¿Por qué, cuando aumenta la velocidad, la energía cinética crece de forma cuadrática y no lineal? (2011)
(physics.stackexchange.com)- La energía cinética de un objeto no rotatorio, $\frac{1}{2}mv^2$, no es solo una fórmula para memorizar: es un problema de intuición sobre por qué acelerar de $1\to2\ \mathrm{m/s}$ requiere más energía que acelerar de $0\to1\ \mathrm{m/s}$
- La explicación central se basa en la invariancia galileana y la conservación de la energía: al ver la misma colisión desde otro marco de referencia, se obtiene $E(2v)=4E(v)$, lo que revela la dependencia cuadrática con la velocidad
- El momento lineal $p=mv$ crece linealmente con la velocidad, pero al detener un objeto con la misma fuerza, si tiene el doble de velocidad, tanto el tiempo como la velocidad media se duplican, por lo que la distancia de frenado y el trabajo se cuadruplican
- Los ejemplos de caída y lanzamiento muestran la relación entre altura, energía potencial y velocidad: una pelota que cae desde 2 m no llega con el doble de velocidad que una pelota que cae desde 1 m
- $\frac{1}{2}mv^2$ es una aproximación de la mecánica newtoniana a bajas velocidades; en relatividad especial se usa $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$, que solo da casi el mismo valor a bajas velocidades
El núcleo de la pregunta
- En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto no rotatorio está dada por $\frac{1}{2}mv^2$
- El foco de la pregunta no es tanto la fórmula en sí, sino por qué crece de forma cuadrática con la velocidad y no lineal, algo que parece ir contra la intuición
- Un ejemplo típico es por qué se necesita más energía para pasar de $1\ \mathrm{m/s}$ a $2\ \mathrm{m/s}$ que para pasar de $0\ \mathrm{m/s}$ a $1\ \mathrm{m/s}$
La relación cuadrática vista desde la invariancia galileana
- Una explicación define la energía cinética como la “cantidad de calor que produce una bola de arcilla de masa $m$ al chocar contra una pared con velocidad $v$”
- Si dos bolas de arcilla de la misma masa chocan lado a lado, el calor se duplica, así que la energía es proporcional a la masa
- $E(m,v)=mE(v)$
- Si dos bolas de arcilla de la misma masa $m$ chocan frontalmente, cada una con velocidad $v$, por simetría ambas se detienen y el calor total es $2mE(v)$
- En el marco de referencia de un tren que se mueve junto con una de las bolas, el mismo evento se ve de otra manera
- La primera bola está inicialmente en reposo
- La segunda bola se acerca con velocidad $2v$
- Después de la colisión, el sistema formado por las dos bolas pegadas se mueve con velocidad $v$
- La energía cinética inicial en este marco es $mE(2v)$, y después de la colisión quedan el calor $2mE(v)$ y la energía cinética $2mE(v)$ del bloque con el doble de masa
- Al aplicar conservación de la energía se obtiene la relación:
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Si al duplicar la velocidad la energía se cuadruplica, entonces la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad
La diferencia entre momento y energía
- Esta pregunta es especialmente importante al distinguir entre momento lineal y energía
- La magnitud cinemática que es proporcional linealmente a la velocidad es el momento lineal
- $p=mv$
- El cambio de momento es proporcional al impulso
- $F\Delta t=\Delta p$
- Esto se conecta con la segunda ley de Newton, $F=ma$
- Si se detienen los objetos A y B con la misma fuerza $F$:
- La velocidad de A es $v$
- La velocidad de B es $2v$
- El momento de B es el doble que el de A
- Al desacelerar con la misma fuerza, B tarda el doble de tiempo que A en detenerse
- Como B también tiene el doble de velocidad inicial y de velocidad media, la distancia de frenado es $2 \times 2=4$ veces mayor
- El trabajo es el producto de la fuerza por la distancia, $W=Fs$, así que si la distancia de frenado es 4 veces mayor con la misma fuerza, el trabajo necesario también es 4 veces mayor
- La energía cinética es la magnitud que representa ese trabajo, por eso al duplicar la velocidad la energía cinética se cuadruplica
Intuición desde la caída y la gravedad
- La pregunta puede reformularse no como “por qué la energía cinética es cuadrática en la velocidad”, sino como “por qué la velocidad aumenta como la raíz cuadrada de la energía cinética”
- Aunque al dejar caer una pelota desde 1 m de altura llegue al suelo con velocidad $v$, la velocidad de una pelota que cae desde 2 m no será $2v$
