- El problema del cuadrado inscrito, planteado por Toeplitz en 1911, es un problema abierto que pregunta si toda curva cerrada continua necesariamente tiene cuatro vértices de un cuadrado; una versión más sencilla con rectángulos puede abordarse con topología
- Un rectángulo aparece cuando dos pares de puntos tienen el mismo punto medio y la misma distancia; por eso, si se envían todos los pares de puntos de la curva a puntos en un espacio tridimensional, las autointersecciones corresponden a rectángulos inscritos
- El conjunto de todos los pares de puntos sin orden se convierte de manera natural en una banda de Möbius, y los pares que eligen dos veces el mismo punto forman su borde, ubicado en el plano donde está la curva original
- Si esta banda de Möbius se refleja debajo del plano y se pega a la original, se obtiene una botella de Klein; la propiedad de que no puede representarse en 3D sin autointersecciones es la clave de la demostración de la existencia de rectángulos
- El problema del cuadrado es más difícil porque también hay que rastrear el ángulo de los pares de puntos; a diferencia del resultado de Joshua Andrew Lobb de 2020 para curvas suaves, las curvas irregulares tipo fractal siguen siendo el gran obstáculo
El problema del cuadrado inscrito y el problema más sencillo del rectángulo
- Una curva cerrada continua puede verse como un lazo que se puede dibujar sin levantar el lápiz y que vuelve al punto inicial
- Si cuatro puntos sobre la curva son los vértices de un cuadrado, ese cuadrado es un cuadrado inscrito en la curva
- Si toda curva cerrada continua necesariamente tiene un cuadrado inscrito es un problema abierto planteado por Toeplitz en 1911, normalmente llamado inscribed square problem
- Una pregunta un paso más sencilla es si todo lazo cerrado necesariamente tiene un rectángulo inscrito, y esta demostración se basa en una idea de Herbert Vaughan
- En lugar de buscar aplicaciones conocidas, el enfoque está en mostrar cómo se construye una estructura de resolución de problemas al resolver un acertijo puramente matemático
Convertir rectángulos en autointersecciones de una aplicación 3D
- La condición para que cuatro puntos formen un rectángulo puede reformularse como la condición de que dos segmentos tengan el mismo punto medio y la misma longitud
- Si dos segmentos tienen el mismo centro y la misma longitud, sus cuatro extremos forman un rectángulo
- Para cada par de puntos sobre la curva se registra la siguiente información
- Las coordenadas x, y del punto medio del par
- La distancia d entre los dos puntos
- Estos tres valores se convierten en un punto del espacio tridimensional, y se obtiene una aplicación continua desde todos los pares de puntos de la curva hacia el espacio 3D
- Si dos pares de puntos distintos van al mismo punto 3D, entonces esos dos pares tienen el mismo punto medio y la misma distancia, por lo que forman un rectángulo inscrito
- Todos los puntos de salida posibles forman una superficie compleja dentro del espacio tridimensional, y las autointersecciones de esa superficie corresponden a rectángulos inscritos
- En el caso de un círculo, muchos pares de puntos se concentran en un punto en la cima de una cúpula, y el círculo tiene infinitos rectángulos inscritos
- Si se deforma hasta una elipse, varias intersecciones aparecen como una línea vertical
- Aquí, autointersección no significa la forma aparente, sino “una situación en la que pares de puntos distintos van a la misma salida”
Cómo el espacio de pares de puntos se convierte en una banda de Möbius
- Si se asigna a cada punto del lazo una coordenada de 0 a 1, 0 y 1 representan el mismo punto del lazo, así que hay que pegar ambos extremos
- Los pares de puntos ordenados pueden representarse como un punto del cuadrado unitario
- La coordenada x es el primer punto
- La coordenada y es el segundo punto
- Si se pegan, respectivamente, los lados izquierdo y derecho, y los lados superior e inferior, la estructura completa se convierte en un toro
- En la demostración para rectángulos, el orden del par de puntos no importa
- Si a,b y b,a se consideran distintos, aparece una duplicación sin sentido en la condición de tener el mismo punto medio y la misma distancia
- Por lo tanto, x,y e y,x deben considerarse el mismo par de puntos
- Si se dobla el cuadrado unitario a lo largo de la diagonal y se corta y pega reflejando las identificaciones de los bordes, el resultado es una banda de Möbius
