Cómo estudiar matemáticas (2017)
(math.uh.edu)- Las matemáticas universitarias no son una materia de aplicar algoritmos a situaciones predeterminadas como en la preparatoria, sino que también exigen el criterio de elegir el método adecuado con base en definiciones, teoremas y demostraciones
- La definición no puede pasarse por alto con pura intuición; hay que entender su estructura lógica y su alcance, comprobarla con ejemplos y contraejemplos, y aprender incluso su formulación exacta
- Teorema, proposición, lema y corolario indican el papel y la importancia de un resultado, y hay que entender junto con ellos las hipótesis, la conclusión, los casos de uso y la necesidad de las hipótesis
- La demostración no es algo opcional en las matemáticas universitarias; para aplicar correctamente un teorema hay que entender primero su enunciado, ver la estrategia general y completar los pasos de detalle que fueron omitidos
- La habilidad para resolver problemas no se desarrolla solo con práctica repetitiva; también hay que intentar varias soluciones, resolver problemas al azar y cultivar el criterio para elegir qué técnica usar
En qué se diferencian las matemáticas universitarias de las de preparatoria
- En la preparatoria se dedica mucho tiempo a los algoritmos y a las técnicas de manipulación, y se espera que el estudiante las aplique en situaciones ya definidas
- Con solo ese hábito de estudio es difícil seguir el ritmo de las matemáticas universitarias, y eso puede generar frustración tanto en estudiantes como en profesores
- La primera gran diferencia en las matemáticas universitarias es que ponen mucho más énfasis en lo que los estudiantes suelen llamar teoría
- Se enuncian con precisión las definiciones y los teoremas
- Se trata el proceso lógico por el cual un teorema es válido
- También se ven ejemplos que muestran por qué una definición es apropiada y cómo se usan realmente los teoremas
- Si en la descripción de un curso aparece la palabra
rigorous, significa que las definiciones y los teoremas se enuncian con mucho cuidado y que, en vez de dar explicaciones plausibles sobre un teorema, se presentan demostraciones - Leer la teoría por encima y pasar de inmediato a los ejercicios suele causar problemas en las matemáticas universitarias
- La segunda diferencia está en cómo se manejan las técnicas y los problemas de aplicación
- En la preparatoria muchas veces se aprende una técnica a la vez
- En las matemáticas universitarias puede haber varios enfoques posibles para un mismo problema, y hay que elegir cuál conviene más
- Por eso, además de la destreza técnica, se necesita un hábito de estudio que desarrolle el criterio para resolver problemas
Cómo estudiar definiciones
- Una definición matemática es una oración que delimita con precisión un concepto y le da nombre al conectarlo con conceptos ya definidos o con conceptos no definidos como
numberoset - La intuición es necesaria, pero a nivel universitario no basta; hay que trabajar directamente con la formulación formal de la definición y con su significado
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Entender con precisión lo que dice una definición
- Una definición no es un lugar para practicar lectura rápida
- Una definición bien establecida normalmente no tiene palabras desperdiciadas ni símbolos innecesarios, y palabras pequeñas como
and,or,if ... then,for all,there isindican la estructura lógica - Primero hay que identificar qué categoría general de objetos describe la definición
- La definición de polinomio describe cierto tipo de expresión algebraica
- La definición de función continua describe cierto tipo de función
- La definición de base de un espacio vectorial describe cierto tipo de conjunto de vectores
- Después hay que interpretar qué habría que demostrar para mostrar que un objeto de esa categoría general satisface la definición
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Verificar el alcance de una definición con ejemplos
- Los ejemplos estándar son útiles, pero pueden hacer pensar que todos los ejemplos se parecerán a ellos
- Para entender una definición hay que construir ejemplos por cuenta propia
- Crear 3 ejemplos que satisfagan la definición pero que sean lo más distintos posible entre sí
- Crear 2 ejemplos que pertenezcan a la misma categoría general pero que no satisfagan la definición
- Demostrar que esos 5 ejemplos realmente funcionan como se pretende
- Estas demostraciones suelen ser cortas y seguir casi directamente la estructura de la definición
- Los ejemplos escritos por uno mismo suelen tener más valor al repasar que los del libro o los del profesor
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Memorizar la formulación exacta
- Para usar una definición hay que saber exactamente qué dice
