Todas las personas pueden pensar matemáticamente y beneficiarse de ello
(quantamagazine.org)- El matemático David Bessis ve las matemáticas no como manipulación de símbolos, sino como un diálogo entre intuición y lógica, y sostiene que las personas ya piensan así en la vida cotidiana
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity conecta las matemáticas con la experiencia interior humana a través de lo que ocurre en la mente de un matemático
- Los casos de Bill Thurston, Alexander Grothendieck y René Descartes respaldan la idea de que la capacidad matemática se parece menos a una esencia innata y más a un entrenamiento para cuestionar y afinar la intuición
- Las matemáticas escolares se inclinan por la lógica y la formalidad, pero las personas ya internalizan sistemas numéricos abstractos y realizan matemáticas profundas al manejar círculos y números en su mente
- Desarrollar el pensamiento matemático puede ir más allá de resolver problemas y convertirse en una técnica de desarrollo personal que ayuda con la alegría, la claridad, la confianza, la creatividad y la vida emocional
Las matemáticas se parecen más a un proceso invisible que a símbolos visibles
- La razón por la que David Bessis se sintió atraído por las matemáticas está conectada con la razón por la que muchas personas las evitan
- La música se escucha y la pintura se ve, pero las matemáticas son en gran parte un proceso interno, así que no se manifiestan hacia afuera
- Él sentía un interés casi mágico por ese proceso invisible
- Bessis cursó un doctorado en matemáticas en Paris Diderot University a fines de los años 90 y luego investigó teoría geométrica de grupos durante unos diez años
- En 2010 dejó la investigación matemática y fundó una startup de machine learning
- No se quedó solo en resolver problemas, sino que siguió preguntándose cómo piensan y trabajan realmente los matemáticos
El pensamiento matemático según Mathematica
- Bessis publicó en 2022 Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity
- Un intento de explicar qué ocurre dentro del cerebro de una persona que hace matemáticas
- Y al mismo tiempo una exploración de la experiencia interior humana
- La edición original en francés fue traducida al inglés en 2024
- La idea central es que las personas siguen haciendo matemáticas incluso cuando no son conscientes de ello
- Bessis cree que la gente puede expandir sus capacidades matemáticas mucho más de lo que imagina
- Incluso las habilidades de matemáticos como Bill Thurston y Alexander Grothendieck son difíciles de explicar solo por un genio innato
- Ellos cuestionaban y refinaban constantemente su intuición
- Generaban ideas nuevas y luego las verificaban y mejoraban con lógica y lenguaje
El ida y vuelta entre intuición y lógica
- Para Bessis, las matemáticas son la actividad de alinear formas externas con representaciones internas
- Las representaciones internas corresponden a la intuición
- Las representaciones externas son expresiones lógicas y formales
- Los sistemas formales pueden parecer extraños y rígidos, pero sirven como herramientas para poner a prueba, reajustar y fortalecer la intuición
- Las matemáticas escolares suelen enfatizar sobre todo la parte basada en la lógica de este proceso
- Bessis considera que el elemento más importante es la intuición
- Las matemáticas son un diálogo entre razón e instinto
- También son un diálogo entre lenguaje y abstracción
- Compara las matemáticas con una práctica corporal que mejora con entrenamiento, como el yoga o las artes marciales
- Hace falta entrar en un estado parecido al de la niñez
- También hay que aceptar la imaginación y los errores que surgen en ese proceso
Las matemáticas que todas las personas ya hacen
- Bessis cree que las personas deberían reconocer su propio entrenamiento matemático
- Una persona puede imaginar un círculo en su mente y agrandarlo, achicarlo o moverlo
- Aunque parezca una simple visualización, eso equivale a una manipulación abstracta
- Ante la pregunta “¿Qué pasa si le restas 1 a mil millones?”, la mayoría llega de inmediato a una respuesta
- Puede hacer falta pensar para expresarla en palabras, pero el resultado en sí aparece en la mente
- Aunque no sea una percepción visual, existe una fuerte sensación del resultado
- Bessis considera que esto es intuición matemática
- Esta capacidad no fue algo obvio en la historia
