Demostración visual de `a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)`

 (futilitycloset.com)
1 puntos por GN⁺ 2024-12-16 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • Esta es una breve nota matemática que confirma con un diagrama la fórmula de la diferencia de cuadrados a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • La idea central es la identidad de factorización que convierte la diferencia de dos cuadrados en el producto de la suma y la diferencia
  • El diagrama muestra la correspondencia por la cual el área de a^2 – b^2 resulta igual a (a + b)(a – b)
  • Como dijo Sophie Germain, se enfatiza que el álgebra y la geometría pueden representar la misma relación de maneras distintas
  • No es solo una fórmula para memorizar con símbolos, sino una identidad que puede comprobarse de forma intuitiva mediante una reordenación de áreas

Ver la diferencia de cuadrados con un diagrama

  • El material visual contiene una demostración visual de a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • Lo que se demuestra es la identidad que expresa la diferencia de cuadrados como el producto de la suma y la diferencia de dos términos

La conexión entre álgebra y geometría

  • Sophie Germain dijo: “Se ha dicho que el álgebra no es más que geometría escrita, y que la geometría no es más que álgebra figurada”
  • La cita se incluye en el contexto de mostrar que una fórmula y un diagrama pueden representar la misma relación de maneras distintas

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2024-12-16
Opiniones de Hacker News

  • Si te gusta este tipo de cosas, hay un libro que reúne solo demostraciones visuales https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., y Wikipedia también tiene una entrada relacionada https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Hace unos años, junto con mi director de doctorado y un colega, redibujamos varias de ellas en LaTeX https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor..., y teníamos planeado imprimirlas como pósters para un evento del Día de Pi, pero el evento no pudo realizarse por la pandemia

    • Este trabajo es realmente excelente. También valdría la pena considerar incluir fuentes o créditos en el PDF
      Sería bueno que, aunque la gente descargue el archivo y luego olvide de dónde lo sacó, se pueda dar el crédito donde corresponde

  • Me recuerda a este video sobre por qué hay que tener cuidado al ver demostraciones visuales: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Ahí también aparece una “demostración” de que π es exactamente 4. En este caso también hay una suposición no justificada, como alguien señaló más abajo, y como mínimo se asume b < a

    • En 9.º grado, mi profesor de geometría insistía mucho en que nunca debíamos asumir longitudes ni ángulos que no estuvieran explicitados en la figura
      En particular, decía que no había que pensar que la figura estaba dibujada a escala, y que aunque un cuadrilátero pareciera un cuadrado, si no estaba escrito que lo era o no había suficiente información para determinarlo, había que tratarlo como un cuadrilátero desconocido. En los exámenes decía que, si no lo hacíamos, “quitaría más puntos de los que valía el problema”, y de hecho puso una figura que parecía un cometa, pero con condiciones de ángulos que solo eran posibles en un paralelogramo que no era cometa, y les descontó puntos extra a los estudiantes que la confundieron con un cometa
    • El problema de esa demostración es simplemente asumir que el valor en el límite es igual al valor en el infinito
      Si definimos pi(n) como una función sobre N ∪ {inf}, donde en el paso n del proceso da el valor que tiene “pi” y pi(inf) se define como el valor en el círculo real, entonces simplemente se trata de una función para la que lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf). Para todo n finito es 4, y en el infinito es 3.1415...
      También se podría reformular para no usar “infinito”, pero pensarlo así es lo más claro. No es muy distinto de la función delta de Kronecker delta(t), que vale 1 en t=0 y 0 en cualquier otro punto. lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
    • b < a se puede asumir sin pérdida de generalidad
    • Sí, pero eso es porque depende de repetir infinitamente el ajuste del perímetro. Reacomodar unas cuantas cajas aquí no involucra el infinito
    • Si no te molestan los rectángulos de área negativa, sigue siendo válido

  • Aquí hay una demostración visual del teorema de Pitágoras: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    El teorema de Pitágoras no me resulta inmediatamente intuitivo, así que esta me parece mucho más “útil”. La demostración del post original parece bastante redundante, porque se sigue directamente de a(b+c)=ab+ac. Construir intuición sobre la propiedad distributiva de la multiplicación es muy importante en la educación matemática, pero siento que la intuición sobre por qué es cierta se construye mejor sin apoyarse en la geometría