- En un examen pueden preguntar el enunciado de una definición
- Un conocimiento sólido de las definiciones ocupa una parte importante del aprendizaje completo, y dedicar tiempo a esto no es una pérdida
Cómo trabajar con teoremas, proposiciones, lemas y corolarios
- Las definiciones realmente funcionan cuando se conectan entre sí y se relacionan con problemas generales, y eso es lo que hace la teoría
- Los nombres que reciben los resultados demostrados dan cierta idea de su importancia relativa y de cómo se pretende usarlos
- Un teorema es un resultado importante que ofrece una idea central sobre cómo se usan los conceptos para resolver problemas o sobre cómo funciona una materia, y su demostración suele ser profunda y compleja
- Una proposición es un resultado más pequeño, que a menudo conecta distintas definiciones o da otra forma de una definición, y su demostración suele ser menos compleja que la de un teorema
- Un lema es un resultado técnico usado en la demostración de un teorema; cuando el mismo truco se usa varias veces, se separa para evitar repetir la demostración
- Un corolario es una consecuencia inmediata de un teorema, que puede dar un caso particular o mostrar el interés y la importancia del teorema
- Si el autor o el profesor usó estos nombres con cuidado, pueden ayudar a entender qué es lo importante
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Entender el enunciado de un teorema
- Como los teoremas usan términos definidos, quizá haya que volver a las definiciones relacionadas para entender las palabras del teorema
- Hay que distinguir entre hipótesis y conclusión dentro de la estructura lógica del teorema
- Hay que revisar si todas las hipótesis son necesarias o si bastaría con algunas
- La mayoría de los teoremas solo pueden aplicarse cuando se cumplen todas las hipótesis
- Sobre situaciones que no satisfacen las hipótesis, el teorema no dice nada
- Las hipótesis indican qué hay que demostrar para aplicar el teorema a un caso concreto, y la conclusión indica qué afirma el teorema sobre ese caso
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Ver cómo se usa un teorema
- Hay que buscar ejemplos de problemas donde el teorema proporcione una técnica para encontrar la respuesta
- Hay que crear problemas por cuenta propia y mostrar cómo ayuda el teorema
- Escribir eso hace que el teorema quede más firme en la mente y facilita el repaso
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Verificar el papel de las hipótesis
- Es útil buscar ejemplos que muestren que, al quitar cada hipótesis, la conclusión puede volverse falsa
- Muchos teoremas de cálculo tienen como hipótesis que una función sea continua, y si esa hipótesis falta, un ejemplo puede mostrar con más claridad por qué el teorema falla
- Una lista de este tipo de ejemplos es útil, y se mencionan como ejemplo libros como
Counterexamples in AnalysisyCounterexamples in Topology - En algunos casos, una hipótesis se incluye no porque sea esencial para la conclusión, sino para simplificar una demostración compleja, así que no siempre será posible encontrar ejemplos que muestren que todas las hipótesis son indispensables
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Memorizar el enunciado exacto de un teorema
- Para usar un teorema hay que saber exactamente qué dice, sobre todo sus hipótesis
- Más que memorizar la demostración de un teorema, conviene entenderla lo suficiente como para poder reconstruirla por cuenta propia
Ajustar la estructura completa de la materia
- Las matemáticas no son una colección desordenada de técnicas, sino una forma de pensar y una materia unificada
- Parte del estudio consiste en conectar correctamente entre sí las distintas definiciones y teoremas
- Este trabajo es especialmente importante al final del semestre, pero tener presente la organización general durante el aprendizaje también ayuda a entender el contenido y su orden
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Rastrear hacia atrás
- Cuando se llega a un resultado importante, es útil revisar qué resultados anteriores se usaron en su demostración
- Si se sigue rastreando cómo esos resultados anteriores fueron probados a partir de otros más tempranos, al final se puede volver hasta las definiciones
- Sin embargo, algunos teoremas pueden darse sin demostración, como cuando en cálculo se omite la prueba del teorema del valor intermedio
- Si esta información se organiza como una genealogía de resultados, se puede ver de un vistazo cómo encaja la teoría
- En el ejemplo del teorema del valor medio, se conectan el teorema de Rolle, un lema candidato, el significado del signo de la derivada, la definición de derivada, la definición de máximo y mínimo, la definición de intervalo cerrado, el axioma de la cota superior mínima y la definición de continuidad