- Sostiene que hace 2,000 años, quienes usaban números romanos no habrían podido responder con facilidad la misma pregunta
- La aritmética que hoy parece fácil es el resultado de haber internalizado un sistema numérico abstracto
- Incluso las matemáticas que parecen simples son en realidad matemáticas profundas, y los seres humanos, en cierto sentido, se cablearon a sí mismos para hacerlas
El genio se parece más a un estado que a una esencia
- Bessis no niega que existan personas muy buenas para las matemáticas
- Dice que hay niñas y niños que incluso a los 5 años parecen genios matemáticos
- Pero no lo ve como una esencia innata
- El genio no es una esencia, sino un estado
- Se parece más a un estado que se construye haciendo cierto tipo de trabajo
- Las matemáticas son un recorrido y están relacionadas con la plasticidad
- Eso no significa que las matemáticas sean fáciles
- Bessis dice que las matemáticas son difíciles
- Y al mismo tiempo considera que casi todo lo que uno hace en la vida también es muy difícil
- A la pregunta de si él puede hacer matemáticas como Thurston, responde que no
- Thurston dejó testimonio detallado de haber decidido practicar esa autoeducación todos los días desde muy joven
- Bessis no cree poder alcanzar ese nivel
- Una de las razones por las que estudiantes de preparatoria se sienten mal con las matemáticas es que creen que se necesita una habilidad innata que no tienen
- Él sostiene que las matemáticas reales dependen del mismo tipo de capacidades intuitivas que usamos a diario
Cómo desarrollar el pensamiento matemático
- Cuando aparece una discrepancia entre una corazonada y lo que parece correcto racionalmente, ahí surge una oportunidad para entender algo nuevo
- Desde ese momento puede comenzar el proceso de ida y vuelta
- Revisar si puedes expresar con palabras tu corazonada
- Ver si puedes colocarla dentro de una discusión racional
- Si la discrepancia sigue ahí, intentar visualizar por qué ocurre
- Al repetir este proceso, la imaginación se va reconfigurando poco a poco
- Bessis cree que, si se persiste, instinto y razón se alinean y uno puede volverse más inteligente
- A este proceso lo llama pensamiento matemático
Las matemáticas pueden convertirse en una técnica de desarrollo personal
- Bessis cree que mejorar el pensamiento matemático puede aportar alegría, claridad y confianza
- Las niñas y los niños realizan este proceso todo el tiempo, por eso aprenden tan rápido
- Como el mundo no se entiende por sí solo, tienen que descubrirlo una y otra vez
- Cree que los bebés son felices porque pasan el día entero teniendo descubrimientos
- En las personas adultas, esta forma de pensar puede ser muy lenta
- Aun así, si no se abandona, lo que la intuición puede llegar a hacer puede superar por mucho las expectativas
- Bessis ve su libro como una lección de vida no solo para quienes quieren aprender conceptos matemáticos, sino para toda persona creativa
- Va más allá de llamarlo simplemente un libro de autoayuda: para él, las propias matemáticas son una especie de técnica de desarrollo personal
Honestidad y entrenamiento de la creatividad
- Un matemático debe ser muy honesto sobre lo que no entiende y sobre lo que realmente está pensando
- Esa honestidad lleva a varios juicios
- Puede permitir ver que cierto objeto está mal definido
- Puede mostrar que otra definición haría la teoría más simple
- Puede ayudar a distinguir los conceptos importantes de los que no lo son
- Expresar lo que uno realmente siente es muy difícil y requiere práctica
- Al hacer matemáticas, el proceso de pensamiento humano aparece en una forma muy pura
- Las matemáticas no consisten solo en entender, sino en entrenarse para entender de manera profunda, ingenua, clara y evidente, como una niña o un niño
- Para Bessis, las matemáticas son un entrenamiento de la creatividad y una base para la imaginación
- Dice que la capacidad de pensar matemáticamente le ayudó a superar dificultades personales, y cree que, incluso desde una perspectiva emocional, todas las personas necesitan las matemáticas
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Estoy de acuerdo con esta idea. Creo que una cultura obsesionada con el talento matemático innato y la genialidad es dañina para la mentalidad de crecimiento necesaria para aprender algo
