π en otros universos

 (azeemba.com)
2 puntos por GN⁺ 2023-10-30 | 1 comentarios | Compartir por WhatsApp
  • π es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, pero dependiendo de cómo se defina la “distancia”, incluso los círculos con el mismo radio pueden tener formas distintas y el valor de π también puede cambiar
  • En matemáticas, una métrica (metric) fija 4 condiciones que debe cumplir una función de distancia, y permite tratar geometría, cálculo y topología fuera de la distancia euclidiana con algunas modificaciones
  • En la distancia Manhattan y la distancia máxima, los círculos aparecen respectivamente como un cuadrado girado y un cuadrado, y al calcular su perímetro en ambos casos π resulta ser 4
  • La p-norm es una familia infinita de métricas que incluye la distancia Manhattan, la euclidiana y la máxima, y el π=3.14159… de la distancia euclidiana usual con p=2 es el valor mínimo posible dentro de esa familia
  • Si se amplía a todas las métricas, π queda entre 3 y 4, y en cierta métrica hexagonal la circunferencia de un círculo de radio 1 es 6, por lo que π=3

Por qué cambia el valor de π

  • En general, π aparece en la relación entre la circunferencia C y el radio r de un círculo: C = 2πr
  • Matemáticamente, un círculo es el conjunto de puntos que están a la misma distancia del centro
  • Por lo tanto, π depende de la definición de distancia con la que se miden la circunferencia y el radio
  • La forma de los puntos con el mismo “costo” no siempre es un círculo euclidiano
    • Los puntos a los que se puede correr durante el mismo tiempo desde el centro pueden formar un círculo según una distancia basada en tiempo
    • Los puntos a los que se puede llegar conduciendo con la misma cantidad de combustible también pueden verse como un círculo según una distancia basada en combustible
    • Si se navega en un día con mucho viento, los puntos alcanzables con el mismo esfuerzo forman una elipse sesgada hacia un lado según la dirección del viento

Qué función de distancia puede ser una métrica

  • En matemáticas, una métrica define las condiciones para que una función sea aceptada como función de distancia
  • Una métrica debe cumplir las siguientes reglas
    • La distancia de un punto a sí mismo siempre es 0
    • La distancia entre dos puntos distintos siempre es positiva
    • La distancia de a a b es igual a la distancia de b a a
    • La distancia directa de a a c no es mayor que la distancia de ir de a a c pasando por b
  • El “esfuerzo necesario para navegar” difícilmente forma una métrica
    • El esfuerzo no es el mismo si se avanza con viento a favor o contra el viento, por lo que no cumple la tercera condición
  • La distancia euclidiana d = sqrt(x² + y²) es la definición tradicional de distancia usada desde la geometría griega antigua hasta el cálculo de Newton
  • A comienzos del siglo XX, los matemáticos descubrieron que cualquier función que cumpla estos requisitos básicos puede usarse como función de distancia, y que muchos resultados matemáticos también pueden aplicarse con algunas modificaciones

π en la distancia Manhattan

  • La distancia Manhattan es la distancia en una ciudad en cuadrícula donde no se puede avanzar en diagonal y se suman los desplazamientos en las direcciones x e y
  • La fórmula de distancia se expresa como d = x + y
  • Por ejemplo, si se colocan en los ejes x e y los errores de predicción del cambio de población de dos ciudades, los puntos cuyo error total es de 1,000 personas forman un “círculo”
  • En esta métrica, el círculo se ve como un cuadrado rotado 45 grados
  • Si el radio es 1,000, la longitud de cada lado en distancia Manhattan es 2,000, y el perímetro de los 4 lados es 8,000
  • Como 8,000 = 2π(1,000), en este sistema de distancia π=4

