4 ecuaciones usando cálculo vectorial, y creo que eso ayudó a simplificarlas, pero no sin costo. Siento que todavía hay muchas cosas sin explicar en el mundo moderno, especialmente en lo relacionado con la experiencia humana individual. Trabajando como taxista tuve oportunidades de vislumbrar estas cosas y terminé conociendo a personas que aclaraban las dudas que yo tenía. Debe haber alguna conexión entre el electromagnetismo y la gravedad, pero aún no la hemos descubierto. Bing CoPilot citó este artículo de Wikipedia en respuesta a mi pregunta, pero está por encima de mi nivel; ojalá alguien pudiera explicarlo de forma más accesible: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Y, ya que nadie lo pidió, un dato curioso sobre Heaviside: también fue quien inventó el método de “cubrir” para acelerar la descomposición en fracciones parciales[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
Sin duda eliminó los cuaterniones, pero como Maxwell tampoco los usaba mucho y siempre los separaba en una parte escalar y una parte vectorial, la diferencia parece pequeña. La diferencia más grande es que Maxwell las expresaba mediante el potencial escalar y el potencial vectorial, que es la forma obligatoria de hacerlo en QED. En cambio, Heaviside eliminó eso y dejó solo los campos eléctrico y magnético. Comprobé que hacen falta las 7 ecuaciones de Maxwell para derivar las 4 ecuaciones al estilo de Heaviside. Si uno toma en serio los cuaterniones, usando unidades naturales las famosas 4 ecuaciones pueden escribirse en solo 2:
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
Es más bien que ciertas características formales de la relatividad general se corresponden aproximadamente con estructuras matemáticas de las que se habla en electromagnetismo, con la salvedad de que las simetrías subyacentes de ambas teorías son distintas
Cuando a Terence Tao le preguntaron por qué nadie había demostrado la hipótesis de Riemann, respondió que, por ahora, no existen las herramientas adecuadas para la demostración. No soy matemático, pero tengo una fuerte intuición de que los cuaterniones podrían ser una de las herramientas poderosas para demostrar la hipótesis de Riemann. A diferencia de otras ondas, como las sonoras, las ondas electromagnéticas tienen una propiedad única de polarización. Para modelar de manera completa y correcta los fenómenos basados en electromagnetismo, se necesitan formulaciones y representaciones basadas en cuaterniones. Una de las razones por las que la mayoría de las modulaciones inalámbricas existentes no aprovechan la polarización es que la mayoría de los ingenieros de microondas y radio no están familiarizados con los cuaterniones. Irónicamente, este sesgo se parece a la fuerte oposición que los primeros matemáticos y científicos mostraron frente a los números complejos, y hoy la mayoría de las modulaciones inalámbricas modernas, como OFDM, usan números complejos. Aquí hay textos que derivan las ecuaciones de Maxwell usando álgebra geométrica y cuaterniones, y pueden resumirse en una sola ecuación elegante[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
Si no te molesta, me gustaría escuchar más. Aunque sea una historia un poco mística, podemos fingir que nadie la está leyendo
Sobre la equivalencia relativista entre el campo eléctrico y el campo magnético, esto también puede servir como referencia:
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman y Wisdom escribieron un libro llamado Structure and Interpretation of Classical Mechanics, siguiendo el clásico libro de Scheme SICP, y me pregunto si alguien habrá intentado un enfoque similar para el electromagnetismo
Por eso, las ecuaciones de Maxwell son una teoría dentro del gran cuerpo de la mecánica clásica. Si quieres, puedes escribir la densidad lagrangiana o el hamiltoniano para varias configuraciones experimentales, por ejemplo una partícula cargada dentro de un campo, y derivar las ecuaciones de Maxwell. También hay varios artículos sobre eso. No hay razón para no poder usar el formalismo de SICM. No sé si sea un ejercicio útil
Creo que sería el capítulo 6
Estoy lanzándole dinero a la pantalla y no pasa nada
Ojalá de verdad hicieran un libro sobre este artículo y temas relacionados. Está muy bien escrito.