He mejorado bastante mis habilidades matemáticas ya de adulto, y antes pensaba: “si es difícil, entonces ya llegué a mi límite y estoy perdiendo el tiempo”. Pero en realidad es casi al revés: si es fácil, puede que esté perdiendo el tiempo porque ya lo sé
El autor del libro simplemente eligió las matemáticas, que era lo que le interesaba, pero este principio en realidad aplica a todos los campos. Aunque algunas personas parezcan tener talento innato, la mayoría de las veces se parece más a la capacidad de hiperconcentrarse en un solo tema, ya sean matemáticas, Star Trek, dinosaurios o juegos de consola retro de los años 80
Convencer a los niños de que algunos de sus pares simplemente “nacieron así” les quita la voluntad de seguir intentándolo. Lo que hay que enseñarles es cómo aprender, algo como: “si enseñas matemáticas, aprenden matemáticas; si enseñas a aprender, aprenden cualquier cosa”
Es cierto que las matemáticas requieren esfuerzo y que hace falta cierto conocimiento previo para que la comprensión encaje bien. Pero una actitud como “X se deja como ejercicio para el lector” es una forma de disfrutar complicándole la vida al lector sin ninguna razón
En la llamada “torre de marfil”, la parte de torre también funciona como un mecanismo de autopromoción y autodefensa. Porque vende la idea de que “nuestro papel es indispensable, y quien quiera saber algo necesariamente tiene que pasar por nosotros para llegar a su objetivo”
Por ejemplo, álgebra lineal es un tema de hace décadas, pero aun así muchas veces los materiales de clase, desde nivel inicial hasta avanzado, eran excesivamente crípticos y difíciles de descifrar. Sin embargo, cuando despegó el aprendizaje automático, de repente empezaron a abundar materiales que explicaban con claridad y como si fueran triviales temas avanzados como reducción de dimensionalidad y descomposición en subespacios. Lo único que cambió fue el tipo de personas que trataban el tema
He enseñado matemáticas a estudiantes de psicología, y hubo casos en los que realmente no entendían. También recuerdo a un director de departamento frustrado ante la pregunta: “¿qué es una raíz cuadrada?”. No se puede decir simplemente que todos tenían la capacidad y que “fue culpa del profesor”; también hay que explicar la diferencia entre quienes tuvieron dificultades y quienes lo hicieron con facilidad
Lo mismo pasa con la música. Incluso si los estudiantes de conservatorio estudian mucho, algunos destacan más y unos poquísimos realmente brillan. Me cuesta creer la afirmación de que “todo el mundo puede tocar a Rachmaninov”. A menos que se esté usando un criterio muy bajo para capacidad matemática o que no haya evidencia sólida, decir que “todos pueden” huele a disparate
El trabajo cotidiano puede mantener habilidades fáciles, pero si es una habilidad que no has usado en un tiempo, tampoco está mal hacer repeticiones sencillas antes de combinarla con otras de maneras más difíciles
Estoy leyendo el libro Mathematica del autor y de verdad está muy bueno. Solo con el título de este artículo no se aprecian bien las virtudes del libro
El autor muestra que la habilidad matemática se parece más a un talento deportivo que a un talento de conocimiento. Su argumento es que la gente necesita aprender a manipular objetos matemáticos de formas como figuras rotadas mentalmente, tragamonedas y papiroflexia. Se siente como una especie de deporte de la imaginación
Gracias a eso he estado reaprendiendo bastante matemáticas básicas en MathAcademy.com, y ha sido muy divertido y también estresante. Siento que ahora tengo un efecto Tetris, pero con polinomios
Cuando te metes de lleno, cada función parece tener su propia forma y su propia vibra. Ves funciones como cajitas pequeñas y limpias, funciones grandes, feas y furiosas como erizos de mar, y funciones inútiles como pequeños círculos que no hacen nada, de las que luego te anotas que hay que borrarlas. También se alcanza a ver más o menos cómo se conecta todo el grafo según la manera en que fluyen los datos
También me pregunto si MathAcademy realmente vale la pena. Estoy pensando en probarlo un mes, pero no sé si lo de “estresante” fue un error de dedo o no
Ya pedí Mathematica en la biblioteca local, así que solo me queda olvidarme del tema hasta que algún día llegue el SMS de que ya está disponible. Gracias por confirmar que sí vale la pena leerlo