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Hacer un esquema de definiciones y teoremas
- Si se rastrea hacia atrás desde cada teorema principal hasta las definiciones, se puede ver qué resultados hacen falta antes que otros
- Algunas definiciones difícilmente pueden tener sentido antes de que se demuestre cierto teorema
- La dimensión de un espacio vectorial solo puede recibir ese nombre cuando se sabe que el número del que se habla es único, y para eso hace falta un teorema
- Un esquema de definiciones y teoremas organiza el material para que cada resultado se introduzca antes de que sea necesario en una demostración
- Este esquema debe incluir la formulación exacta de todas las definiciones y teoremas, junto con un bosquejo de la demostración de cada teorema
- El bosquejo de la demostración muestra qué resultados anteriores se usaron y cómo se combinaron, y normalmente omite pasos rutinarios como simplificaciones algebraicas o verificación de hipótesis
- Este tipo de esquema es una buena forma de empezar a repasar y también sirve como material de consulta más adelante
Cómo entender demostraciones
- Las matemáticas a nivel universitario exigen seguir muchas demostraciones, a diferencia de las matemáticas de preparatoria, donde las demostraciones podían estar ausentes o ser opcionales
- Seguir una demostración es una tarea poco familiar y difícil, así que puede no ser popular
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Conocer primero el enunciado del teorema
- Si se confunden las hipótesis con la conclusión, no se sabrá qué puede asumirse y a qué hay que llegar
- El primer paso para entender una demostración es saber exactamente qué afirma el teorema en cuestión
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Captar el panorama general de la demostración
- Primero hay que ver qué resultados anteriores se usan y cuál es la estrategia básica de la demostración
- En la primera pasada conviene omitir los detalles para no perder de vista la dirección general
- La mayoría de los teoremas tienen forma de implicación, y la estructura de demostración más sencilla es asumir las hipótesis y enlazar resultados anteriores hasta llegar a la conclusión
- También pueden usarse como estrategia la demostración por contraposición, la reducción al absurdo, la inducción matemática o una forma del axioma de elección como el lema de Zorn
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Completar los pasos de detalle omitidos
- Después de entender la estrategia, hay que concentrarse en la táctica
- Las explicaciones de demostraciones en los libros de licenciatura y, de hecho, en casi todas las explicaciones de nivel más alto omiten muchos pasos rutinarios
- Si una expresión fue simplificada, hay que completar los cálculos entre líneas
- Si se citó y aplicó un teorema, hay que comprobar que todas sus hipótesis realmente se cumplen
- Si alguna parte quedó a cargo del lector, hay que completarla personalmente
- Al terminar, hay que saber por qué cada paso se sigue del anterior, aunque no sea necesario saber exactamente cómo se le ocurrió al autor esa demostración
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Por qué hay que aprender demostraciones
- Para un estudiante de matemáticas, la respuesta es clara: gran parte de las matemáticas está hecha de demostraciones
- Incluso para quien quiere aplicar las matemáticas, las demostraciones son necesarias
- Es muy probable que las aplicaciones en otros campos no sean exactamente iguales a los problemas de aplicación de un libro de texto de matemáticas
- Un curso de matemáticas no puede cubrir todas las aplicaciones conocidas, y se dice que en la literatura matemática aparecen cerca de 500 artículos de aplicación cada dos semanas
- Hay que conocer las hipótesis de un teorema para no aplicarlo mal donde no corresponde
- Cuando hace falta, conocer la demostración ayuda a ver cómo rodear una hipótesis que falla
- Una de las grandes trampas de la matemática aplicada es ignorar por conveniencia las hipótesis de un modelo matemático
- Este riesgo es especialmente común cuando personas no matemáticas hacen matemática aplicada
- Cuando matemáticos hacen matemática aplicada, es más probable que caigan en la trampa de construir modelos sin relación con la realidad
- Muchas aplicaciones consisten en reconocer, bajo la terminología de otra disciplina, definiciones de conceptos matemáticos
- Las demostraciones pueden mostrar con claridad diferencias sutiles entre definiciones y formas inesperadas de equivalencia
- En matemáticas, la demostración es la prueba final de validez
- Una vez aceptado el proceso lógico de una demostración, observaciones posteriores o cambios de moda no alteran la validez del resultado matemático