- Esta banda de Möbius no es una forma arbitraria de juguete, sino un espacio natural que representa de manera continua todos los pares de puntos sin orden sobre el lazo
- Cada punto de la banda corresponde a un par de puntos sin orden sobre el lazo
- Cada par de puntos sin orden sobre el lazo también corresponde a un punto de la banda
- Si se mueve un lado un poco, el otro también se mueve solo un poco, sin saltos repentinos
- El borde rojo que viene de la diagonal x,x es el conjunto de todos los pares que eligen dos veces el mismo punto y, en la aplicación 3D anterior, debe ir al plano xy donde está el lazo original
Qué papel cumple la botella de Klein en la demostración
- Si se considera una aplicación continua desde la banda de Möbius hacia una superficie 3D, el borde de la banda debe estar en el plano donde está el lazo original
- Al principio parece necesaria la intuición de que “no se puede poner una banda de Möbius en 3D sin autointersecciones dejando su borde en un plano”, pero esa frase no es cierta tal cual
- El matemático Asimov construyó una forma de embeber una banda de Möbius en 3D de modo que su borde sea un círculo sobre el plano
- En esa construcción, el interior de la banda pasa tanto por encima como por debajo del círculo
- La superficie creada a partir de pares de puntos del lazo usa la distancia d como altura, por lo que todos los puntos interiores están por encima del plano xy
- Por lo tanto, la condición necesaria toma la forma de “no se puede poner una banda de Möbius sin autointersecciones con el borde en un plano y el interior por encima del plano”
- Si se refleja esta superficie debajo del plano y luego se pega a la superficie original a lo largo del borde, se obtiene una superficie cerrada formada por dos bandas de Möbius pegadas
- La superficie que resulta de pegar los bordes de dos bandas de Möbius puede verse como una botella de Klein
- La botella de Klein es una superficie no orientable representativa, en la que no se pueden separar claramente el interior y el exterior
- En 3D no puede representarse correctamente sin autointersecciones, mientras que en dimensiones más altas puede existir de manera más cómoda
- Como la botella de Klein no puede evitar autointersecciones en 3D, la superficie de pares de puntos del lazo y su reflejo también deben tener autointersecciones
- Esa autointersección significa que dos pares de puntos distintos tienen el mismo punto medio y la misma distancia, y por lo tanto existe un rectángulo inscrito
El problema del cuadrado, la suavidad y el papel de la topología
- Para obtener un cuadrado, no solo hay que rastrear el punto medio y la longitud de los dos pares de puntos, sino también el ángulo del segmento
- Si dos segmentos tienen el mismo punto medio y la misma longitud, y sus ángulos difieren en 90 grados, forman un cuadrado
- Como la información aumenta a cuatro valores, resulta natural pensar en embebimientos de la banda de Möbius y la botella de Klein en un espacio 4D
- En 2020, Joshua Andrew Lobb extendió este resultado para curvas suaves
- En curvas suaves, la existencia de cuadrados ya era conocida
- El resultado de Lobb muestra que, en este caso particular, se pueden encontrar rectángulos de todas las relaciones de aspecto posibles
- En esa discusión aparecen embebimientos de la banda de Möbius y la botella de Klein dentro de cierto espacio 4D
- En las curvas suaves, cada punto tiene una tangente bien definida
- Cuando los pares de puntos se acercan entre sí, el punto medio y la distancia tienen un comportamiento límite limpio
- Incluso al rastrear el ángulo, a medida que dos puntos se acercan, el ángulo del segmento se aproxima al ángulo de la tangente en ese punto
- En curvas irregulares tipo fractal, el ángulo puede no tener ese comportamiento límite
- La razón por la que el problema del cuadrado inscrito es difícil es que debe incluir todas las curvas irregulares
- En topología, formas como la banda de Möbius y la botella de Klein no funcionan como objetos extraños en sí mismos, sino como herramientas lógicas para decidir qué es posible o imposible bajo correspondencias continuas
1 comentarios
Comentarios de Hacker News
Este video me encantó. Hice un doctorado en topología algebraica y estudié bastante topología, así que el contenido me resultaba familiar, pero no sé si habría podido explicar estos conceptos con tanta claridad, o conectar el mundo abstruso de la topología con un problema “práctico” de esta manera.