Si el libro es mejor en ese sentido, sí me gustaría leerlo; si está lleno de historias y relleno, preferiría saltármelo. Me da curiosidad saber qué estás obteniendo realmente del libro y qué tan práctico y aplicable te está pareciendo
Las matemáticas se sienten difíciles porque a la gente le cuesta sostener en la cabeza procesos largos de manipulación. Sobre todo cuando se manipulan objetos grandes que van cambiando poco a poco a lo largo de cientos de pasos, y eso no pasa porque la persona sea deficiente, sino porque así funciona naturalmente la mente humana
Lo correcto sería enseñar que las matemáticas son axiomas básicos y reglas de manipulación, y cómo desplegar esos axiomas con esas reglas. Hay que aprender a hacer un solo cambio válido a la vez, y por supuesto eso requiere mucho trabajo en papel y paciencia. Las matemáticas consisten en producir nuevas verdades y reglas a partir de verdades y reglas
Así se lo estoy enseñando a mi hijo, y muchas veces responde: “¿Eso es todo? ¿Solo es trabajo tedioso en papel?”. Últimamente también está aprendiendo algoritmos y estructuras de datos con este enfoque y ayuda de LLM. Si empiezas desde las condiciones básicas y vas construyendo encima, hasta los algoritmos que parecían territorio de nueva invención surgen de forma natural a partir de pasos manuales que uno mismo hace, y luego se trasladan a un programa
Si le quitas el adorno, en las matemáticas solo quedan la paciencia y el trabajo en papel
Creo que la formalización prematura en matemáticas es la causa principal de que la gente se sienta excluida y hasta manipulada psicológicamente por las matemáticas. Reducir los conceptos a símbolos y a su manipulación debería venir después; presentarlo así desde el principio está mal
La gente primero debería hablar en lenguaje natural sencillo. A los matemáticos que dicen que “el inglés no es suficientemente preciso” dan ganas de mandarlos al diablo. Hay que aprender a caminar antes de correr
Los ejemplos que motivan deberían venir antes que el método matemático, y las fórmulas y demostraciones deberían estar en el apéndice, no en la página 1. Aquí “inglés” se refiere al lenguaje natural
Quienes no trabajan en campos cercanos a STEM no necesitan más que álgebra y geometría básicas, además de algunos conceptos y fórmulas financieras. La geometría sirve sobre todo para hobbies de manualidades o proyectos de reparación en casa
A este paso, parece que nunca voy a encontrar una razón para integrar en lo que me queda de vida. Por eso, aunque intente retomar las matemáticas, la necesidad real no me motiva. Como no tengo dónde aplicarlas, lo único que no se vuelve aburrido son los problemas de matemáticas recreativas, pero incluso así me termina pareciendo mejor leer un libro o hacer otra cosa
Muchos estudiantes, o al menos yo, recién nos interesamos por las matemáticas cuando vimos demostraciones en geometría de preparatoria y aplicaciones reales en física de preparatoria. Descubrir que las matemáticas podían ser una forma de pasar de una verdad a otra y encontrar nuevas verdades se sintió como una revelación
Por desgracia, muchos estudiantes abandonan antes por el aburrimiento de los interminables ejercicios repetitivos. Cuando aparecen vacíos en el conocimiento, es difícil avanzar si no se llenan. Para muchos eso termina en las fracciones, para otros en el álgebra, y para quienes llegan a la universidad termina en cálculo
Solo los estudiantes de matemáticas y algunos de ingeniería, ciencias o ciencias de la computación pasan del “curso estándar de matemáticas” en la universidad, y llegan a conocer las cosas realmente interesantes que vienen después
El pecado de las matemáticas modernas es que ese metalenguaje está tan mal definido que, para manejarlo sin contradicciones, hace falta una torre de software. Reescribir todo esto como expresiones S y añadir un sistema de reescritura de términos para demostraciones bajo evaluación secuencial sería un excelente primer paso para mejorar la accesibilidad
Si lo que quieres ver no es de qué hablan las matemáticas sino cómo hablan, entonces mejor dedícate a coleccionar estampillas
Como alguien que estudió matemáticas hasta nivel de posgrado, las matemáticas de preparatoria y la mayoría de las materias me parecieron realmente aburridas. Lo que faltaba en la educación básica y media era contexto, y por eso se volvía aburrido. Si las matemáticas me resultaban fáciles no era porque fuera especialmente bueno, sino porque bastaba con seguir ciegamente fórmulas y aplicar lógica básica