- Si a las matemáticas se les quitan las demostraciones, queda algo gravemente incompleto, y ya no se puede decir que sea matemáticas
Cómo desarrollar técnicas de resolución de problemas
- Aproximadamente entre un tercio y la mitad de un curso de matemáticas trata de técnicas
- Las técnicas son el proceso por el cual un teorema deja de quedarse en una forma general y pasa a funcionar en situaciones concretas
- En algunos casos, la propia demostración da una construcción explícita, así que basta con seguirla en casos especiales
- En casos como las técnicas de integración, donde pueden aplicarse varios enfoques y varios trucos a un mismo problema, hace falta criterio
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Leer primero los teoremas y los ejemplos
- Tratar la resolución de problemas como si fuera un proceso independiente del resto del curso hace más difícil aprender
- A menudo los problemas siguen patrones que ya aparecen explícitamente en las demostraciones de los teoremas principales anteriores
- Conocer de antemano el patrón general es más fácil que descubrirlo solo por ensayo y error
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Resolver suficientes problemas para dominar una técnica
- Hay que resolver suficientes problemas como para que una técnica específica quede firmemente asentada en la mente
- La responsabilidad final por la propia formación recae en el estudiante, así que si hace falta más práctica que la de las tareas entregables, hay que buscarla por cuenta propia
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Resolver el mismo problema de varias maneras
- Al practicar una técnica, es fácil empezar a pensar que un problema solo tiene una forma de abordarse
- A veces un enfoque es sencillo y otro es complicado, pero en muchos casos varias soluciones funcionan igual de bien
- Un enfoque complicado sirve además como práctica para resolver problemas que requieren varios pasos y varias técnicas
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Armar conjuntos aleatorios de problemas
- Una dificultad al aprender varias técnicas es que hay que decidir qué técnica usar antes de empezar a resolver
- Los ejercicios de los libros de texto suelen agruparse para usar la técnica aprendida justo antes, y eso puede aumentar esta dificultad
- Si se eligen 2 o 3 problemas de cada conjunto, se escriben en fichas de 3×5 y luego se mezclan, se puede crear un conjunto de práctica para decidir qué técnica conviene usar
Hábitos finales de estudio
- Las oraciones matemáticas tienen muy poca redundancia, y las matemáticas son una materia muy acumulativa
- Un concepto que se introduce una vez rara vez se repite, y más adelante se supone que ya se conoce
- Hay que apartar suficiente tiempo para leer el libro antes de resolver problemas
- La mayoría de los estudiantes no escribe lo bastante rápido como para tomar en clase apuntes completos y fáciles de leer
- Es útil volver a ver los apuntes justo después de clase y preparar una versión limpia y terminada donde las definiciones y los teoremas queden escritos con claridad
- Este proceso también ayuda a identificar las partes que no se entendieron y a preguntarle a tiempo al profesor
- No hay que quedarse atrás
- Las matemáticas exigen precisión, hábitos de pensamiento claros y práctica
- Estudiar de golpe justo antes del examen no solo suele dar malos resultados, sino que también refuerza el mal hábito de hacer matemáticas con memorización en vez de comprensión
- Dormir lo suficiente y tener la mente despejada ayuda más que memorizar a última hora
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Opiniones de Hacker News
Tengo un doctorado en matemáticas y he publicado varios artículos, pero mi recomendación se resume en un solo metaprincipio: hay que disfrutar las matemáticas
Es parecido a lo que decía Benjamin Finegold: el secreto del ajedrez es disfrutar cada jugada. En lo personal, nunca tuve grandes dificultades con las matemáticas, y creo que fue porque de verdad me encantaba el acto mismo de escribir símbolos, aprender teorías nuevas y crear cosas por mi cuenta
No todo el mundo disfruta las matemáticas desde el principio, pero creo que al menos la mitad de esas personas simplemente no encontró un camino claro para disfrutarlas. Las matemáticas de secundaria casi nunca se enseñan como una exploración artística y lógica fascinante
Por eso conviene encontrar un mentor que ya haya encontrado ese camino y pedirle que te muestre cómo disfrutar las matemáticas. De hecho, he enseñado a muchos estudiantes que odiaban las matemáticas y las sentían difíciles, y después de algunas sesiones solía verles esa mirada de “¿esto está bastante bueno, no?”