π en la distancia máxima

  • La distancia máxima es una métrica que usa como distancia el mayor valor entre x e y
  • La fórmula de distancia se expresa como d = max(x, y)
  • Se relaciona con situaciones en las que, al hacer varias tareas en paralelo, el tiempo total queda determinado por la tarea que más tarda
  • Un ejemplo sería un concurso de cocina en el que se preparan dos ingredientes en paralelo y ambos deben estar listos entre 55 y 65 minutos
  • En este sistema de distancia, el círculo tiene forma de cuadrado
  • Cuando el radio es 5, la distancia de cada lado es 10, y el perímetro de los 4 lados es 40
  • Como 40 = 2π(5), en la distancia máxima también π=4

π en la familia p-norm

  • La métrica p-norm es una familia infinita de métricas definida por d = (x^p + y^p)^(1/p)
  • p puede tomar valores mayores o iguales a 1
  • La p-norm generaliza las distancias anteriores
    • p=1: distancia Manhattan
    • p=2: distancia euclidiana
    • p=∞: distancia máxima
  • La forma del “círculo” también cambia según el valor de p
  • Para valores generales de p, no es fácil calcular el perímetro a simple vista, así que puede calcularse haciendo que una computadora recorra la circunferencia y registre la distancia recorrida
  • Según resultados de este artículo, los valores de π para cada p-norm son los siguientes
    • p=1: π=4
    • p=1.1: π=3.757…
    • p=2: π=3.141…
    • p=2.25: π=3.155…
    • p=3: π=3.259…
    • p=11: π=3.757…
    • p=∞: π=4
  • Ese artículo también demuestra que 3.14159… es el valor mínimo posible de π en toda la familia p-norm

Rango de π en todas las métricas

  • Hay infinitas p-norm, pero existen aún más métricas que no son p-norm
  • El artículo de Sahoo demuestra que, entre todas las métricas, π está entre 3 y 4
  • Las métricas que producen π=4 pueden verse en la distancia Manhattan y en la distancia máxima
  • Un ejemplo que produce π=3 se obtiene de una métrica hexagonal mostrada en esta respuesta de StackExchange
  • La fórmula de distancia es la siguiente
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
  • El π usado en esta fórmula es el π habitual que aparece en la trigonometría euclidiana
  • En esta métrica, el círculo se convierte en un hexágono
  • Si se calcula con esta fórmula la longitud de cada lado del hexágono, cada lado mide 1 y el perímetro total es 6
  • Como con radio 1 se cumple 6 = 2π(1), en esta métrica π=3

π-month en lugar de π-day

  • El π-day del 14 de marzo está basado en el valor usual π=3.14…
  • Como en todas las métricas π puede estar entre 3 y 4, si se encontrara una métrica que correspondiera a cada fecha, podría celebrarse todo marzo como un π-month

Lecturas relacionadas

1 comentarios

 
GN⁺ 2023-10-30
Opiniones en Hacker News

  • La idea de ver las matemáticas como “un juego que parte de supuestos y busca las conclusiones lógicas posibles” ordena muy bien una idea que me venía dando vueltas en la cabeza desde hace tiempo

    • Por eso también son interesantes Lean4 y mathlib
      Mientras más gente siga incorporando demostraciones formalmente verificadas a mathlib, más fácil se vuelve demostrar formalmente más teoremas sobre esa base
      Partir de cero hace que incluso una demostración simple requiera muchas reescrituras y especificación de detalles, casi como puro trabajo manual, pero en mathlib herramientas como simp o linarith parecen encargarse de gran parte del trabajo pesado repetitivo
      El efecto bola de nieve es realmente interesante, pero probablemente todo lo que yo entiendo ya esté incluido, así que creo que me costaría aportar algo significativo
    • Pensar en las matemáticas y la lógica como un enorme autómata celular resulta sorprendente
      Los “axiomas” no necesariamente corresponden a “verdades”, sino que se parecen más a restricciones arbitrarias que generan complejidad, y a veces el sistema resultante se vuelve útil
    • Las matemáticas son el juego más antiguo, amplio y complejo que ha practicado la humanidad
      También son útiles, y hay mucho para profundizar filosóficamente sobre esa utilidad, pero veo eso como una propiedad aparte del juego en sí
      Aunque fuera algo inútil, que no aumenta el conocimiento y hasta con utilidad negativa, como convertir por diversión un libro de cocina a hexadecimal, igual se puede jugar este juego
      Intentar demostrar la conjetura de los primos gemelos es un nivel mucho más difícil, y este juego se puede practicar sin importar la edad o la habilidad, ya sea en la mente, con papel y lápiz, o incluso con el clúster de cómputo más grande del mundo
      Técnicamente, todos los demás juegos también son subconjuntos de este juego, y cada quien puede jugarlo como quiera: coloreando dibujos bonitos, haciendo chocar átomos o contando hasta el número más grande posible
    • El mismo principio también aplica a la programación
      Cuanto menos sabe una función sobre sus argumentos, más generalmente se puede usar
    • Un buen ejemplo de esto es el efecto del axioma de elección en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad
      El axioma de elección implica la existencia de conjuntos que no son medibles en el sentido de Lebesgue, pero no se puede presentar un ejemplo concreto de esos conjuntos no medibles; solo se puede demostrar su existencia
      En cambio, en una teoría alternativa que incorpora el axioma de determinación, todos los subconjuntos de los números reales se vuelven medibles
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
      https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