La mayor parte de las matemáticas en nivel básico y medio es lógica elemental, así que cuando alguien con ese nivel educativo dice que “no se le dan las matemáticas” o que “no entiende matemáticas”, eso significa que le faltan capacidades muy básicas de lógica y razonamiento
Las matemáticas deben enseñarse en contexto, no solo como aplicaciones. Hay que enriquecer la experiencia de razonar e investigar, e incluir aplicaciones, sí, pero sin encadenarlo todo solo a las aplicaciones. A veces también hay que aprender y pensar simplemente, sin atarlo a un criterio de utilidad arbitrario
No me gustan los libros de texto nuevos porque están demasiado orientados a la gratificación inmediata. No muestran cómo se va construyendo una solución, sino que te dicen de inmediato cómo resolver el problema. Aunque después expliquen un poco cómo funciona, creo que el orden está completamente al revés. Te quitan la oportunidad de darle vueltas por tu cuenta, anticipar cómo va a encajar todo al final y tener esos momentos de “ajá” en el camino
Este enfoque también refuerza la tendencia a reducir las matemáticas a manipulación de símbolos. Si en el primer párrafo te dan la fórmula, toda la explicación posterior queda fijada a esa fórmula. La notación matemática funciona mejor cuando es una herramienta de formalización y un recurso mnemotécnico para afianzar conceptos que ya se entienden hasta cierto punto, y funciona peor cuando se usa como canal principal de comunicación
Aunque es una postura bien intencionada, también está claro que mucha gente ni siquiera aprende el pensamiento matemático básico y termina muy confundida. Me pregunto si existe investigación científica que respalde la idea de que estas personas pueden aprenderlo con facilidad, o si simplemente se está inventando un argumento igualitarista propio de los libros de divulgación matemática.
La inteligencia general también parece mostrar una tendencia a la baja desde la década de 1970. Es el llamado efecto Flynn inverso[3], y se ha medido en Estados Unidos y Europa.
Es cierto que influyen el sistema educativo y otros factores, pero creo que la idea de que “todos pueden hacer X” es equivocada y dañina. Es como decir que “nadie necesita silla de ruedas” o que “todos pueden ver perfectamente”. Las personas son diferentes, y muchos nerds se juntan solo con otros nerds, así que terminan teniendo una percepción distorsionada de la sociedad.
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
Hay una brecha muy grande entre lo que una persona puede hacer en teoría y lo que realmente consigue.
No soy profesor de matemáticas, pero disfruto las matemáticas y varias veces he ayudado a familiares y amigos con sus cursos.
Desde hace mucho pienso que casi todo el mundo tiene la capacidad de aprender matemáticas aproximadamente hasta el nivel de secundaria. Eso sí, para algunas personas requiere más esfuerzo. La clave para sostener el esfuerzo constante es la motivación, y mucha gente que odia las matemáticas o cree que se le dan fatal simplemente nunca encontró la motivación adecuada.
Una vez que aparece la motivación, se empieza a entender el contenido y se pueden resolver problemas, todo se vuelve mucho más fácil. Personalmente siento que, en especial al aprender matemáticas de un nivel un poco más alto —incluyendo derivaciones y demostraciones de bajo nivel—, también mejoró mi forma de pensar fuera de las matemáticas.
Al ayudar a familiares y amigos también aprendí que la manera en que cada persona empieza a entender contenido nuevo puede variar bastante. A algunas personas les resulta más fácil desde la geometría o la perspectiva gráfica, y a otras les funciona mejor meterse de lleno en las fórmulas desde el principio. Una sola forma no les sirve a todos.
Desde una perspectiva pedagógica, creo que el principal obstáculo para la mayoría en matemáticas no es la complejidad, sino la forma seca en que se enseñan. Las reglas del lenguaje son al menos igual de complejas, pero muchísima más gente aprende habilidades lingüísticas de nivel secundaria. Hay muchas razones, y la más evidente es que el lenguaje se usa mucho más en la vida diaria.
No diría para nada que soy un matemático serio, pero en los últimos años, al tomarme esa meta en serio, he aprendido mucho más que durante las décadas en que me desanimé a mí mismo por sentirme inferior.
