- Las matemáticas se han usado como el lenguaje de la física, pero ahora la intuición de la física también funciona como una fuente que abre problemas difíciles y nuevas estructuras en matemáticas
- Los físicos están menos atados que los matemáticos a las pruebas rigurosas antes de explorar rápido, por lo que pueden descubrir primero nuevos conceptos y conexiones que después los matemáticos validan
- La teoría de cuerdas, a través de las variedades Calabi-Yau, las superficies K3 y la M-theory, ha generado relaciones inesperadas entre la geometría algebraica, la topología diferencial, la teoría de grupos y la topología
- Incluso teorías físicas descartadas pueden perdurar mucho tiempo en matemáticas; la vortex theory de Lord Kelvin desapareció, pero sus matemáticas llevaron al desarrollo de la teoría de nudos y a entender moléculas entrelazadas como el ADN
- En grandes problemas como el Langlands program, la Riemann hypothesis y la Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, mientras más baja sea la frontera entre física y matemáticas, mayor será la posibilidad de nuevos avances
La inversión del flujo en el que las matemáticas ayudaban a la física
- Albert Einstein consideró que en la teoría de la relatividad general de 1915 era una “verdadera victoria” de las matemáticas que una rama de las matemáticas puras adelantada por más de medio siglo describiera con precisión la estructura del espacio-tiempo
- Las matemáticas nacieron originalmente para medir, calcular y entender el mundo físico, y los sumerios de Mesopotamia dejaron tablillas de arcilla con tablas de multiplicar para contar bienes y propiedades
- Después, las matemáticas, que eran una herramienta para ayudar al gobierno y al comercio, se expandieron hacia ámbitos de alta abstracción y siguieron respaldando grandes avances de la física
- En años recientes, la dirección se invirtió, y ahora las leyes y patrones de la física están impulsando áreas de las matemáticas que llevaban mucho tiempo estancadas
Cómo los físicos recorren el terreno matemático
- Timothy Gowers cree que los físicos están menos sujetos que los matemáticos a la prueba rigurosa, por lo que pueden explorar el terreno matemático más rápido
- Si el matemático mide a fondo una zona pequeña, el físico puede recorrer rápidamente una gran región inexplorada y detectar primero conceptos o relaciones poderosas
- Después, los matemáticos vuelven sobre esos hallazgos para intentar demostrarlos o refutarlos
- Este flujo se ha repetido desde hace mucho tiempo
- Archimedes dejó escrito que las leyes de la mecánica condujeron a descubrimientos matemáticos importantes
- Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo al intentar entender el movimiento de los cuerpos en caída
La ruptura de mediados del siglo XX y el puente de Michael Atiyah
- A mediados del siglo XX, el flujo de nuevas matemáticas desde la física casi se secó, y ni matemáticos ni físicos mostraban mucho interés por el campo del otro
- En matemáticas, el Bourbaki group intentó hacer las matemáticas lo más precisas posible y reconstruir varias áreas desde cero
- En física, se desarrollaron ideas como el Standard Model, pero para muchos físicos las matemáticas eran una herramienta conveniente, y había poco interés por la visión rigurosa al estilo Bourbaki
- Desde mediados de los años 70, Michael Atiyah vio en la física teórica la fuente más prometedora de nuevas ideas y promovió la interacción entre ambos campos
- abordó problemas matemáticos planteados por físicos
- demostró resultados de matemáticas puras usando ideas físicas
- transmitió a los físicos partes importantes de las matemáticas modernas que les eran poco familiares
Las conexiones matemáticas creadas por la teoría de cuerdas
- Edward Witten conoció a Atiyah en 1977, se convirtió en colaborador de largo plazo y después fue pionero de la teoría de cuerdas
- La teoría de cuerdas es la idea de que los componentes fundamentales del universo no son las partículas del Standard Model, sino pequeñas cuerdas vibrantes unidimensionales
- En física todavía no ha llegado a ser una “teoría del todo”, pero ha dejado una gran influencia en áreas abstractas de las matemáticas como la geometría algebraica y la topología diferencial
- Witten y otros teóricos de cuerdas formularon conjeturas precisas que después los matemáticos demostraron
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Variedades Calabi-Yau y geometría enumerativa
- En 1991, Philip Candelas, Xenia de la Ossa y sus colegas aplicaron la teoría de cuerdas a un viejo problema de la geometría enumerativa
- La geometría enumerativa es la rama de las matemáticas que cuenta cuántas soluciones tiene un problema geométrico
- Trata preguntas como: hay una sola recta que pasa por dos puntos en un plano, o hay ocho circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas
- Ellos abordaron con herramientas de la teoría de cuerdas el problema de contar ciertas curvas dentro de variedades Calabi-Yau