Antes de aplicar lógica, métodos de estudio o técnicas aburridas de productividad, primero hay que encontrar una forma de disfrutarlas
Las ven como tragarse una medicina amarga o como entrenarse en una técnica compleja y rígida, así que también enseñan de forma torpe y autoritaria, lo que vuelve a los estudiantes pasivos o rebeldes
Hace poco el gobierno de Manitoba, en Canadá, cambió las reglas para que a los profesores de matemáticas no se les exija cursar materias universitarias de matemáticas, y el hecho de que las facultades de educación estén impulsando esto con tanta fuerza muestra, creo yo, cuánto odian las matemáticas los profesores de matemáticas
Mucha gente confunde que algo le guste con sentirse bien porque se le da bien. Entonces, cuando un área deja de resolverse de manera natural, más adelante cambian de carrera y se van a un lugar donde sus fortalezas sí funcionan
El problema es rendirse demasiado pronto, y para evitarlo es importante construir confianza al inicio. Si uno siente que no puede, es casi imposible disfrutarlo, así que un dominio básico se vuelve el primer paso hacia el disfrute y el éxito posterior
No tengo un doctorado, pero he dado bastantes clases particulares de matemáticas a estudiantes jóvenes, y siempre estoy buscando nuevas formas de fomentar la sensación de que las matemáticas son divertidas y maravillosas
Para muchos estudiantes, las matemáticas están profundamente arraigadas como un sufrimiento casi sin sentido, y también están fuertemente asociadas con la insuficiencia o la vergüenza, así que no es fácil
¿Cómo rayos puedo lograr disfrutar las matemáticas por mi cuenta?
En la licenciatura, mi secreto para todas las materias de matemáticas fue resolver problemas
Resolví todos los problemas al final de cada capítulo del libro de texto, y en la biblioteca buscaba otros libros de texto y también resolvía todos los problemas al final de sus capítulos
En el posgrado lo llevé más lejos: reescribía todos los capítulos del libro de texto rellenando los pasos intermedios de las demostraciones. Completaba incluso las partes que el autor saltaba con “por lo tanto…” u “obviamente…”
Veinte años después, para mi yo actual que los lee sin contexto, son completamente impenetrables
Practiqué repetidamente las definiciones básicas y las repasé con repetición espaciada; además, el método de apuntes Cornell me resultó cómodo para organizar y repasar durante las clases
Llevaba un diario de pensamiento donde registraba los problemas que no había podido resolver o que sí había resuelto, por qué me había trabado y qué había funcionado; esta metacognición fue útil para transferir lo aprendido a problemas nuevos
También ayudó mucho un grupo de estudio en el que nos explicábamos mucho entre nosotros
No creo que sea una estrategia óptima para los humanos. Hay que crear materiales de matemáticas que ayuden a los estudiantes a aprender de manera analítica y conceptual
Como se aprende biología, por ejemplo
Aunque no tengas preguntas, puedes hacer la tarea en ese horario y escuchar las preguntas de otras personas
No solo aprenderás más, sino que también aumenta la posibilidad de que el ayudante note tu esfuerzo y te mire con mejores ojos en puntos parciales o en casos límite de calificación
Por ejemplo, veo imposible resolver todos los problemas de CLRS. Un profesor nos asignó un problema sobre hashing universal, y solo obtener la intuición clave para la demostración correcta me llevó varias horas
Con tantas prioridades compitiendo, no imagino cómo alguien podría resolver todos los problemas, salvo quizá unas pocas personas realmente talentosas
Al pasar de la escuela a la universidad, lo primero a lo que hay que acostumbrarse es a estar completamente perdido y sentirse derrotado
Al final de la secundaria podía resolverlo todo, terminaba los exámenes del IB con mucho tiempo de sobra, y hacía meses que no veía un problema del plan de estudios formal que no pudiera resolver
Al llegar a la universidad, aparecían problemas en los que ni siquiera entendía qué relación tenían con la clase que acababa de escuchar. Era la sensación de “asistí a esta clase y se supone que con esa información debo resolver este problema, pero ni siquiera entiendo qué significa el problema”
El aprendizaje ocurre precisamente en ese proceso frustrante de darse contra la pared. Lees, lees más, llenas tus apuntes de derivaciones inútiles, y al final la forma empieza a aparecer
En la universidad hay tanto material que nadie puede explicártelo todo dentro del tiempo limitado. El estudiante tiene que captar las ideas centrales y completar el resto por su cuenta dedicándole tiempo