Después del doctorado pasé por varios trabajos y ahora trabajo en IA como ingeniero de software de investigación. Muchas veces extraño la matemática pura, y a veces me arrepiento un poco de haber dejado la academia, pero volver a la matemática académica parece casi imposible. Los videos de 3B1B siempre me recuerdan que la matemática está abierta a todos, y que uno puede disfrutarla, aprenderla y descubrir cosas nuevas aunque no esté empleado como matemático en una universidad.
Probablemente haya que trabajar como matemático profesional para estar en la frontera de investigación de un área específica, pero fuera de eso, creo que la matemática es accesible para cualquiera con suficiente interés y pasión, porque sus fundamentos no cambian.
También extraño mis antiguas carreras y aquellos tiempos de juventud en la universidad.
3B1B muestra lo que es posible en la educación matemática. Me entusiasma el futuro de este campo, pero me da pena que probablemente tarde mucho en incorporarse este enfoque a la enseñanza de la matemática.
Además, nosotros aprendemos viendo este video porque queremos aprender. En el momento en que presionamos reproducir, ya estamos involucrados con el tema. En cambio, en una clase de secundaria o universidad, la mayoría no está ahí porque quiera, sino porque tiene que estar, y no hay ese involucramiento inicial. El profesor tampoco puede señalar de inmediato, como en un video, al estudiante que empieza a dormirse en la tercera fila desde atrás.
Funciona muy bien para quienes quieren aprender, pero también podría hacer que quienes no quieren dominar ese contenido se queden todavía más atrás.
Al final, sin la complejidad y la notación que se aprenden con los métodos educativos tradicionales que ahora estás criticando, sería difícil producir una explicación tan simplificada a gran escala. Dicho eso, los estudiantes talentosos muchas veces ya tienen estas imágenes en la cabeza y una intuición clara; para ayudar a que los estudiantes menos familiarizados o menos talentosos puedan seguir el ritmo, este enfoque tiene muchísimo sentido.
Me alegra que hayan vuelto a tratar este problema. El video original sobre este tema, hace unos años, fue lo que me enganchó de inmediato con 3B1B.
Conocía la banda de Möbius desde niño, y ya a principios de la adolescencia conocía la idea de las demostraciones de existencia del tipo “una función continua necesariamente pasa por algún lugar”.
Pero nunca se me había ocurrido que una banda de Möbius pudiera ser algo más que una curiosidad inútil, y ahora siento que debería disculparme con ese objeto por haberlo descartado tan a la ligera. Su papel en esta demostración es sorprendente y me hace cosquillas agradables en el cerebro.
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
No sé nada de matemática más allá de lo muy básico, pero este tipo de cosas me resulta fascinante, y necesito dibujos para entenderlo. Es un video realmente excelente.
Cuando en el video presentaron una forma de mapear 2 dimensiones a 3 dimensiones, mi primer pensamiento fue: “¿Será así como se mapean 3 dimensiones a 4 dimensiones?”. Más adelante mencionaron las 4 dimensiones. Eso no logro visualizarlo ni entenderlo bien.
Incluso en 3 dimensiones se puede pensar en cosas como “dos objetos no pueden existir en el mismo lugar y al mismo tiempo”, “las líneas paralelas se encuentran en el infinito” o “las líneas paralelas nunca se encuentran”. Solo que en 3 dimensiones tenemos visualización e intuición, así que no necesitamos descomponer todo formalmente cada vez.
Me alegró ver que mencionaran a Lobb. Hace unos años —bueno, hace ya bastante— tomé Álgebra lineal 1 con Lobb. Era un profesor excelente, y todavía recuerdo con una sonrisa la expresión de desesperación que ponía cuando no entendíamos algo.