  • Aunque en la geometría de otro universo π fuera distinto, seguiría habiendo constantes importantes con el mismo valor que nuestro π
    Por ejemplo, los ceros de la función definida por la serie x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... son nπ para enteros n, y aquí π es nuestro π
    Nuestro π también aparece en la función exponencial, y su período es 2πi

    • Correcto. Para dar ejemplos más concretos, los siguientes valores siguen estando relacionados con nuestro π independientemente de la geometría
      La suma de la serie 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) es π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
      La suma de la serie (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) es π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
      Por lo tanto, la probabilidad de que dos números elegidos uniformemente de [1…N] sean coprimos se acerca a 6/π² a medida que N crece
      El producto 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… también es π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
      Cuando n crece, (n!/(√n (n/e)^n))²/2 se acerca muy lentamente a π: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation Ej.: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
      También hay muchos otros resultados no geométricos: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
    • Más bien me parece que es al revés
      Según entiendo, los humanos de la civilización europea definieron históricamente la función exponencial compleja para que tuviera período 2πi, con el fin de hacerla coincidir con los períodos de sin y cos, que ya estaban definidos
      Podría haberse definido con otro período. Por ejemplo, si se hubiera tomado “360 grados” como 1 en vez de 2π, y se hubiera definido sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0, entonces también se habría definido que el período de e^ix fuera 1
      Con el sistema decimal pasa algo parecido. Solo hemos usado históricamente el sistema decimal porque tenemos diez dedos, y no hay razón para que los extraterrestres también tengan diez dedos
    • Es mejor decir que π es el mismo número 3.14... en todas partes
      Pero en otro universo quizá no se use π en la fórmula de la longitud de una circunferencia
      Con la distancia de Manhattan (L_1) es C = 8 R, con la distancia euclidiana (L_2) es C = 2π R, y con la distancia máxima (L_infinity) es C = 8 R
    • Me pregunto si, si definimos la distancia unitaria —por ejemplo, la distancia entre 2 y 3, o entre 5 y 6— mediante su función de distancia, su π volvería a aparecer
      Parece parecido a cambiar la base en un sistema numérico

  • Hay varias formas de definir una constante parecida a π para la circunferencia unitaria de una p-norma, y cuando p != 2 pueden no coincidir entre sí
    Si se define π como el área del círculo unitario, aparecen valores completamente distintos, y esta definición satisface propiedades interesantes, como convertirse en la constante de período de un conjunto natural de funciones trigonométricas para p-círculos
    Más aún, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
    En cambio, una definición de π basada en el perímetro/la longitud de arco tiene la interesante propiedad de que pi(p) = pi(q) para p, q conjugados
    “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” es una referencia entretenida que trata estos temas

    • Me pregunto si el hecho de que no sea un espacio de Hilbert afecta a la geometría de una forma incómoda
      Probablemente habría que descartar la identidad de polarización, y entonces también afectaría a los paralelogramos, aunque no sé exactamente cómo