- El resultado conectó la symplectic geometry y la complex geometry, que los matemáticos habían estudiado por separado durante décadas
- Cuando dos campos considerados independientes se conectan, se vuelve posible resolver problemas de uno con herramientas del otro, y eso se considera un resultado profundo en matemáticas
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M-theory y dualidad
- En 1995, Witten propuso que las cinco teorías de cuerdas que requieren 10 dimensiones eran distintos aspectos de una sola idea de 11 dimensiones: la M-theory
- La M-theory sigue sin demostrarse, pero al seguir las correspondencias entre teorías distintas han surgido descubrimientos matemáticos sorprendentes
- Yang-Hui He considera que la teoría de cuerdas ofrece a los matemáticos nuevas estructuras de una manera sin precedentes
Las superficies K3 y estructuras matemáticas inesperadas
- Yang-Hui He y Federico Carta, al estudiar la superficie K3, la variedad Calabi-Yau más simple, descubrieron una nueva relación
- Esa relación conecta los homotopy groups, usados en topología para clasificar figuras, con el grupo de simetría Matthieu 24
- Así apareció una conexión inesperada también entre la topología y la teoría de grupos, dos áreas distintas de las matemáticas puras
- He cree que los patrones y estructuras que un matemático puede estudiar son infinitos, pero que los que surgen de la realidad son objetos sobre los que puede existir algún nivel de intuición
- Nigel Hitchin también piensa que la investigación matemática no funciona en el vacío, y que las ideas nuevas necesitan condensarse alrededor de alguna sensación de realidad, o de la sensación de realidad de alguien
Cuando una “mala” física produce buenas matemáticas
- La física puede ofrecer a las matemáticas una motivación más fuerte y un foco de exploración más claro
- Si existe una intuición sobre cómo debería funcionar el mundo real y un punto de llegada plausible, el matemático puede avanzar más rápido en un problema
- En este marco, incluso una teoría física descartada puede producir buenas matemáticas
- William Thomson, es decir, Lord Kelvin, veía en su vortex theory a los átomos como anillos giratorios enlazados de manera compleja, y hacía corresponder cada nudo con un elemento químico
- La teoría fue descartada después del descubrimiento del electrón, pero sus matemáticas condujeron al desarrollo de la teoría de nudos
- la teoría de nudos se convirtió en un campo rico de investigación en matemáticas puras
- también tuvo aplicaciones inesperadas en dinámica de fluidos y en la comprensión de moléculas entrelazadas como el ADN
El cerebro humano, el mundo físico y la belleza matemática
- Atiyah vinculó la relación entre física y matemáticas con la evolución del cerebro humano
- Los seres humanos son el producto de una larga evolución, y un cerebro potente favoreció la supervivencia y el éxito en el mundo físico
- El cerebro humano evolucionó para resolver problemas físicos, y de ahí surge la interpretación de que también tuvo que desarrollar el tipo adecuado de matemáticas para hacerlo
- Un estudio de neuroimagen de 2014 en el que participó Atiyah concluyó que la experiencia de la belleza matemática activa áreas cerebrales similares a las que activan la música, el arte y la poesía bellos
- Las matemáticas que nacen del estudio de la realidad podrían ser el tipo de matemáticas que prefiere el cerebro humano
¿Las leyes físicas también son inevitables, como los teoremas matemáticos?
- Daniele Molinini, en un artículo de 2023, respondió al ensayo de 1960 de Eugene Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”, con “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics”
- Su respuesta es que algunas leyes físicas podrían ser tan irrefutables como los teoremas matemáticos
- En general, los filósofos consideran que las verdades matemáticas son verdades necesarias que deben ser ciertas en todos los mundos posibles, mientras que los hechos empíricos sobre la naturaleza serían verdades contingentes que podrían ser diferentes
- Molinini cree que los principios de conservación podrían ser candidatos a leyes físicas necesarias
- en física, ciertas propiedades de un sistema, como la energía o el momento, no cambian
- un ciclista que baja una colina transforma energía potencial gravitatoria en energía cinética, pero la energía total del ciclista y la bicicleta permanece igual
- Si la conservación fuera necesaria, eso podría explicar cómo Archimedes logró inferir correctamente la verdad de una demostración geométrica mediante consideraciones mecánicas
Los límites de la idea de que el universo está hecho de matemáticas
- La idea expresada por Galileo a inicios del siglo XVII y respaldada por muchos matemáticos sostiene que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas
- Esta idea tiene un origen antiguo que se remonta hasta Pythagoras y sus seguidores
- La mathematical universe hypothesis de Max Tegmark es todavía más extrema
- el universo no solo se describe con matemáticas, sino que está hecho de matemáticas