En la universidad a la que fui había un curso de repaso de matemáticas antes del semestre, y empezaba desde la suma de números naturales. En dos días se repasaba todo lo aprendido durante 13 años de escuela
Fue una forma brutal de reajustar expectativas, pero dejó claro para todos que esto ya no era la escuela y que se necesitaban otro tipo de trabajo y concentración
Enlaces relacionados:
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - marzo de 2021, 73 comentarios
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - febrero de 2018, 148 comentarios
Bono: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - mayo de 2020, 31 comentarios
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - enero de 2019, 227 comentarios
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - marzo de 2018, 211 comentarios
Curiosamente, esta guía dice que la comprensión intuitiva sirve para las matemáticas de nivel escolar, pero no para las de nivel universitario
En cambio, David Bessis sostiene en su libro reciente “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity” que la intuición es el “secreto” para entender las matemáticas en todos los niveles
No sé qué conclusión sacar de esto, pero según mi vieja experiencia con matemáticas universitarias, la intuición era una herramienta poderosa para desarrollar la comprensión de la materia
Cuando un estudiante de secundaria ve un problema de matemáticas de secundaria, extrae su intuición para resolverlo a partir de toda su experiencia en matemáticas K-12. Al pasar a matemáticas de pregrado, la experiencia previa ya no es suficiente y eso se vuelve difícil
Se exigen problemas más abstractos y un rigor mucho mayor, y muchas veces los problemas operan en niveles más altos de la taxonomía de Bloom [1] que las matemáticas de secundaria. Para un estudiante de secundaria promedio, es un ámbito en el que casi no tiene experiencia, así que la intuición no se forma bien
Con más experiencia, la intuición vuelve en los últimos años de pregrado, en posgrado y después, pero es una intuición de un tipo esencialmente distinto. En secundaria había mucha intuición visual y geométrica; en matemáticas avanzadas se convierte en intuición sobre abstracciones y sobre las herramientas para atacar problemas
No es diferente de cuando un programador mira un problema y dice: “hace falta un hash map, y entonces este problema se vuelve trivial”
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
Es porque en la vida cotidiana tenemos cierta sensibilidad hacia objetos geométricos o cosas como curvas de cálculo en dos dimensiones
En el nivel universitario, los objetos son más abstractos, así que la intuición cotidiana puede dejar de aplicar. Puede surgir un nuevo tipo de intuición, pero requiere dedicar mucho tiempo a procedimientos formales y cálculos, reflexionar sobre ese tiempo e intentar activamente crear nuevas metáforas que conduzcan a la intuición
Por ejemplo, todavía recuerdo a un profesor que usó Ice-9 de Cat's Cradle como metáfora para explicar cómo, en funciones holomorfas del plano complejo, cuando se demuestra una propiedad local, esa propiedad también resulta cierta para el comportamiento global
No significa que no sea necesaria, sino que no es una condición suficiente
En palabras de Tao, el valor de la intuición aumenta mucho más en la etapa posrigurosa, después de haber desarrollado suficientemente la habilidad técnica
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessis de hecho también da ejemplos en los que la intuición y la técnica se complementan muy bien
Me impresionó la cita sobre Sitzfleisch tomada de The Lost Cafe de Gian-Carlo Rota
El término alemán Sitzfleisch significa la capacidad de pasar horas interminables frente al escritorio y sacar adelante trabajo arduo, y se dice que los matemáticos lo consideran una mejor medida del éxito que las atractivas definiciones de talento que a veces proponen los psicólogos
Pero Stan Ulam resistió sin Sitzfleisch. Después de sufrir encefalitis, generaba ideas con su imaginación intacta y pasó a apoyarse en el Sitzfleisch de otros para el soporte técnico
Gracias a la belleza de sus intuiciones y al potencial de sus propuestas, jóvenes colaboradores le prestaban con gusto su tiempo, incluso a veces asumiendo el riesgo de desperdiciarlo
La fuente es una cita encontrada aquí: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
En mi caso, sentí que llegué a un nivel completamente nuevo cuando intenté hacer todas las demostraciones por mi cuenta.
Antes, después de leer un tema varias veces, iba mirando las definiciones y demostraciones una por una: primero intentaba recordar el enunciado y luego trataba de demostrarlo yo mismo. Al hacerlo, se lograba indirectamente casi todo lo que menciona el texto.