Uno de los mentores muy generosos que me empujó a intentarlo de todos modos dijo esto: “No hay malos estudiantes de matemáticas. Solo hay malos profesores de matemáticas, y ellos también tuvieron malos profesores de matemáticas”.
Si te encuentras con demasiadas personas así, y si ese tipo de gente es común en este campo, es fácil entender por qué la gente se desmotiva y abandona.
En algún punto del proceso educativo, muchos jóvenes se topan con el pensamiento matemático abstracto, pero al final no lo entienden y se van quedando fuera. Es una lástima que ahí sea donde todo se descarrila y después la brecha siga ampliándose
Da la impresión de que trabajar con símbolos y ecuaciones debería ser algo más ampliamente accesible. Es una actividad casi como un juego, así que no debería generar exclusión
Puede ser un fracaso de los educadores no haber identificado bien los caminos que hacen que el cerebro acepte formas más abstractas de representación y manipulación
Por cierto, los matemáticos no parecen muy interesados en resolver este problema, y da la impresión de que muchos sienten un placer infantil en hacer que las matemáticas sean lo más excluyentes posible. Un ejemplo es cuando rechazan las representaciones visuales, aunque sean imprecisas, pese a que ayudan a construir intuición
La factorización también hizo que muchos en mi clase se quedaran fuera. Parecía totalmente inútil, y además frustraba mucho que el proceso incluyera tanta adivinanza; algunos compañeros reaccionaban como si les hubieran pedido cavar una zanja con una cuchara y luego volverla a rellenar: “entonces que se vaya al diablo la matemáticas para siempre”
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
Creo que el problema es que la mayoría de la gente ni siquiera llega a la parte divertida. Recuerdo que no me gustaban mucho las matemáticas hasta que en el primer semestre de la universidad aprendí teoría de conjuntos, definimos el sistema numérico desde cero y luego pasamos a monoides, grupos, anillos y demás
Ese definir todo desde cero fue realmente satisfactorio
Me tomó algo de tiempo, pero ahora estoy mucho mejor. Empecé a verlo como un pequeño juego del que conoces más o menos las reglas. Ahora reconozco que los matemáticos muchas veces se preocupan por llevar la abstracción al máximo o por casos extremos extraños y patológicos. Eso me ha permitido abrirme paso por la complejidad sin sentirme tan abrumado como antes
Una vez que entiendes algo, es realmente difícil volver a la forma de pensar de cuando no lo entendías y encontrar una explicación que haga que la idea simplemente “haga clic”. Creo que muchas matemáticas son mucho más fáciles de lo que parecen, pero a menudo falta esa explicación que te deja captar rápidamente la idea central
Por ejemplo, quería escribir un explorable[0] que explicara la notación posicional en una base entera de una forma que pudiera seguir un niño que sabe leer un reloj. Creo que también se podría enseñar la multiplicación junto con eso
La idea central es imaginar un contador que se parece a un reloj analógico. Tiene los números del 0 al 9 y botones de +1 y -1, así que puede contar del 0 al 9. Si le sumas 1 al 9, vuelve a 0; para resolver eso, agregas un segundo contador. Cada vez que el primer contador da una vuelta completa, subes el segundo contador en 1. Como una vuelta completa del primero son 10 pasos, un paso del segundo significa 10 pasos. Si quieres que el segundo contador también cuente 10 pasos, entonces agregas un tercero
Entonces la pregunta natural es qué pasa si hay menos números que del 0 al 9. Si es del 0 al 7, es base 8; si es 0 y 1, es base 2; y si hay más símbolos, se van agregando letras del alfabeto
Esto es una representación muy física de la notación posicional decimal, y hace que sea fácil de contar y seguir. No hacen falta conceptos avanzados como “base” o “potencia”, pero luego se convierte en una abstracción fácil de construir encima
Pregunté a amigos con hijos y, por lo general, me dijeron que aprenden a leer el reloj entre los 4 y 6 años, y que hacia los 8 ya todos pueden contar hasta 100. En teoría, con este enfoque parecería posible que a esa edad ya puedan entender también las ideas de binario y hexadecimal
Curiosamente, el texto también dice que gracias a la notación posicional casi cualquier adulto puede responder de inmediato a “¿cuánto es mil millones menos 1?”