- En el segundo tramo de 1 m, la pelota ya está en movimiento, por lo que recorre ese tramo en menos tiempo y también tiene menos tiempo para ganar velocidad adicional
- Cerca de la superficie terrestre, la energía potencial gravitatoria es proporcional a la altura, y cuando un objeto cae, la altura de caída es proporcional al cuadrado de la velocidad
- Para que la energía se conserve, la energía cinética también debe ser proporcional a $v^2$
- El caso de lanzar un objeto hacia arriba lleva a la misma conclusión
- Con la misma desaceleración gravitatoria, si la velocidad inicial se duplica, el tiempo hasta detenerse también se duplica
- La velocidad media también se duplica
- La altura alcanzada se cuadruplica
- Al conectarlo con la energía potencial $mgh$, la energía cinética inicial se iguala a la energía potencial en el instante en que se detiene, y aparece la forma $\frac{1}{2}mv^2$
Teorema trabajo-energía y cantidades conservadas
- Matemáticamente, la forma de la energía cinética surge de la segunda ley de Newton y de la definición de trabajo
- Segunda ley de Newton:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- Definición de trabajo:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- Al integrar a lo largo de la trayectoria se obtiene:
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- Por lo tanto, la definición de trabajo está conectada directamente con la dependencia cuadrática respecto de la velocidad
- En fuerzas conservativas, $\int d\vec s\cdot\vec F$ no depende de la trayectoria sino solo de los puntos inicial y final, y puede expresarse mediante una función potencial
- Si no hay fuerzas no conservativas como la fricción, la suma de energía cinética y energía potencial permanece como una cantidad conservada
Por qué no basta con decir que es una “definición”
- En mecánica clásica, la energía cinética se define como $\frac{1}{2}mv^2$, y es útil porque, cuando las leyes físicas son constantes en el tiempo, la suma de esta cantidad y un término dependiente de la posición se conserva
- Si la aceleración es una función de la posición y no varía en el tiempo, como en la ley de gravitación, la ley de Coulomb o la ley de Hooke, basta conocer la velocidad en una posición para obtener la velocidad en otra mediante conservación de la energía
- Decir solo “porque así se definió” deja abierta la pregunta de por qué esa definición es útil
- Varias explicaciones ven esa utilidad como algo conectado con las cantidades conservadas, la simetría y la invariancia galileana
Perspectiva lagrangiana y de simetría
- Si se usan la homogeneidad del espacio, la homogeneidad del tiempo y la isotropía del espacio, el lagrangiano de una partícula libre no debe depender explícitamente de la posición ni del tiempo
- Si el espacio es isotrópico, el lagrangiano debe depender de la magnitud de la velocidad, o de alguna potencia de ella, y no de la dirección del vector velocidad
- Si se toma el lagrangiano de una partícula libre como $\mathcal{L}=\alpha v^n$ y se calcula el momento como $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$, se obtiene $p=\alpha nv^{n-1}$
- Al imponer la condición de que, en el límite no relativista, el momento sea lineal en la velocidad, resulta $n=2$, por lo que la energía cinética es proporcional a $v^2$
- La afirmación de que el momento es lineal en la velocidad solo es correcta en el límite no relativista
Límite relativista y condición escalar
- La energía cinética no siempre es exactamente proporcional a $v^2$; en relatividad especial se usa la siguiente fórmula:
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- A bajas velocidades, esta fórmula es prácticamente igual a $\frac{1}{2}mv^2$
- El hecho de que la energía cinética sea un escalar y la velocidad sea un vector también es una razón para descartar una dependencia lineal
- Si la energía cinética fuera lineal en la velocidad, al cambiar $\mathbf{v}$ por $-\mathbf{v}$ su valor cambiaría, por lo que dependería de la dirección
- El término $v^2$ de la mecánica newtoniana y las correcciones relativistas $v^4$, $v^6$, etc., satisfacen la condición de que la energía cinética sea un escalar e invariante bajo $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$
Experimentos mentales y ejemplos cotidianos