    • Alguna vez estuve realmente convencido de que, si trisecabas una línea, también podías trazar líneas desde un punto para trisecar un ángulo de 60 grados en tres ángulos de 20 grados, pero en realidad no era así
    • Esa demostración visual no parece completa. También habría que demostrar que el cuadrilátero de la figura de la derecha es un cuadrado
    • No me parece más redundante que el teorema de Pitágoras. Al fin y al cabo, también se podría decir que el teorema de Pitágoras se sigue directamente de la definición del producto interno

  • Hay que tener cuidado. Si crees en las “demostraciones” visuales, podrías terminar creyendo algo como esto: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Eso parece hecho para engañar
      Si alguien dibujara una figura mientras piensa el problema, en un dibujo así habría mostrado la intención de que los dos ángulos fueran iguales, o bien habría dejado claro que una pendiente es 8/3 y la otra 5/2, por lo que son evidentemente distintas
      Una buena demostración visual solo expresa álgebra real con líneas y figuras en lugar de símbolos, y el resultado, en cierto sentido, debería seguir siendo algebraico. Lo mismo aplica al ejemplo enlazado o a la famosa demostración de Pitágoras. Si sacas una regla y empiezas a medir, ya te perdiste. Todos los resultados deben ser algebraicos, no visuales, aunque está bien expresar esa álgebra con dibujos en vez de letras
    • No entiendo qué significa “terminar creyendo”. ¿Estás insinuando que el ejemplo presentado no es verdadero? Es totalmente verdadero
      Para quien lo ve, al principio puede ser confuso. Es difícil distinguir la diferencia entre 3/8 y 2/5, y se asume que los dos triángulos tienen la misma pendiente. Pero esa demostración visual en realidad muestra honestamente que no son iguales

  • Un enfoque similar también sirve para el cálculo mental relacionado con cuadrados. Por ejemplo, 1005² se obtiene tomando 1000², sumando dos bloques de 5×1000 y agregando el pequeño bloque de 5², así que da 1,010,025
    En cambio, 995² se obtiene restando esos mismos dos bloques de 5×1000 a 1000² y agregando 5², así que da 990,025

  • Como alguien flojo para la geometría pero bueno para el álgebra, esto me parece realmente sorprendente. Ni siquiera empiezo a entender cómo esta imagen demuestra que la fórmula se cumple, incluso para estas cajas específicas
    Pero sí se siente muy claramente la relación de la multiplicación que hace que el álgebra funcione. No digo que el ejemplo sea malo o bueno, sino que me sorprende lo distinto que puede pensar la gente

    • En la primera imagen de la izquierda se ve que el cuadrado grande tiene ancho y alto de a, así que su área es a×a, es decir, a².
      El cuadrado pequeño dentro tiene ancho y alto de b, así que su área es b². En esencia, se está quitando el cuadrado pequeño del cuadrado grande, por lo que queda a² - b². En la última imagen de la derecha, un lado mide (a-b) y el lado superior mide (a+b), así que el área es (a-b)(a+b). Por lo tanto, a² - b² = (a + b)(a - b), y los pasos intermedios muestran visualmente el proceso de trasladar el área
    • Me da curiosidad en qué punto de las cinco imágenes se pierde la comprensión
    • ¿Qué parte cuesta entender?

  • Eso parece mostrar solo que existen ciertos a y b para los que la igualdad se cumple. No muestra que se cumpla para todos los a y b

    • Además de la condición de que sean positivos, ¿qué restricciones exige esta demostración sobre a y b?
    • ¿De verdad? También es cierto si a=0 o b=0

  • Futility Closet tenía un podcast encantador e interesante. Lo extraño. Aun así, me alegra que todavía escriba en el blog

    • Disfrutaba muchísimo escuchar ese podcast. Todavía no encuentro algo que lo reemplace

  • Disfruto ver algunos videos de Mathologer en YouTube, y suelen incluir excelentes demostraciones visuales
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (suma de dos cuadrados de Fermat)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (teorema de Ptolomeo)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (números irracionales)

  • También vale la pena ver https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html
    Tiene muchas visualizaciones geniales, entre ellas mi demostración favorita del teorema de Pitágoras
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...