  • pi = 3.14159… aparece en el análisis y también en su extensión, la estadística, así que es independiente de la geometría.
    Los extraterrestres de otro universo también conocerían este valor; solo tendrían una constante distinta para los círculos.
    De todos modos, no usarían letras griegas, así que haría falta traducir, y resulta menos raro considerar 3.14159… como π que hacer corresponder su 3.757… con “π”.
    Claro que es discutible cuál debería tomarse como constante básica entre 3.14…(π), 6.28…(2π) y 0.785…(π/4), y los extraterrestres podrían pensar distinto.
    El artículo introduce el concepto de función de distancia para explicar la constante del círculo en otro universo, pero una función de distancia arbitraria no garantiza escalamiento lineal ni invariancia por traslación.
    Para definir de forma significativa la constante del círculo se necesitan supuestos más fuertes que una función de distancia, por ejemplo un espacio vectorial normado; y los ejemplos presentados, de hecho, parecen ser espacios vectoriales normados, no simples espacios métricos.

    • El primer punto no sorprende.
      Nuestro π está ligado a la única función de distancia cuya circunferencia unitaria es completamente continua y diferenciable.
      La norma 2 es muy especial por varias razones, y parece natural que la constante que conecta la distancia a un punto con el resultado de integrar una constante a lo largo de la trayectoria formada por esos puntos aparezca con más frecuencia que otras constantes.
      Si la circunferencia unitaria de esa función de distancia no tiene continuidad y diferenciabilidad en todas partes, muchas otras cosas pueden caer como fichas de dominó.
      Hay algo singularmente central en la relación concisa entre puntos, distancias y trayectorias.
    • Me intriga el primer punto.
      Como se explicó en otro comentario, el valor de π, 3.14159, puede derivarse solo con teoría de números pura, pero de forma casi mágica desempeña un papel enorme en la formación del mundo físico que conocemos.
      ¿Podría haber otra teoría de números en otros universos, o la teoría de números es verdadera independientemente del universo? Me pregunto cómo sería, en todo caso, una teoría de números alternativa.
    • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
      No quiero sonar como Buzzfeed, pero la tabla 3 tiene bastante sentido.
    • Exacto. Incluso en el ejemplo, en realidad se repite 2pi todo el tiempo.

  • Parece que esta persona no sabe de navegación.
    Navegar en través (beam reach), con el viento perpendicular, está entre los rumbos más rápidos por la sustentación de la vela.

    • Sabía que aparecería una observación así.
      Me gusta HN por estas precisiones tan específicas y correctas, pero también por no descartar todo el artículo por una analogía imprecisa.
    • No sabía nada de navegación, pero gracias a este comentario busqué los puntos de vela, y se me abrió el misterio de toda la vida de “cómo puede un velero avanzar de forma efectiva contra el viento”.
      Es realmente sorprendente, y la navegación es una ciencia impresionante.
    • También es interesante que, si así se supera la velocidad de casco, uno termina surfeando sobre su propia ola de proa.
    • El través no es necesariamente el rumbo más rápido.
      Depende del barco, de la eficiencia de las velas y de la eficiencia de la orza/quilla, es decir, de la relación sustentación/arrastre; en general, es probable que algún tipo de alcance sea el más rápido, pero puede que no sea exactamente perpendicular a la dirección del viento real.
      También depende de la velocidad del viento, la altura de las olas, la distribución del peso, etc.
    • Me pregunto qué forma tendría ese “círculo” si se introducen las suposiciones correctas.

  • Todos estos ejemplos asumen que la función de distancia de fondo es euclidiana.
    Si la función de distancia bidimensional de fondo fuera la proyección de un espacio tridimensional curvado, se podría estirar el centro del círculo y hacer que π sea tan grande como se quiera.