- Un experimento mental con un resorte y dos cajas usa una situación en la que la energía potencial de un resorte comprimido se convierte en energía cinética de dos objetos
- En un marco de referencia, el resorte detiene una caja y acelera la otra hasta $2v$; en otro marco, las dos cajas se mueven en sentidos opuestos con velocidad $v$ cada una
- Si la energía potencial es invariante bajo transformaciones galileanas y la energía cinética se suma respecto de la masa, se obtiene $KE(m,2v)=4KE(m,v)$
- El ejemplo de un choque de autos explica que, durante la primera mitad del tiempo de desaceleración, se recorre 3/4 de toda la distancia de frenado, por lo que el daño es proporcional a la distancia recorrida más que al tiempo
- Un experimento mental en el que se usa repetidamente un resorte para aumentar la velocidad de una bola de $0,1,2,3,4$ muestra que la energía cinética crece como $0,1,4,9,16$
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
La forma más fácil de entenderlo es verlo como una conversión de energía potencial
Una pelota sobre una escalera de 20 ft tiene el doble de energía potencial que una pelota sobre una escalera de 10 ft, y al llegar al suelo esa cantidad se convierte en energía cinética
Pero la velocidad de impacto de una pelota que cae desde el doble de altura está muy lejos de ser el doble. La gravedad es una fuerza que en caída libre produce una aceleración constante sin importar la velocidad, y el aumento de velocidad ocurre “por unidad de tiempo”, no “por unidad de distancia”
Supongamos que, al caer desde 10 ft, después de 1 segundo tiene energía cinética 10 y velocidad 100. La pelota que cae desde 20 ft, en el momento en que recorrió los primeros 10 ft, también tiene exactamente energía cinética 10 y velocidad 100
La clave está en los 10 ft restantes. Como ya entra a esa sección con velocidad 100, la recorre en menos tiempo que los primeros 10 ft, y la gravedad le agrega correspondientemente menos velocidad. Así se ve que la relación no es lineal
Si se hacen los cálculos o el experimento real, para que una pelota llegue al suelo con una velocidad 2 veces mayor que otra, debe caer desde una altura 4 veces mayor, y su energía cinética también será 4 veces mayor
La pregunta misma parte de la intuición de que la energía cinética debería aumentar linealmente con la velocidad, pero en realidad esa intuición es incorrecta
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Pero al final también es una cuestión de qué unidades y magnitudes decidimos medir. Por ejemplo, si midiéramos “Squenergy” en Sqoules y definiéramos 1Sq² = 1J, la squenergy de pronto aumentaría linealmente con la velocidad
Claro que entonces la Squenergy potencial sería sqrt(MgH), y se complicarían otras cosas, como que ya no se podría sumar
Dejarla caer 10 veces desde 1 ft no tiene tanta energía ni es tan destructivo como dejarla caer una vez desde 10 ft
La explicación más intuitiva para mí es esta: fuerza = cambio de momento con respecto al tiempo; energía = fuerza × distancia
Si vemos cuánta energía puede disiparse mediante un pequeño cambio de momento a lo largo de una distancia pequeña dx a una velocidad v, obtenemos dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv
Para aplicar una fuerza durante cierta distancia hay que cambiar la velocidad del objeto en dv, pero la distancia recorrida durante ese intervalo también depende de la velocidad actual v. Por eso la energía total no es simplemente proporcional a la velocidad
Si sumamos todos esos pequeños dE desde la velocidad inicial hasta 0, aparece la fórmula de la energía cinética
Aun así, esta intuición finalmente parte de “fuerza = cambio de momento con respecto al tiempo”. Las definiciones de “fuerza”, “momento” y “energía” son matemáticamente claras, y aunque describen una realidad compartida, pueden sentirse irritantemente circulares
“2 veces más rápido” se entiende bien como “el doble de momento”, pero la energía cinética es momento × velocidad, así que es más abstracta
Hay una pequeña anécdota
Un auto azul va a velocidad 70, y un auto rojo del mismo modelo lo está alcanzando a velocidad 100. Cuando quedan lado a lado, aparece más allá de una curva un obstáculo que bloquea ambos carriles, y los dos autos frenan con la misma intensidad y desaceleración
El auto azul se detiene justo antes del obstáculo. El rojo iba más rápido, así que aunque frene al mismo ritmo no alcanza a detenerse. ¿A qué velocidad choca contra el obstáculo?