Sentí que había un problema desde el minuto 4:15 del video. Parecía que saltaba a la conclusión de que para cada punto medio había una sola distancia. Pero ese punto medio es el resultado de elegir dos puntos sobre la frontera, y es fácil elegir otros dos puntos distintos que tengan el mismo punto medio pero otra distancia
No abordó directamente ese punto, y durante los siguientes 2 minutos esa idea me siguió dando vueltas en la cabeza. Como siguió avanzando en esa dirección sin explicarlo, pensé que quizá me había perdido algo, o que los espectadores de matemáticas más inteligentes habrían resuelto esa pregunta abierta en unos segundos y que yo no era lo bastante matemático como para ser parte del público objetivo, así que pausé el video
Creo que un buen video educativo es el resultado de un proceso en el que los espectadores de prueba plantean puntos como este y el video se va puliendo, hasta que el resultado final también funciona para alguien que cuestiona cada punto
Aquí no hace falta unicidad. De hecho, la clave es transformar el problema de encontrar un rectángulo inscrito en el de encontrar dos pares de puntos con el mismo punto medio y la misma distancia; y eso lo dice justo 1 minuto y 15 segundos después del momento que señalaste
Pero, al definirlo visualmente, es muy natural malinterpretarlo como lo hiciste. El dibujo parece la gráfica de una función que recibe un punto medio y devuelve la distancia correspondiente a ese punto medio; como señalaste, eso no está bien definido. Si se entiende así, el resto del video se pierde por completo. Porque el resto del video está dedicado a explicar que el dominio de esta función, visto como pares no ordenados de puntos {A, B}, se convierte en una cinta de Möbius
En última instancia, si no hay una versión 100% formal de una afirmación, algunas personas la interpretarán de una forma distinta a la intención original. No tiene que ver con qué tan inteligente sea la audiencia. 3Blue1Brown también parece saberlo y estar experimentando con formatos alternativos; este video también está disponible como una entrada de blog interactiva donde la función se escribe explícitamente como “f(A, B) = (x, y, z)” y se explican las variables: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“Ante una audiencia lo bastante grande, incluso si está compuesta solo por personas muy inteligentes, cada explicación informal generará interpretaciones distintas” es una de las dificultades centrales de la educación matemática. En un entorno interactivo se puede detener la clase y hacer preguntas, pero eso crea incentivos para enfocarse más en el formalismo y puede dejar menos tiempo para explicar la visualización y la intuición
Respondiendo a la pregunta concreta: él no asume en absoluto que para cada punto medio haya una sola distancia. No lo dice, y la visualización tampoco lo muestra así
Otra forma de ver la topología aparece en General Topology, de John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955
En el conjunto de los números reales R, si x, y ∈ R y x < y, entonces (x,y) = { z | x < z < y } es un conjunto abierto; y si x <= y, entonces [x,y] = { z | x <= z <= y } es un conjunto cerrado. Si un subconjunto de R es cerrado y acotado, entonces es compacto, y eso es una propiedad poderosa en contextos como la integración de Riemann
Conceptos de este tipo se extienden a espacios topológicos mucho más generales que la recta real y los intervalos abiertos y cerrados. Supongo que por eso el título del libro lleva “General”. Leí a Kelley en el último año de la carrera de matemáticas y hasta les di una clase a profesores, pero hoy también existen otras definiciones de topología
Gracias a este video entendí qué es la topología
¿A alguien más le da ansiedad ver esto? Siento que queda algo como miedo al fracaso o ansiedad residual de sobrerendidor
Tengo un doctorado en matemáticas y en general me he alejado de la actividad académica. Lo que me permitió aguantar el doctorado no fue el deseo de éxito ni de logros académicos, sino el amor por el camino. Durante un tiempo, después de conseguir trabajo, las matemáticas se volvieron algo oscuro y aterrador para mí, y este video se sintió como una bocanada de aire fresco
Ojalá encuentres una fuente de alegría en la que puedas volcarte. Desde raíces así se puede florecer. No tiene que ser el trabajo. De hecho, creo que en el fondo de la ansiedad hay un mercado laboral peligroso. Mis raíces no son mi carrera, sino la familia que elegí. Con esa sensación de estabilidad, la mente puede vagar con más facilidad y también animarse a tomar rompecabezas como estos problemas abiertos. El punto de partida es la curiosidad
Una vez, en una conferencia, John H. Conway me reconoció que al inicio de su carrera sintió exactamente lo mismo que tú
Hablando de fracaso: se me ocurrió una idea para abordar este problema abierto y escribí rápidamente código para aplicarla al copo de nieve de Koch. Al irla anotando, vi un problema obvio en el enfoque y, dicho solo como conclusión fuera de contexto, descubrí una división por cero antes de escribir esa línea de código. Como no había ninguna razón por la que tuviera que funcionar, fracasar fue divertido, y siempre es satisfactorio encontrar un bug antes de escribirlo