- nuestro universo es uno entre infinitos universos paralelos, y toda posibilidad matemática se realiza en algún lugar
- Mark Colyvan considera que existe una conexión íntima entre la ciencia empírica y las matemáticas, y que de ahí puede sacarse la conclusión de que el propio mundo es matemático de alguna manera
- Pero como las matemáticas conocidas de la física son una parte diminuta del conjunto total de las matemáticas, esta visión por sí sola no explica suficientemente por qué las matemáticas surgidas de la física son tan especialmente fértiles
La vía inversa que cuesta explicar con mapping
- Molinini cuestiona el enfoque filosófico popular de mapping para explicar la aplicabilidad de las matemáticas
- El mapping consiste en hacer corresponder conceptos físicos como masa o distancia con objetos matemáticos, como la ecuación de la ley de gravitación de Newton, y luego volver a traducir los resultados del cálculo a propiedades físicas
- Si se intenta invertir este proceso para explicar cómo nacen matemáticas desde la física, el mapping ya no funciona bien
- Hasta ahora, los filósofos se habían concentrado en por qué las matemáticas pueden aplicarse a las ciencias empíricas, pero ahora también se vuelve importante preguntar por qué la física es tan efectiva para las matemáticas
Física y matemáticas se acercarán más
- Yang-Hui He cree que la física moderna ofrece a los matemáticos muchas herramientas nuevas y pistas inesperadas, y que para resolver los grandes problemas de las matemáticas puras hará falta una cooperación más estrecha entre ambos campos
- El Langlands program es una de esas áreas
- Robert Langlands lo concibió en los años 60 y se le llama la “grand unified theory” de las matemáticas
- una de sus ramas, el geometric Langlands, se considera resuelta recientemente con una demostración de 5 artículos y 800 páginas
- una parte clave de esa demostración depende de intuiciones surgidas de la conformal field theory, uno de los fundamentos de la teoría de cuerdas
- Los matemáticos ya están intentando avanzar en la Riemann hypothesis y la Birch and Swinnerton-Dyer conjecture con ayuda de la física
- He cree que la alianza entre ambos campos puede ser clave para abrir estos problemas gigantescos
- La física y las matemáticas se están acercando de nuevo a una casi unidad, como en la época de Newton y Gauss, y puede que algunas de las herramientas matemáticas más exóticas y sofisticadas todavía ni siquiera se hayan inventado
1 comentarios
Opiniones de Hacker News
Un físico va caminando a casa de noche y ve a un colega matemático mirando el suelo bajo un farol. Le pregunta: “¿Qué pasó?”, y el matemático responde: “Se me cayeron las llaves”. El físico, queriendo ayudar, pregunta: “¿Más o menos dónde?”, y el matemático señala hacia allá y dice: “Allá”. El físico pregunta: “Entonces, ¿por qué no buscas allá?”, y el matemático responde: “Porque aquí hay más luz”.
Para ser transparente: soy matemático.
El entrevistador pregunta: “Ahora, la misma situación, pero el martillo está en el piso. ¿Qué haría?”. El matemático responde: “Movería el martillo del piso a la mesa y lo reduciría a un problema ya resuelto”.
Un chiste relacionado con este artículo es que el matemático pasa el tiempo diseñando la topología de un abrigo para una persona con tres brazos, y el físico encuentra a esa persona.
Mi chiste favorito es el del hijo de un matemático que va por primera vez a la escuela. La maestra pregunta: “¿Quién sabe cuánto es 1+2?”, y el niño se levanta y responde: “No sé cuánto es, pero sé que en el monoide de los números naturales la suma satisface la propiedad conmutativa, así que es igual a 2+1”.
Para ser transparente: soy desarrollador de software.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
El físico deja caer sus llaves. Matemático: “¡Eureka!”.
La frase de Hitchin de que “la investigación matemática no opera en el vacío” parece acercarse al punto central. La física no es lo único que impulsa matemáticas interesantes, y esta relación tampoco surgió recién en tiempos recientes.
En mi humilde opinión, las matemáticas son el lenguaje específico de dominio definitivo. Son una herramienta para modelar algo, y muchas veces ese modelo más tarde se vuelve interesante por sí mismo.
Cuando intentas modelar un objeto nuevo, por ejemplo un nuevo concepto de realidad, terminas con modelos interesantes de nuevas maneras o recontextualizas modelos existentes; por eso se vuelven necesarias la reconstrucción, la condensación y la generalización, y el campo avanza.
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
Es fácil pensar que las matemáticas describen el terreno subyacente en sí, pero en realidad operan sobre los modelos que compartimos de ese terreno. Por eso, cuando consideramos otras cosas, las matemáticas también las siguen.
En la universidad, un profesor de física comentó al pasar que la distinción entre física y matemáticas es una idea del siglo XX. Dijo que en el siglo XIX o antes esa distinción no existía, y que en el siglo XXI parece estar desapareciendo de nuevo.