El auto azul pierde, usando ½mv², aproximadamente 70² = 4900 unidades de energía. El auto rojo tenía al principio 100² = 10000 unidades de energía cinética, y si pierde las mismas 4900, le quedan 5100. Por lo tanto, la velocidad de impacto es √5100 ≈ 71
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
Por eso un F1 puede alcanzar 4G al frenar. El último monstruo de auto personalizado de Ken Block, o autos como el Valkyre, aprovechan aún más el frenado aerodinámico activo
Para experimentos virtuales básicos de autos como este, BeamNG.drive es un simulador físico bastante bueno. Puedes abrir las herramientas integradas y ejecutar tú mismo una prueba de frenado
Los dos autos pueden frenar con la misma desaceleración, es decir, en términos de aceleración, o con la misma intensidad, es decir, en términos de la tasa a la que convierten energía cinética en calor; pero como sus velocidades son distintas, ambos valores no pueden ser iguales al mismo tiempo
El cálculo de arriba está hecho en términos de intensidad, no de fuerza ni de aceleración. La diferencia se exagera por el cuadrado en la fórmula de la energía cinética. Si se calcula en términos de fuerza, aparece una diferencia lineal más suave
La frase “frenaron al mismo ritmo” también es tramposa. Normalmente “ritmo” se refiere a fuerza o aceleración, pero aquí se está calculando como tasa de conversión de energía cinética en calor
Que la tasa de conversión de energía sea la misma significa que al auto rápido en realidad se le aplica una fuerza de frenado mucho menor. Es la misma matemática que cuando al bajar una pendiente a baja velocidad la misma fuerza puede estar bien, pero aplicar esa misma fuerza a alta velocidad cocina los frenos
En esencia, se tomó el cálculo de un camión bajando una pendiente —donde el límite no es la fricción, sino cuánto calor pueden disipar los frenos— y se lo reformuló como un problema de detener autos para crear una pregunta con trampa
Ron Maimon escribió un argumento que depende puramente de la simetría. Es una forma de evitar muchas de las explicaciones estándar de este hilo y, hasta donde entiendo, parece una versión simplificada del teorema de Noether.
Como nota al margen, tengo entendido que la cuenta de Ron Maimon fue suspendida después de cuestionar el carácter de una persona que estaba pidiendo votos en una elección de moderadores. Su postura era que, si alguien se postula para un cargo electivo, es válido hablar de su carácter.
Los sitios de la familia Stack Overflow tenían una política estricta de criticar las preguntas, pero no a las personas, y los moderadores se basaron en eso para bloquearlo permanentemente.
Recuerdo haber visto publicaciones de Ron de esa época diciendo que los sitios de SO se habían corrompido por sus políticas y que pronto dejarían de aportar valor. Fue a fines de los 2000 o principios de los 2010, y en retrospectiva se siente bastante profético.
Ahora a eso se suman decisiones de gestión cada vez más raras, orientadas a exprimir todo el dinero posible antes de que la IA vuelva a SE completamente inútil, pero la agresividad y la hostilidad fueron insoportables desde el principio.
Decenas de veces entré a StackOverflow con la intención de mirar algo por 10 segundos e irme, y terminé mirando los comentarios durante minutos, atónito por la forma en que la gente se trataba entre sí.
Incluso después de leer varias respuestas, siento que todavía no vi una respuesta intuitiva. ¿Por qué se necesita mucha más energía para pasar de 1 a 2 que para pasar de 0 a 1?
Cuando estás en reposo, puedes usar el entorno, por ejemplo empujando una pared, para ganar velocidad.
Si ya tienes velocidad, el entorno se está moviendo en sentido contrario respecto de ti, así que cada unidad adicional de velocidad requiere más esfuerzo.
Ayuda cambiar la premisa.
Un objeto al que se le aplica una fuerza constante recorre una distancia que aumenta cuadráticamente con el tiempo.
La energía es fuerza × distancia. Es la misma intuición de que la energía necesaria para levantar un objeto es proporcional a la altura a la que se lo levanta.