Lo interesante es que, después de hacer eso, la mayoría de los ejercicios que antes parecían complicados se convertían en problemas que podía resolver de inmediato. Era casi como un truco para no tener que hacer ejercicios.
Cuando enseñaba distintos niveles en la universidad, cada año preguntaba si alguien había intentado reconstruir en casa la demostración de un teorema, y nadie lo había hecho. Cuando les decía que deberían hacerlo, siempre se sorprendían.
A este artículo le falta la parte meta de estudiar matemáticas.
La reflexión creativa sobre cómo aprende uno empieza a rendir de verdad hacia la mitad de la universidad.
La relación con las convenciones se vuelve tan importante como la relación con las técnicas. Para entender el “todo” de algo, también hay que entender qué sesgos dieron forma a la manera en que se está presentando. Probablemente vas a querer quitarle esos sesgos.
Da igual si quieres cambiar las matemáticas o simplemente aprenderlas. La actitud pasiva de intentar hacer lo que otros quieren es un camino a la frustración.
Vi MathAcademy.com en HN y me registré; mi experiencia reciente ha sido una sorpresa muy grata.
Ahora, en mis 50, quería volver a aprender las matemáticas de secundaria de hace 35 años, así que avancé rápido por la serie Foundations. Actualmente voy más o menos por la mitad de Foundations 3, y en 9 semanas, estudiando 2 horas al día, acumulé unos 9000 XP.
En 2025 planeo probar entre 1 y 3 cursos de nivel universitario a un ritmo más lento.
Como autodidacta, encajó muy bien con mi forma de aprender. Es entretenido, medible, ajusta la dificultad, no me topo con “paredes” ni con “dependencias no satisfechas”, y las explicaciones de los problemas que no pude resolver son muy completas.
Mi mayor descubrimiento fue que se puede aprender sin tomar muchas notas para repasar o memorizar. La experiencia y la repetición espaciada fueron suficientes. El descanso de Navidad será la prueba para ver si el aprendizaje realmente se consolidó.
9000 XP en 9 semanas es un ritmo impresionante.
La frase “no te quedes atrás” me pegó fuerte.
Yo fui uno de esos estudiantes perezosos de licenciatura en matemáticas que tuvo problemas con algunos temas de primer año, pero no pidió ayuda ni dedicó suficiente tiempo, y al final nunca se recuperó.
También creo que la enseñanza fue muy mala en muchas partes. Cosas del estilo “simplemente créanlo” o “esto es evidente, así que les dejo completar los detalles”; para alguien de 18 años, sinceramente, es lo peor.
Un sistema que te deja sacar 30% en “Análisis 1” y aun así te mete directo a “Análisis 2” el siguiente semestre, esperando que te pongas las pilas solo, no me parece un sistema adecuado.
Mi tiempo estudiando matemáticas en la universidad fue realmente miserable, y quizá debí haber hecho algo más aplicado, como ingeniería o ciencias de la computación.
Alguien dijo: “si en la escuela te gusta biología, estudia psicología en la universidad; si te gusta química, estudia biología; si te gusta física, estudia química; si te gusta matemáticas, estudia física; si te gusta filosofía, estudia matemáticas”. Debí haberle hecho caso.
Dicho eso, una vez que eres un adulto plenamente maduro, siempre puedes volver a mirar las matemáticas sin límites de tiempo absurdos ni presión por las calificaciones.
Creo que las matemáticas no se llevan bien con la presión del tiempo. Las matemáticas consisten en convivir mucho tiempo con ideas, jugar con ellas, asumir riesgos y hacer conjeturas tontas. En esencia son juego, y la presión del tiempo no ayuda a nadie.
Si te interesaban, siempre puedes volver, e incluso puedes retomar clases si quieres. También hay muchos buenos libros para autodidactas y comunidades para aprender acompañado.
Pero si quieres llegar al fondo de las cosas, entenderlo todo y resolver las preguntas fundamentales de la ciencia, quizá quieras invertirlo.
Si te gustaba la biología, estudia química, porque los procesos de la vida son procesos electroquímicos; si te gustaba la química, estudia física, porque las moléculas y los átomos, su formación y sus reacciones, son procesos físicos, y así sucesivamente.