Hoy esa distinción se está difuminando por la razón exactamente opuesta. La gente piensa que todo lo concebido con matemáticas sólidas debe ser verdadero, y la observación ha quedado relegada a un segundo plano.
Las matemáticas no tienen esa exigencia ni necesitan modelar fenómenos naturales. Ese profesor de física suena como un platonista.
Los avances fundamentales del cálculo a fines del siglo XVII permitieron reunir esos temas bajo un mismo método de estudio y análisis, y a eso hoy lo llamamos física.
Como gran parte de las matemáticas modernas también proviene del linaje del cálculo, la frontera entre los objetos modelados y las herramientas de modelado es naturalmente difusa, pero durante todo ese período la distinción existió con bastante fuerza. Por ejemplo, si miras la probabilidad o el álgebra, muchos investigadores perseguían tanto la física como las matemáticas, pero sabían que eran dos temas distintos.
En el siglo XXI esa distinción no puede desaparecer. Las matemáticas ya no están atadas al mundo físico. Las matemáticas consisten en generar teoremas, independientemente de si sus axiomas y teoremas se aplican al mundo físico.
Las matemáticas usadas en física son apenas una parte muy pequeña de todas las matemáticas posibles.
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
Si intentas crear un producto de software innovador sin decirle una sola palabra a ningún usuario, entenderás por qué la física es buena para crear nuevas matemáticas.
La física también es excelente para el machine learning, pero su enfoque puede ser bastante contraintuitivo. Por ejemplo, el paso de mensajes y la propagación de creencias para modelar variables latentes en árboles y grafos suelen enseñarse con la analogía de la probabilidad marginal de una ventana y un día lluvioso, y las ecuaciones bayesianas y estadísticas se descomponen en subcomponentes mediante la regla de la cadena de la marginalización
En cambio, los físicos tienden a enseñarlo con el modelo de Ising y espines magnéticos, que es una analogía completamente distinta
Los modelos generativos de machine learning más nuevos también usan mucho enfoques basados en ecuaciones diferenciales o en la distribución de Boltzmann, y formulaciones estadísticas como los modelos de espacio de estados o los modelos basados en energía se toman casi enteras de la física estadística y la mecánica estadística, y se conectan a redes neuronales y sistemas de diferenciación automática
Quizás el mejor ejemplo sea el algoritmo Metropolis-Hastings, creado por investigadores del área nuclear
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
Uno de mis profesores de física decía: “las matemáticas son física sin propósito”
Como en su momento fue un físico bastante exitoso, quizá yo esté sesgado
No soy un genio de la física ni de las matemáticas, pero creo que la relación entre ambas se parece más a un círculo virtuoso
Creo haber leído que el siglo XX fue revolucionario por la unión entre física y matemáticas. Los cuaterniones son importantes para la relatividad, y la matemática discreta está por todas partes en la mecánica cuántica y el Modelo Estándar. U(1) describe la fuerza electromagnética, SU(2) la fuerza débil y SU(3) la fuerza nuclear fuerte. En particular, la masa de los tres bosones que median la fuerza débil condujo directamente a la teorización del mecanismo de Higgs, que finalmente también fue confirmado experimentalmente
Uno de los grandes logros del siglo XX fue haber encontrado, de manera demostrable, todos los grupos finitos, y esos grupos siguen apareciendo en la física
El texto dice que la teoría de cuerdas llevó a nuevas matemáticas, y eso es realmente interesante. Soy escéptico respecto de la teoría de cuerdas porque no hay evidencia experimental de las “dimensiones enrolladas” y me parece un parche, pero también es interesante que, al asumir que la teoría de cuerdas es correcta, hayan surgido resultados útiles tanto en física como en matemáticas
¿Se sabe si la física genera nuevas matemáticas mejor que otros campos? Por ejemplo, las computadoras también generaron muchas matemáticas nuevas, y la estadística fue impulsada por completo por presiones externas de la medicina, las ciencias sociales y los negocios
Las finanzas y la economía también produjeron muchas matemáticas en torno al modelado y la probabilidad, y hay muchos otros ejemplos similares
La aritmética en sí misma es resultado de la conservación física. Si tienes un grupo de 4 bellotas y un grupo de 3 bellotas, y los juntas sin que se caiga ninguna, deberías tener un grupo de 7 bellotas
Debido a nuestra profunda comprensión física del espacio y la causalidad, la aritmética simple resulta intuitivamente verdadera para la mayoría, quizá todos los vertebrados
Si una ardilla obtiene solo 6 bellotas después de juntarlas, debe haber una explicación causal para la diferencia cuantitativa. Otra ardilla pudo haber robado una del montón anterior, o pudo haber caído en un agujero
También hace falta “la elaboración de cerveza es absurdamente buena para crear nueva estadística”