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
También pasa con los límites y las derivadas: cuando por fin obtienes una definición adecuada, puedes derivar con bastante facilidad todas las fórmulas y teoremas usados en la preparatoria. En la preparatoria casi todo era cálculo y razonamiento simple, pero en la universidad demostramos todo. Me gustó ese cambio de perspectiva
Formalmente sí había cursado el prerrequisito, pero en la práctica era una materia básica de lógica para informática, así que me quedó enorme. Aun así, fue una de las clases más divertidas que tomé en la universidad
Nos dieron el texto exacto de las preguntas del examen final varias semanas antes, y podíamos prepararnos de cualquier forma, incluso colaborando con otros estudiantes o preguntando a otros profesores. La mayoría de los otros profesores tampoco tenía muy claro cómo abordarlas. El objetivo era responder 1 o 2 de las 10 preguntas, y aun si no lo lograbas, igual obtenías como mínimo una B+
Ojalá recordara mejor, pero creo que una de las preguntas que logré responder con éxito era demostrar el teorema de Post usando máquinas de Turing. Nunca volví a usar lo aprendido en esa clase, pero todavía la recuerdo. Me gustaría volver a estudiar ese punto tan fascinante donde se encuentran la filosofía y la informática
Lo mejor era que combinaba matemáticas difíciles con preguntas metafísicas oscuras sobre matemáticas que a muchos practicantes no les gustan porque sienten que debilitan su trabajo. Cuando entras así de profundo, te das cuenta de que es imposible no tocar temas aún más quebraderos de cabeza
En la preparatoria, en la práctica solo nos entrenaban para hacer bien matemáticas aplicadas, especialmente cálculo. Incluso eso, la mayor parte del tiempo, era solo “sustituir valores”, y ese tipo de trabajo se puede automatizar fácilmente con Mathematica
Cuando llegué a la universidad y tomé teoría de números y álgebra abstracta, me impactó descubrir que las matemáticas eran hermosas de una forma difícil de explicar. No fue hasta que cursé análisis real que vi que incluso el cálculo tenía aspectos que no parecían una pérdida de tiempo
Un día volví a la preparatoria y le pregunté apasionadamente a Andrew Merrill, que en ese entonces era mi mentor de ciencias de la computación, por qué no me había expuesto a la teoría de grupos. Su respuesta fue el SAT. Como ese contenido no aparece en el SAT, no había justificación para enseñarlo
La razón por la que se enseñaba cálculo era que es un prerrequisito para ingeniería y física, y porque eso se volvió importante después de la carrera espacial
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
En Canadá también había, hasta el primer año de universidad, un currículo parecido centrado en cálculo, con un poco de álgebra lineal mezclada. La razón es que el cálculo se necesita en ingeniería, física, algunas áreas de química y biología, estadística y ciertas áreas de economía
En la sociedad, las matemáticas son ante todo una herramienta. Lo digo como alguien que estudió matemáticas puras y se enfocó en álgebra y teoría de números. Para la gran mayoría de los estudiantes, la utilidad práctica realmente es lo central. A diferencia de las ciencias o las humanidades, las matemáticas tienen una capa de abstracción que es difícil de disfrutar sin un marco deliberado
Dan ganas de decir: “Idiota, el problema es la economía”. La holgura mental también es un recurso. La mayoría no estudia matemáticas no porque no quiera, sino porque no puede
Si se hiciera una encuesta preguntando qué harían si recibieran un ingreso básico que cubriera todos sus gastos y necesidades, creo que mucha gente elegiría la autorrealización o el arte. Practicar y aprender matemáticas también entra en esas dos categorías
En ese sentido, enfocarse en la atención plena como la vipassana puede ayudar muchísimo. Pero la atención plena no es un entrenamiento intelectual; es algo que realmente hay que vivir. Si meditas varias horas al día, en unos meses llegarás a un buen lugar
Al menos por las anécdotas de mi entorno, en cambio hubo mucha gente que terminó teniendo más hijos
Como no es una competencia, no necesito ser mejor en matemáticas que los demás, pero otras búsquedas mías —como la criptografía, mejores algoritmos o entender la física— están limitadas por mi comprensión rudimentaria de las matemáticas
Si yo fuera millonario, una de las cosas que buscaría sería descansar en una casa frente al mar y aprender muchas matemáticas en mi tiempo libre