Por lo tanto, al aplicar una fuerza constante se obtiene una aceleración constante y, como resultado, la distancia aumenta cuadráticamente.
Si aceptas que la energía es fuerza × distancia, entonces en esta situación la energía necesaria para mover el objeto también aumenta cuadráticamente.
Es decir, cuando aplicas una fuerza F durante 1 segundo, la cantidad de energía que esa fuerza transfiere depende de qué tan rápido se esté moviendo ya el objeto. Aplicar una fuerza a un objeto que ya va rápido requiere mucha más energía. La intuición es que primero tienes que gastar energía para ponerte a la velocidad del objeto en movimiento, y recién entonces puedes empezar a aplicar la fuerza.
Se puede entender viéndolo como una hipótesis contrafáctica.
Supongamos que la energía cinética dependiera linealmente de la rapidez |v|, con E = m|v|. ¿Cómo sería entonces el universo?
El lagrangiano tradicional es L = 1/2 mv^2 - V(x). Con esta energía cinética se obtiene otra fórmula: L = m|v|ln|v|-V(x).
Si derivamos las ecuaciones de movimiento correspondientes, salen p = m(1+ln|v|)sgn(v) y ma = |v|F.
De estas fórmulas se pueden ver varias cosas. Primero, se rompe la relatividad galileana: no hay invariancia bajo boosts. Necesariamente tendría que existir un sistema de referencia privilegiado en el que el universo esté en reposo, es decir, un éter, y toda la dinámica debería entenderse respecto de ese sistema.
Segundo, la primera ley de Newton adquiriría una interpretación patológica en relación con ese sistema de referencia. Como ma = |v|F, si |v| = 0, entonces para cualquier fuerza F aplicada se tiene a = 0. Un objeto en reposo respecto del éter no podría moverse aunque se le aplicara cualquier fuerza.
Un objeto que se mueve respecto del éter seguiría moviéndose si no hay fuerzas externas, y la tercera ley de Newton seguiría siendo cierta, pero un universo así en la práctica no tiene sentido.
Desde el principio antrópico, se podría decir que un universo así tiene una dinámica tan patológica que no permitiría la vida y, por lo tanto, no podríamos observarlo.
Si el argumento de StackExchange es “dada la relatividad galileana, se obtiene una ley de escala cuadrática”, este argumento es la contrapositiva: “si no hay una ley de escala cuadrática, tampoco hay relatividad”.
La idea del contrafáctico se parece al argumento del “por qué” de Richard Feynman https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
No hay una razón fundamental por la que este tipo de dinámica no pueda existir. Solo podemos reducir la explicación a intuiciones más fundamentales sobre el mismo universo en el que vivimos, por ejemplo desde la ley de escala de la energía cinética hacia la relatividad galileana. Si no hay una prueba matemática de que una alternativa sea contradictoria incluso en principio, es completamente válido imaginar universos alternativos con otra dinámica. Simplemente no son nuestro universo.
Respuesta tramposa: la velocidad es un vector y puede ser negativa, pero la energía cinética es un escalar y debe ser positiva. Por eso hay que elevar v al cuadrado para eliminar el signo menos.
¿Por qué no usar valor absoluto? Porque a la naturaleza no le gusta eso. Probablemente porque en 0 no está definida la derivada. Por eso se usa el cuadrado.
Es la diferencia entre un cuenco parabólico suave y la punta antinaturalmente afilada de un cono. También aparece en cosas como la desviación estándar.
Como comentario aparte, me pregunto si en redes neuronales con valores complejos lo más universal no sería usar sum(inputs)*conj(sum(inputs)) como función de activación y normalizar el umbral con sqrt(num_inputs). Las entradas incoherentes dan una magnitud promedio de sqrt(N), mientras que las entradas coherentes dan N, como un láser. La amplitud al cuadrado pasa de N a N^2 entre grupos no corregidos y grupos correlacionados.
Y la forma de manejar la singularidad en 0 es muy importante para la estructura de esa interacción.
Si duplicas la velocidad, recorres el doble de distancia en el mismo tiempo. No es solo que vayas el doble de rápido: ambas cosas afectan el trabajo.
Physics for Mathematicians, de Michael Spivak, contiene muchos argumentos como el de la respuesta principal aquí para explicar por qué las matemáticas de la mecánica clásica tienen esa forma.