    • Aquí no existe el concepto de “función de distancia de fondo”.
      Tanto el radio como la circunferencia se miden con la propia función de distancia definida.
      Si se trata de una función de distancia que estira el origen en comparación con la distancia euclidiana, ese mapeo debe ser continuo, y al final el radio y la circunferencia crecen juntos en esa función de distancia.
      De hecho, enlacé un artículo que demostraba que, para toda función de distancia, el valor de π siempre está entre 3 y 4, incluidos los extremos, pero parece que no aguantó el tráfico, así que dejo un enlace alternativo: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
    • No se asumió una función de distancia de fondo, sino que la geometría del espacio es euclidiana.
      En la geometría no euclidiana, la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo no es una constante, sino que cambia según el diámetro, así que en esos casos ni siquiera se puede definir “π”.
    • Esto es un poco tangencial, pero casi todo lo que entendí sobre π fue gracias a modelos GIF 3D que nunca vi en la escuela.
      Este tipo de material debería entrar como parte clave de la curva de aprendizaje mucho antes que 3B1B.

  • De niño me gustaba imaginar este tipo de relaciones.
    Imaginaba que había un dios que creó el universo, y que quizá, igual que yo, era un niño aburrido haciendo un universo para una tarea escolar.
    Si ese dios hubiera girado las perillas de π o e hasta valores racionales —suponiendo, claro, que en el universo de dios también pudiera girarlas hasta valores irracionales exactos—, ¿nuestras vidas habrían sido más fáciles o más difíciles? Probablemente más fáciles.
    ¿Qué pasaría con los tamaños aparentes de la Tierra, la Luna y el Sol vistos desde la Tierra? Eso es una pista magnífica, pero sin esa coincidencia quizá habríamos aprendido más astronomía.
    La rareza cuántica del universo, o los desequilibrios que requieren una materia literalmente oscura, quizá sean en realidad bugs en la tarea hecha de prisa por un niño, y por eso no tienen sentido desde el principio.
    Pero lo que más me hizo pensar fueron los números irracionales.

  • Si leí bien el hilo de HN, no puede faltar la introducción a la teoría de la medida de Terence Tao.
    https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
    Pero, en serio, ¿quién leería o siquiera hojearía un libro gratuito de 260 páginas sobre teoría de la medida?
    https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

    • Las notas de clase de Tao no son el tipo de material que simplemente se lee u hojea.
      Las usé para estudiar teoría de la medida por mi cuenta e intentar saltarme prerrequisitos en la universidad, y fue realmente difícil.
      Hay ejercicios cada dos páginas, más o menos, y si no les dedicas tiempo a resolverlos, no creo que se aprenda mucho.
      Además, esos ejercicios son difíciles.
    • No entiendo por qué resulta tan increíble leer un libro de 260 páginas.
      La gente lee libros de 260 páginas todo el tiempo.
      Yo no leería este porque no es un área que me interese, pero estoy ocupado leyendo libros de más de 100 páginas sobre otros temas.

  • Hay un espacio curioso construido con números p-ádicos, y si se define una distancia simple sobre él, los círculos tienen propiedades extrañas
    Por ejemplo, el diámetro, es decir, la distancia entre los bordes más alejados, y el radio, es decir, la distancia desde el borde hasta el centro, terminan siendo iguales
    También pasan cosas raras con el área y la circunferencia de un disco, y un disco abierto también puede estar cerrado al mismo tiempo
    Lo que corresponde a π ahí es completamente extraño
    Lamentablemente no recuerdo los detalles. Fue un ejercicio de una clase de matemáticas alrededor del año 2000
    https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

  • La analogía del barco me parece especialmente mala
    Compara implícitamente un velero en un día con viento con un velero en un día sin viento, pero si no hay viento, para empezar tampoco habría círculo
    No soy experto en barcos, pero si el viento sopla a X nudos, el barco puede ir hasta X nudos en la dirección del viento y, a diferencia de lo que afirma el texto, puede ir a varias veces X en dirección de viento transversal
    Entonces sí saldría una elipse parecida a la del dibujo, pero orientada en sentido contrario
    Además, un barco también puede avanzar “hacia” el viento mediante viradas y trasluchadas